Chapitre 2: Limites et Asymptotes

LIMITES ET ASYMPTOTES
33
Chapitre 2: Limites et Asymptotes
Prérequis: Généralités sur les fonctions
2.1
Les limites dans la vie courante
Vitesse instantanée
Zénon d’Élée (env. 490 – 430).
La ville d’Élée se situe dans
le sud de l’Italie.
0
0
Requis pour: Dérivées, Études de fonctions, Fct. exp et log
est une forme indéterminée
"Pente d’une courbe" en un point
La notion de vitesse, et en particulier la vitesse d’un objet à un
instant précis, est, étonnamment, subtile et difficile à définir
précisément. Considérez cette affirmation : « À l’instant où le
cheval a franchi la ligne d’arrivée, il galopait à 66 km/h ».
Comment peut-on étayer une telle affirmation ? Une
photographie ne serait d’aucune aide, puisque sur le cliché, le
cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de
quantifier le mouvement à un moment précis puisqu’en se
focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement !
Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de
Zénon* et d’autres philosophes dès le Vème siècle avant JésusChrist. L’approche moderne, rendue célèbre par Newton, ne
considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit
intervalle de temps contenant cet instant.
Rappelons que la vitesse est la distance parcourue Δx divisée par
le temps Δt qu’il a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse
instantanée, on choisira Δt→0 . On ne peut pas prendre Δt = 0,
puisqu’on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est
donc une limite.
On a vu en géométrie analytique comment calculer la pente d’une
droite. Qu’en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites,
"la pente d’une courbe" n’est pas constante. Par exemple, quand
les coureurs du Tour de Romandie gravissent un col, la pente
n’est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides
que d’autres. Peut-elle même être définie ?
Comme la pente d’une droite est le déplacement vertical Δy
divisé par le déplacement horizontal Δx, la pente en un point
précis d’une courbe sera obtenue en choisissant
Δx→ 0 ,
autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe.
La "pente d’une courbe" en un point peut donc elle aussi être vue
comme une limite… Celle de la pente de la tangente à la courbe
au point considéré.
Profil de la 15ème étape du Tour d’Italie (19.05.2013)
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34
CHAPITRE 2
Une rumeur est lancée le premier janvier dans une ville de 15'000 habitants. La
courbe représente le nombre de personnes au courant de cette rumeur.
D'après cette courbe, on peut estimer qu'à long terme toute la ville aura entendu
parler de cette rumeur
Rumeur
15'000
Nombre
d’habitants
informés
10'000
5'000
Temps
écoulé
1 semaine
2.2
2 semaines
Un exemple introductif
La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d’une fonction au
voisinage d’un trou ou d’un bord (point limite ou asymptote verticale) de son domaine de définition.
voisinage de a
Trou
a–
bord de ED avec une
Asymptote verticale.
bord de ED
avec un
Point limite
a a+
a–
a–
a
a
Mais la notion de limite s'utilise également pour appréhender le comportement de la courbe
infiniment à gauche ou infiniment à droite, c'est-à-dire respectivement quand x devient un
nombre très grand dans les négatifs (x → -∞) et très grand dans les positifs (x → +∞).
y
6
-4
2
"Infiniment à gauche", la fonction plafonne en
1
y = -1
-2
2
4
6
"Infiniment à droite", la fonction plafonne en
x
y=2
-1
Considérons la fonction
f:
IR + – {1 ; 4}
→
IR
x
3(1− x)
( x −1)(x − 4)
Nous allons étudier le comportement de cette fonction au bord de son ensemble de définition,
c'est-à-dire en x = 0 (bord gauche), en x = 1 puis x = 4 (valeurs interdites) et en x = +∞
Si on évalue f (x) pour ces 3 valeurs particulières, on obtient des réponses peu concluantes :
f (0) =
f (1) =
f (4) =
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LIMITES ET ASYMPTOTES
Méthode numérique:
35
La méthode numérique consiste à construire des petits tableaux de
valeurs. Dans notre cas, il s'agira d'étudier les 4 cas:
1) S'approcher de la valeur 0 depuis la droite ( x → 0 + )
2) S'approcher de la valeur 1 en venant depuis la gauche ( x → 1− ) et
depuis la droite ( x → 1+ )
3) S'approcher de la valeur 4 en venant depuis la gauche ( x → 4 − ) et
depuis la droite ( x → 4 + )
4) Prendre des valeurs de plus en plus grandes ( x → +∞ )
←
droite
0,01
0,827
x
f (x)
0
0,75
x
f (x)
gauche
→
3,9
3,99
89,25
899,3
gauche
→
0,9
0,99
1,886
1,984
0,1
1,013
4
indéfini
← droite
4,01
4,1
-900,7
-90,75
1
indéfini
← droite
1,01
1,1
2,012
2,120
1000
-0,098
→
10'000
-0,030
∞
100'000
-0,0095
D'après les tableaux ci-dessus, il semblerait que
1) La limite de f (x) quand x tend vers 0 vaut 0,75
2) La limite de f (x) quand x tend vers 1 vaut 2
3) La limite de f (x) quand x tend vers 4 vaut ±∞
4) La fonction plafonne à la hauteur y = 0 lorsque x tend vers +∞
Observons ceci sur le graphique de f
12
y
x 8
3(311 x) x ( x x1)(1xx4) 4 4
1
1
2
3
4
5
6
7
x
-4
-8
-12
Pour décrire le comportement de la fonction f, nous utiliserons les terminologies et notations
suivantes:
Valeurs Valeur de
de x
la fonction
0
f (0) = 3/4
Limites
lim f ( x ) n' existe pas , lim+ f ( x ) = 0,75
x→ 0
1
4
f (1) = 0/0
non défini
−
→ +∞
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f a un trou en (1 ; 2)
x →1
f (4) = -9/0 lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞
non défini
x →4
Point limite en (0 ; 3/4)
x →0
lim− f ( x ) = 2 , lim+ f ( x ) = 2
x →1
Terminologie
−
lim f ( x ) = 0
x → +∞
x →4
+
f a une asymptote
verticale en x = 4
f admet une asymptote
horizontale à droite en
y=0
36
CHAPITRE 2
Exercice 2.1: En observant les graphiques suivants, déterminer les limites probables proposées
1)
2)
y
y
f(x)
f(x)
x
x
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
lim+ f (x) = ………
3)
x →+∞
x →0+
x →0
x →+∞
y
lim f (x) = ………
4)
f(x)
y
f(x)
2
2
4
x
6
2
lim f (x) = ………
x →4 −
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
x →2 +
x →4 +
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
x →2
5)
y
4
x →4
6)
f(x)
y
4
2
-2
0
-2
2
4
x
-4
-2
2
4
x
-2
-4
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
x →−∞
x →−∞
x →+∞
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
x →+∞
x →0
x →0
lim f (x) = ………
lim f (x) = ………
Deviner à l'aide d'une calculatrice la valeur des limites suivantes:
1) lim
x →1
Exercice 2.3:
f(x)
2
-4
Exercice 2.2:
x
6
lim f (x) = ………
x →2 −
-4
4
2x − 2
x −1
2) lim+
x →1
3
1− x
3) lim
x →+∞
3x 2 − 2
x2
4) lim x x
x →0
Esquisser le graphe de f (x) = 2 − x + 1
Puis en déduire lim− f (x) , lim+ f (x) , lim f (x)
x →2
x →2
x →0
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LIMITES ET ASYMPTOTES
2.3
37
Définitions de la limite d'une fonction en un point
Définition:
• Soit a et L deux nombres réels et f une fonction. Le nombre L est la
limite de f en x = a si f(x) reste arbitrairement proche de L dès que x
est suffisamment proche de a, mais x ≠ a.
• On note lim f ( x ) = L
x →a
• On dit aussi que L est la limite de f (x) lorsque x tend vers a
Exemple:
• La limite lim f ( x ) est bien définie et vaut lim f ( x ) = 5
x →2
x →2
1.9
2
2.1
x
• La limite lim f ( x ) n'est pas définie
x →2
10
y
5
-5
Zoom
1
2
x
-10
Définitions:
Le nombre L est la limite de f en x = a depuis la gauche si f (x) reste
arbitrairement proche de L dès que x est suffisamment proche de a, mais
x < a.
On note dans ce cas: lim− f (x) = L
x→a
On définit de façon analogue la limite de f en x = a depuis la droite,
notée lim+ f (x) = L
x→a
Dans le deuxième exemple précédent: lim− f (x) = 5 et lim+ f (x) = 2, 5
x→2
Propriété:
x→2
Le nombre L est la limite de f en x = a (et donc cette limite existe) si et
seulement si la limite depuis la gauche est égale à la limite depuis la
droite:
lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = L = lim f (x)
x→a
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x→a−
x→a+
38
CHAPITRE 2
Exemple:
En étudiant les graphiques ci-dessous, estimer les limites suivantes:
8
-2
f(x)
y
6
6
4
4
2
2
-1
1
2
3
4
-2
-8
x
-6
f(x)
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
lim f ( x ) =
x →+∞
lim− f ( x ) =
x →−∞
lim+ f ( x ) =
x →2
lim− f ( x ) =
x →2
-4
-2
2
4
-2
-4
x →−∞
y
8
x →−3
lim f ( x ) =
x
-4
lim f ( x ) =
x →+∞
lim+ f ( x ) =
x →−3
lim f ( x ) =
x→1
x →2
Exercice 2.4: Voici le graphe d'une fonction
y
x
1) Déterminer ED
2) Déterminer les zéros de f (x)
3) Compléter le tableau:
a
lim− f ( x )
x →a
lim+ f ( x )
x →a
lim f ( x )
x →a
Caractéristiques
-∞
-8
-6
-4
-2
0
3
7
+∞
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LIMITES ET ASYMPTOTES
2.4
39
Calcul de limites quand x → a, où a est un nombre fini
Introduisons d'abord une définition intuitive de la continuité:
«Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la
dessiner d'un bout à l'autre de l'intervalle sans lever le crayon.»
Limites de fonctions
continues en a
Si f est continue en a, la limite en a est égale à l'image de a
lim f ( x ) = f ( a)
x →a
2
( 3 x + x ) = 3 ⋅ 2 + 2 = 14
Exemples: • lim
x →2
2
2
• Si f ( x ) = 5( − x − 9 x + 2)
lim f ( x ) =
x →0
lim f ( x) =
x →−3
Limites du quotient de
deux fonctions
Soit la fonction f ( x ) =
N (x )
D (x )
1er cas:
dénominateur non nul
Si lim N( x ) = c 1 et lim D (x ) = c 2 , alors lim f ( x ) =
x→ a
Exemple:
• lim
x→ 2
2ème cas:
numérateur non nul et
dénominateur nul : nbre
0
x→ a
x→ a
c1
c2
5 x − 3 5⋅ 2 − 3 7
=
=
2x + 6 2 ⋅ 2 + 6 10
Seule une des trois réponses suivantes est possible:
1. lim f ( x ) = +∞
x→ a
2.
3.
lim f ( x ) = −∞
x→ a
lim f ( x ) non définie, car
x→ a
lim f (x ) ≠ lim+ f ( x )
x→ a −
x →a
Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la
limite à gauche et la limite à droite. Si elles sont égales, la
bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes, la
bonne réponse sera la 3.
Graphiquement, la courbe admettra en
asymptote verticale
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x=a
une
40
CHAPITRE 2
3ème cas:
numérateur et dénominateur nuls : 0
0
Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux
vers 0, on a une forme indéterminée
0 est indéterminé, car k · 0 = 0 pour tout k.
0
a) N(x) et D(x) sont des polynômes
Si N(a) = 0 alors N(x) est divisible par (x – a).
Si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible par (x – a).
On peut donc factoriser N(x) et D(x) puis simplifier par
la parenthèse commune.
Exemple:
lim
x→ 2 x
Or,
Graphiquement, la fonction admet un trou
en (2 ; -1/3)
x 2 − 5x + 6
2
=
0
0
−x −2
2
x − 5x + 6
lim
x→ 2 x
2
−x −2
indéterminé .
= lim
( x − 2)( x − 3)
x→2 ( x − 2 )( x + 1)
= lim
( x − 3)
x→2 ( x + 1)
=
−1
3
=−
1
3
b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes
Exemple:
Dans certains cas, on peut factoriser puis simplifier
lim x − 2 = 0 indéterminé . Or,
x →4 x − 4
0
x −2
lim x − 2 = lim
= lim
x →4 x − 4
x →4 ( x − 2)( x + 2)
x →4
1 =1
x +2 4
Quelques exemples développés
1) lim
x→ 2
2) lim
x→ −1
x +2
=
x−3
x2 + 4x + 3
=
2
x −1
x2 − 4
3) lim
=
x→ −1 x + 1
x2 −4
=
4) lim
x→ −1 ( x + 1) 2
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LIMITES ET ASYMPTOTES
41
Associer les 4 calculs de limites aux 4 fonctions représentées ci-dessous:
y
2
-2
y
3
2
1
2
2
-2
x
-2
2
-2
-4
x
-4
-4
y
y
-2 -1
-2
-3
-4
-5
3
2
2
1
4 x
-4
-2
-1
2
4 x
-2
On constate quelques difficultés pour différencier les deux dernières limites, celles-ci valant ±∞
dans les deux cas. On va donc calculer les deux limites suivantes: lim f (x) et lim f (x) .
x→−1−
3) lim
x2 − 4
=
x +1
4) lim
x2 −4
2 =
( x + 1)
x→ −1
x→ −1
x→−1+
Exercice 2.5: Déterminer l'ensemble de définition et calculer la limite
1)
4)
lim 5x
2)
x →2
lim 25 − x
2
x →−4
x −4
x − x − 12
x2 +3 x + 2
10) lim 2
x →−1 x + 4 x + 3
7)
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lim
x →4
2
lim 2 x + 3
x →2
x2 −4
5) lim 2
x→1 x + 4
x 3 − 27
8) lim 2
x→3 x − 9
x−2
11) lim 2
x →2 x − 4
3) lim x 2 − 4 x + 1
x →2
x −2
x→3 x + 2
x2 − 4
9) lim 2
x →2 x − 5x + 6
x 2 − 3x + 2
12) lim 2
x →2 x − 6 x + 8
6) lim
42
CHAPITRE 2
Exercice 2.6: Déterminer ED et calculer les limites à gauche et à droite des valeurs
interdites.
2
2) f (x) = x2 + 3x + 2
x + 4x + 4
2
−7
4) f (x) = x3 + 6x
2
−x + x − x + 1
1) f (x) = 12 − 2x
3− x
2
3) f (x) = x + x −2 2
(x −1)
Exercice 2.7: Déterminer l'ensemble de définition et calculer la limite
x 2 −2x
x
x →0
2
x + 2 x − 15
4) lim 2
x → 3 x + 8x + 15
1) lim
3x 2 − 2 x + 2
x +1
x →0
2
x + 2 x − 15
5) lim 2
x →−3 x + 8x + 15
2) lim
3) lim
x →−5
x 2 + 2 x − 15
2
x + 8x + 15
Exercice 2.8: Observons la variation du volume du phosphore en fonction de la température.
Soit 1 cm3 de phosphore solide.
De 0° à 44°, le volume augmente insensiblement et de façon continue.
À 44°, si peu qu'on élève la température, le
volume augmente brusquement de 35 mm3 et
le phosphore se liquéfie.
Au-delà de 44°, le volume augmente à
nouveau insensiblement et de façon continue.
V (cm3)
1,045
1,01
1
44°
t°
Liquéfaction du phosphore
Déterminer lim− V (t) , lim+ V (t) , lim V (t )
t → 44
t → 44
t → 44
Un exemple où la division de polynômes est bien utile !!
x 3 − 7x − 6
lim
=
x→ −2 x 3 + x 2 − 2x
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LIMITES ET ASYMPTOTES
Deux exemples où il faut manipuler les racines !!
x−3 =
1) lim
2) lim 3 − x + 6 =
x−3
x→3 3 − x + 6
x→3
Exercice 2.9:
Déterminer l'ensemble de définition et calculer la limite
2 x2 + x −1
3
x →−1
x +1
x 3 − 3x + 2
4) lim 2
x→5 x − 6 x + 5
x 3 −3x +2
2
x→1
(x − 1)
x3 −3 x2 + 4
3) lim
3
2
x →2 3x − 18x + 36x − 24
2) lim
1) lim
Exercice 2.10: Déterminer l'ensemble de définition et calculer la limite
x −2
x−4
x2
4) lim
x →0
x 2 + 1 −1
x −1
x −1
5) lim x + 2 − 2
x →2
x −2
1) lim
2) lim
x →4
x →1
x −5
2x −1 − 3
6) lim 3 − x + 7
x →2
x −2
3) lim
x →5
Exercice 2.11: Sur la parabole d'équation y = x2 on choisit un point M distinct de
l'origine O. La médiatrice du segment OM coupe l'axe Oy en N.
Vers quelle valeur tend l'ordonnée de N lorsque M s'approche de
l'origine ?
2.5
Opérations sur les limites
Les règles suivantes ne seront pas démontrées, néanmoins elles semblent assez naturelles.
Vous les avez spontanément utilisées dans les exercices !!
Règles :
Si f et g admettent des limites finies quand x → a, avec a fini ou infini,
alors:
• lim ( k ⋅ f ( x ) ) = k ⋅ lim ( f ( x ) )
x →a
où k est un nombre réel
x →a
• lim ( f ( x ) + g( x ) ) = lim f ( x ) + lim g( x )
x →a
x →a
x→a
• lim ( f ( x ) ⋅ g( x ) ) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x →a
x →a
f (x)
f ( x ) xlim
→a
• lim
=
x →a g( x )
lim g( x )
x →a
• lim
x→a
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n
f (x) =
n
lim f (x)
x→a
x →a
si lim g ( x ) ≠ 0
x →a
idem pour “ – ”
43
44
2.6
CHAPITRE 2
Calculs avec le symbole ∞ et les cas d'indétermination
nbre ≠ 0
= ±∞ “ nbre infiniment grand (pos ou neg) ”
x→ 0
x
Rappel:
lim
Lorsque l'on effectue des calculs avec l'infini, on doit prendre quelques
précautions. Par exemple que peut bien valoir
+∞
? En fait cette réponse
+∞
n'est pas déterminée:
Exemples:
Règles de calcul:
Soit c ∈ IR et k un entier strictement positif:
(+∞) + (+∞) = …
(–∞) – (+∞) = …
∞·∞=…
∞ · c = … (si c ≠ 0)
(∞)k = …
∞
c
c
∞
Mise en garde:
(+∞) + c = …
+∞ = …
∞
=…
0
=…
0
=…
∞
=…
Lorsque l'on obtient l'une ou l'autre des formes suivantes, on
ne peut pas conclure de manière immédiate, mais manipuler
l'expression algébriquement:
0
0
∞
∞
∞·0
∞–∞
00
Ces expressions sont appelées des formes indéterminées
Exemples:
3
1)
lim
x
x→ 0 2 + x
=
x
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LIMITES ET ASYMPTOTES
2)
lim 3x ⋅
x→ 0
5
2
x −3x
45
=
Exercice 2.12: Calculer la limite si elle existe
3+ 1
x −1
1) lim
x→1 2 − x
x −1
2) lim (2x + 4)
x →−2
5x
x 3 + 6x 2 + 11x + 6
x −2
4) lim x − 5
x →0
1−x
x
3) lim 1 − 2 3x
x →2 x − 2
x − 4x + 4
2.7 Calcul de limites quand x → + ∞ ou x → – ∞
Limites d'une fonction
polynôme quand x → ∞
Théorème 1
En +∞ (respectivement –∞), toute fonction a la même limite
que son terme de degré le plus élevé
lim a n x n + a n−1 x n −1 + … + a1 x + a 0 = lim a n x n
x→ ∞
x→ ∞
Exemple:
lim 7x 3 + 3x 2 + 2 x – 1 =
x→ ∞
Limites d'une fonction
rationnelle quand x → ∞
Théorème 2
En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la
même limite que le rapport des termes de plus haut degré du
numérateur et du dénominateur:
lim
x→ ∞
a n x n + a n−1 x n−1 + …+ a 1 x + a 0
bm x
m
+ bm −1 x
lim
m −1
an x n
x→ ∞ b x m
m
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+ … + b1 x + b 0
⎧
⎪
=⎨
⎪
⎪⎩
0
an
bn
±∞
= lim
si n < m
si n = m
si n > m
x →∞
an x n
bm x
m
46
CHAPITRE 2
Exemples:
lim
x→ ∞
7x 3 + 3x 2 + 2 x – 1
=
4
x +2
7x 3 + 3x 2 + 2 x – 1
lim
=
3
x→ ∞
3x + 2
lim
x→ ∞
7x 3 + 3x 2 + 2 x – 1
=
x
Exemple: Associons un calcul de limite avec le graphique des fonctions:
Après avoir calculé ces 3 limites, retrouvez les graphiques des fonctions correspondantes
x2 − 4
1) lim
=
x→ ∞ x + 1
2) lim
x2 + 4x + 3
=
2
x −1
3) lim
x −4
=
x2
x→ ∞
x→ ∞
y
8y
3
1.5
6
1
2
4
0.5
y
2
1
-8
-8 -6 -4 -2
-8 -6 -4 -2
2
-1
4
6
-2
x8
2
4
6
-6
-4
-2
2
-0.5
x8
-1
-1.5
-4
-2
-6
-2
-2.5
-8
4 x
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
47
Exercice 2.13: Calculer la limite si elle existe
2 x 2 − 3x
1) lim
2
x →+∞ 3 x − 5x + 1
2
x − 5x + 6
4) lim
2
x →−∞ 2 x − 6x
3 x2 − x +1
2) lim
3
x →−∞
x +x
x
5) lim 2
x →−∞ x − 3 x + 2
x2 − 4x + 3
3) lim
2
x →+∞
2x +5
2x
6) lim
x →+∞ 1 − x
Exercice 2.14: Calculer la limite si elle existe
1) lim 2 x − 5 +
x →−∞
3) lim 1 +
x →+∞
10
x +2
1
3x
2) lim x + 3 +
x →+∞
4) lim
x →−∞
2
1
−
x − 1 x +1
2
x
+
5 ( x − 2) 2
Exercice 2.15: Pour chaque fonction, on propose deux esquisses différentes.
Laquelle est la bonne ? (en justifiant votre raisonnement à l’aide de calculs de limites)
y
y
4
4
x2 − x − 2
1) f ( x ) =
x +1
-8 -6 -4 -2
2 4 6 x
-4
-8 -6 -4 -2
2 4 6 x
-4
-8
-8
y
4
x2 − 3x + 2
2) f ( x ) = 2
x − 6x + 8
-8 -6 -4 -2
2 4 6 x
-4
-8
y
y
4
4
2
3) f ( x ) =
x −3x +2
2
x −1
-8 -6 -4 -2
2 4 6 x
-4
-8
2Mstand/renf – JtJ 2016
-8 -6 -4 -2
2 4 6 x
-4
-8
48
CHAPITRE 2
2.8
Une limite célèbre
Dans le chapitre concerné aux logarithmes, nous avions déjà
croisé cette célèbre limite:
1⎞ x
⎛
lim 1 +
= e = 2,718...
x⎠
x→ +∞ ⎝
y
3
2
C'est ici l'occasion de remarquer que l'on peut facilement se tromper en
faisant des raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se
dire que quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0, et qu'il reste alors 1
puissance infini, donc 1. Or, ce n'est pas la réponse exacte. Aussi, en
cas de doute, il est prudent de vérifier sa réponse par un calcul
numérique.
1
4
8
12
16 x
1⎞ x
⎛
De plus, on a aussi lim ⎝ 1 + ⎠ = e
x
x→ −∞
2.9
Asymptotes
Notions intuitives d'asymptotes
Deux courbes peuvent se rapprocher sans jamais se toucher
("elles se touchent à l'infini"). On va étudier dans ce
paragraphe cette situation particulière du graphe d'une
fonction et d'une droite que l'on appellera asymptote.
Cette droite particulière nous servira de guide pour tracer le
graphique de la fonction donnée.
La notion géométrique d'asymptote correspond à la notion
algébrique de limite infinie ou de limite à l'infini.
Nous étudierons 3 cas en particulier:
b1 y
y
a
x
x
Asymptote verticale
Asymptotes horizontales
• lim
f ( x )=
• lim+ f (x) =
• lim
f ( x )=
x→a
x
b2
• lim− f (x) =
x→a
y
x→ −∞
x→ +∞
Asymptote oblique
Équation de l'asymptote
oblique:
y=
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
Définition:
49
La droite x = a est une asymptote verticale (AV) de la
courbe y = f (x) si:
lim f (x) = ±∞ ou
x→a−
Méthode pour déterminer
les AV:
lim f (x) = ±∞
x→a+
Les AV sont à chercher parmi les valeurs interdites.
On calculera donc lim f ( x ) pour tout point a n'appartenant
x→ a
pas à ED.
Si cette limite vaut ±∞, alors la droite x = a est une AV de
y = f (x).
Il s'agira encore de calculer les deux limites:
lim f (x)
lim f (x)
et
x→a−
x→a +
Exemple: Déterminer les AV des 2 fonctions suivantes:
x2 − 4
2x +1
1) f ( x ) = 2
2) g( x ) = 2
x +2
x + x −6
Parmi ces 3 graphiques, lesquels représentent les fonctions f (x) et g(x) ?
y
y
y
1
x
x
2Mstand/renf – JtJ 2016
-3
2
-3
2
x
50
CHAPITRE 2
Exercice 2.16: Déterminer les équations des AV
1) f ( x ) =
9
2
x −9
2( x + 2) 2
3) f ( x ) =
( x − 3)(x + 1)
Définitions:
2) f ( x ) =
x 2 + x − 12
2
x − 3 x − 10
4) f (x) =
x2 − 4x + 3
x 3 − x 2 + 3x − 3
La droite y = b2 est une asymptote horizontale à gauche
(AHG) de la courbe y = f (x) si:
b1 y
lim f (x) = b2
x→−∞
La droite y = b1 est une asymptote horizontale à droite
(AHD) de la courbe y = f (x) si:
lim f (x) = b1
x→+∞
x
Si b1 = b2, alors on dira simplement que cette droite est
l'asymptote horizontale (AH) de la courbe y = f (x).
b2
Méthode pour déterminer les
AH (AHG et AHD):
La courbe y = f (x) =
P( x )
admet une asymptote horizontale
Q( x )
si et seulement si le degré de P(x) ≤ degré de Q(x).
En effet, si ce n'est pas le cas, alors lim f ( x ) = ±∞
x→ ±∞
Exemple: Déterminer les éventuels AH des 3 fonctions suivantes:
1) f ( x ) =
x2 − 4
2
x +2
2) g( x ) =
x +2
x2 + 2
3) h( x ) =
x2 + 2
x +2
Associer les fonctions f (x), g(x) et h(x) aux trois graphiques ci-dessous:
y
y
y
1
x
x
x
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LIMITES ET ASYMPTOTES
51
Exercice 2.17: Déterminer les équations des éventuelles AH
9
1) f ( x ) = 2
x −9
Définition:
2( x + 2) 2
2) f ( x ) =
( x − 3)(x + 1)
x2 − 4x + 3
3) f ( x ) = 2
x − 4x +4
La droite y = mx + h est une asymptote oblique de la
courbe y = f (x) s'il existe une fonction δ(x) telle que:
y
f (x) = mx + h + δ(x) vérifiant que lim δ( x ) = 0
x→ ∞
Cet énoncé donne une interprétation intuitive de l'AO:
x
Méthode pour déterminer les
AO (AOG et AOD):
"Une fonction admettant une AO se comporte à l'infini
comme elle"
• La courbe y = f (x) =
P( x )
admet une asymptote oblique
Q( x )
si et seulement si le degré de P(x) = degré de Q(x) + 1.
• On effectue alors la division polynomiale de P(x) par
Q(x) afin d'en obtenir le quotient et le reste.
• De l'égalité fondamentale, on en déduit l'AO et δ(x).
Exemple: Déterminer l'AO de la fonction f ( x ) =
3 x2 − x +1
:
x −1
Lequel de ces 3 graphiques correspond à la fonction ci-dessus ?
y
y
3
y
x
2Mstand/renf – JtJ 2016
2
2
x
x
52
CHAPITRE 2
Exercice 2.18: Déterminer les équations des AV et AO
1) f ( x ) =
x2 − 1
x
2) f ( x ) =
x 3 + 2 x 2 + 4x + 8
3) f ( x ) =
2
x +2x + 4
x 2 − 2x + 2
x−1
4) f ( x ) = −2 x + 5 +
1
x −5
Exercice 2.19: Associer chaque graphe à une fonction dont on donne l'expression
f ( x) = x −1 +
f (x) = x +
A
4
1
x
1
x−2
y
1
1
f (x) = x −
x +1
x
1
1
f ( x ) = − x + 1−
f ( x) = x −1 −
x +1
x−2
f ( x ) = −2 x +
B
4
-2
D
2
4x
-4
Exercice 2.20:
4
2
4x
-4
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
4
y
E
4
-2
y
4x
-4
-2
2
4x
2
4x
y
F
4
2
2
y
2
-2
2
-4
C
2
2
-4
y
2
2
4x
-4
-2
-2
-2
-2
-4
-4
-4
ax + b
cx + d
admette les droites d'équation x = 3 et y = -2 respectivement comme AV et
comme AH. De plus, le graphe passe par le point P(2 ; 0)
Calculer les réels a, b, c et d pour que le graphe de la fonction f ( x ) =
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
53
Exercice 2.21: On considère les 12 fonctions rationnelles:
4x2
2x 2 + 1
1
f4 (x)=
x−7
1
f 7 ( x) =
(x + 1) 2
7
f 10 ( x ) = 1 + 2
x +4
f1 (x) =
f 2 (x) = −2x + 5 +
2x
x −7
1
x +1
f 3 (x ) =
2x
x +1
1
(x + 1)( x + 10)
1
7
f 8 (x ) = −2 x + 5 +
f 9 ( x) = 1 + 2
x −5
x −4
2x2
1
f 12 ( x ) =
f 11 ( x ) = −2 x + 5 + 2
(x + 1)( x + 10)
x +5
f 5 (x ) =
f 6 ( x) =
Déterminer, sans aucun calcul, parmi les fonctions rationnelles proposées cidessus, laquelle est caractérisée par les asymptotes suivantes:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
AV
x = -1
x = -1 et x = -10
aucune
x=7
x = -2 et x = 2
x=5
x = -1
aucune
x = -1
x=7
aucune
x = -1 et x = -10
AH ou AO
y=0
y=2
y=2
y=2
y=1
y = -2x + 5
y=2
y=1
y = -2x + 5
y=0
y = -2x + 5
y=0
Exercice 2.22: Donner un exemple de fonction dont le graphe admet:
1) une seule asymptote qui est verticale d'équation x = 2
2) deux asymptotes, une AV en x = -3 et une AH en y = 5
3) deux asymptotes, une AO en y = x + 2 et une AH en y = -4
Exercice 2.23: Déterminer suivant les valeurs de n (n ∈ IN) les asymptotes de la fonction f
xn +3
donnée par f ( x ) = 2
x −9
2.10 Position de la courbe par rapport à son AO ou AH
La division nous a permis d'exprimer la fonction de départ sous la forme:
f (x) = mx + h + δ(x).
y = mx + h correspondant à l'équation de l'AO, quel sens donner au terme δ(x) ?
2Mstand/renf – JtJ 2016
54
CHAPITRE 2
Réponse : 1) lim δ( x ) = 0 la fonction se rapproche de plus en plus de l'AO
x→ ∞
2) de f (x) = mx + h + δ(x) on en déduit que δ(x) = f (x) – (mx + h)
Le signe de δ(x) nous permettra de connaître la position de la courbe par
rapport à l'AO.
Position du graphe par
rapport à son AO
Soit P(x ; f (x)) un point du graphe de f (x)
• P est au-dessus de l'AO ⇔ f (x) > mx + h
⇔ f (x) – (mx + h) > 0
⇔ δ(x) > 0
• P est au-dessous de l'AO ⇔ f (x) < mx + h
⇔ f (x) – (mx + h) < 0
⇔ δ(x) < 0
• P est un point de l'AO
⇔ f (x) = mx + h
⇔ f (x) – (mx + h) = 0
⇔ δ(x) = 0
y
y = f(x)
P(x, f(x))
f(x)
y = mx + h
(x)
mx + h
x
x
x3
x 2 − 2x + 1
1) Déterminer l'équation de l'AO et δ(x).
2) Déterminer la position de la courbe par rapport à son asymptote.
3) En déduire une bonne esquisse de f.
Exemple: On considère la fonction f ( x ) =
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
55
Exercice 2.24: Déterminer 1) ED
2) Le signe de f
3) Les équations des asymptotes ainsi que la position de la
courbe par rapport à elles
4) Une bonne esquisse de f
a) f (x) =
4 − x2
2x
b) f ( x ) =
( x + 1) 3
2
( x − 1)
Par analogie, nous pourrons également définir la position du graphe d'une fonction par rapport
à son asymptote horizontale. Son équation y = b étant obtenue à l'aide d'un calcul de limite,
nous définirons δ(x) par
δ(x) = f (x) – b
Position du graphe par
rapport à son AH
y=b
Soit f (x) une fonction admettant une AH en y = b.
On considère le point P(x ; f (x)) du graphe de f (x)
• P est au-dessus de l'AH ⇔ f (x) > b
⇔ f (x) – b > 0
⇔ δ(x) > 0
y
(x)
f(x)
P
x
x
• P est au-dessous de l'AH ⇔ f (x) < b
⇔ f (x) – b < 0
⇔ δ(x) < 0
• P est un point de l'AH
2Mstand/renf – JtJ 2016
⇔ f (x) = b
⇔ f (x) – b = 0
⇔ δ(x) = 0
56
CHAPITRE 2
x2 + 2x
.
2
x − 2x + 1
1) Déterminer l'ED, les zéros et le signe de f (x).
Exemple: On considère la fonction f ( x ) =
2) Déterminer les AV et la position de la courbe par rapport à elle.
3) Déterminer l'AH et la position de la courbe par rapport à elle.
4) Le graphe de f (x).
Exercice 2.25: Déterminer 1) ED.
2) Le signe de f.
3) Les équations des asymptotes ainsi que la position de la
courbe par rapport à elles.
4) Une bonne esquisse de f.
a) f ( x ) =
x2
(3x − 2) 2
b) f ( x ) =
x2 − 1
3
x
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
Exercice 2.26: Déterminer les fonctions admettant les graphiques suivants:
a)
4
b)
y
y
2
1
2
-4
-4
-2
2
-2
4x
-2
-1
coupe
2
4x
-2
-3
-4
-4
-5
Exercice 2.27: Calculer les réels a, b, c pour que le graphe de la fonction f définie par
ax 2 + 6 x + 8
f (x) = 2
admette les droites d'équation x = 0, x = 2 et y = 1
x + bx + c
comme asymptotes.
2Mstand/renf – JtJ 2016
57
58
CHAPITRE 2
2Mstand/renf – JtJ 2016
LIMITES ET ASYMPTOTES
2Mstand/renf – JtJ 2016
59
60
CHAPITRE 2
2Mstand/renf – JtJ 2016