Chapitre 2: Limites et Asymptotes

LIMITES ET ASYMPTOTES 33
2Mstand/renf – JtJ 2016
Chapitre 2: Limites et Asymptotes
Prérequis: Généralités sur les fonctions Requis pour: Dérivées, Études de fonctions, Fct. exp et log
2.1 Les limites dans la vie courante
Vitesse instantanée
Zénon d’Élée (env. 490 – 430).
La ville d’Élée se situe dans
le sud de l’Italie.
0
0
est une forme indéterminée
La notion de vitesse, et en particulier la vitesse d’un objet à un
instant précis, est, étonnamment, subtile et difficile à définir
précisément. Considérez cette affirmation : « À l’instant où le
cheval a franchi la ligne d’arrivée, il galopait à 66 km/h ».
Comment peut-on étayer une telle affirmation ? Une
photographie ne serait d’aucune aide, puisque sur le cliché, le
cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de
quantifier le mouvement à un moment précis puisqu’en se
focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement !
Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de
Zénon* et d’autres philosophes dès le Vème siècle avant Jésus-
Christ. L’approche moderne, rendue célèbre par Newton, ne
considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit
intervalle de temps contenant cet instant.
Rappelons que la vitesse est la distance parcourue Δx divisée par
le temps Δt qu’il a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse
instantanée, on choisira Δt→0 . On ne peut pas prendre Δt = 0,
puisqu’on aurait une division par 0. La vitesse instantanée est
donc une limite.
"Pente d’une courbe" en un point
On a vu en géométrie analytique comment calculer la pente d’une
droite. Qu’en est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites,
"la pente d’une courbe" n’est pas constante. Par exemple, quand
les coureurs du Tour de Romandie gravissent un col, la pente
n’est pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides
que d’autres. Peut-elle même être définie ?
Comme la pente d’une droite est le déplacement vertical Δy
divisé par le déplacement horizontal Δx, la pente en un point
précis d’une courbe sera obtenue en choisissant Δx→ 0 ,
autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe.
La "pente d’une courbe" en un point peut donc elle aussi être vue
comme une limite… Celle de la pente de la tangente à la courbe
au point considéré.
Profil de la 15ème étape du Tour d’Italie (19.05.2013)

34 CHAPITRE 2
2Mstand/renf – JtJ 2016
Rumeur
Une rumeur est lancée le premier janvier dans une ville de 15'000 habitants. La
courbe représente le nombre de personnes au courant de cette rumeur.
D'après cette courbe, on peut estimer qu'à long terme toute la ville aura entendu
parler de cette rumeur
2.2 Un exemple introductif
La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d’une fonction au
voisinage d’un trou ou d’un bord (point limite ou asymptote verticale) de son domaine de définition.
Mais la notion de limite s'utilise également pour appréhender le comportement de la courbe
infiniment à gauche ou infiniment à droite, c'est-à-dire respectivement quand x devient un
nombre très grand dans les négatifs (x → -∞) et très grand dans les positifs (x → +∞).
"Infiniment à gauche", la fonction plafonne en
y = -1
"Infiniment à droite", la fonction plafonne en
y = 2
Considérons la fonction f : IR
+ – {1 ; 4}
→
IR
x
3(1 −x)
(x−1)( x−4)
Nous allons étudier le comportement de cette fonction au bord de son ensemble de définition,
c'est-à-dire en x = 0 (bord gauche), en x = 1 puis x = 4 (valeurs interdites) et en x = +∞
Si on évalue f (x) pour ces 3 valeurs particulières, on obtient des réponses peu concluantes :
f (0) = f (1) = f (4) =
15'000
Nombre
d’habitants
informés
10'000
5'000
1 semaine 2 semaines
Temps
écoulé
voisinage de a
a – a + a
Trou
bord de ED
avec un
Point limite
a
a –
bord de ED avec une
Asymptote verticale.
a
a –
y
-1
1
2
x
6-4 -2 2 4 6

LIMITES ET ASYMPTOTES 35
2Mstand/renf – JtJ 2016
Méthode numérique: La méthode numérique consiste à construire des petits tableaux de
valeurs. Dans notre cas, il s'agira d'étudier les 4 cas:
1) S'approcher de la valeur 0 depuis la droite (
x→0
+
)
2) S'approcher de la valeur 1 en venant depuis la gauche (
x→1−
) et
depuis la droite (
x→1+
)
3) S'approcher de la valeur 4 en venant depuis la gauche (
x→4
−
) et
depuis la droite (
x→4
+
)
4) Prendre des valeurs de plus en plus grandes (
x→+∞
)
← droite gauche → ← droite
x 0 0,01 0,1 0,9 0,99 1 1,01 1,1
f (x) 0,75 0,827 1,013 1,886 1,984 indéfini 2,012 2,120
gauche → ← droite → ∞
x 3,9 3,99 4 4,01 4,1 1000 10'000 100'000
f (x) 89,25 899,3 indéfini -900,7 -90,75 -0,098 -0,030 -0,0095
D'après les tableaux ci-dessus, il semblerait que
1) La limite de f (x) quand x tend vers 0 vaut 0,75
2) La limite de f (x) quand x tend vers 1 vaut 2
3) La limite de f (x) quand x tend vers 4 vaut ±∞
4) La fonction plafonne à la hauteur y = 0 lorsque x tend vers +∞
Observons ceci sur le graphique de f
Pour décrire le comportement de la fonction f, nous utiliserons les terminologies et notations
suivantes:
Valeurs
de x
Valeur de
la fonction
Limites Terminologie
0 f (0) = 3/4
lim
x→0
−f(x) n' existe pas
,
lim
x→0+f(x)=0,75
Point limite en (0 ; 3/4)
1 f (1) = 0/0
non défini
lim
x→1−
f(x)=2
,
lim
x→1+f(x)=2
f a un trou en (1 ; 2)
4 f (4) = -9/0
non défini
lim
x→4−f(x)=+∞
,
lim
x→4+f(x)=−∞
f a une asymptote
verticale en x = 4
→ +∞
lim
x→+∞
f(x)=0
f admet une asymptote
horizontale à droite en
y = 0
x
y
x
x
xx
31
14
-12
-8
-4
4
8
12
1 1 2 3 4 5 6 7
31
14
()
()()
x
xx

36 CHAPITRE 2
2Mstand/renf – JtJ 2016
Exercice 2.1: En observant les graphiques suivants, déterminer les limites probables proposées
1) 2)
lim
x→+∞
f(x)= ………
lim
x→0
+
f(x)= ………
lim
x→0
+
f(x)= ………
lim
x→+∞
f(x)= ………
3) 4)
lim
x→2− f(x)= ………
lim
x→2+ f(x)= ………
lim
x→2
f(x)= ………
lim
x→4− f(x)= ………
lim
x→4+ f(x)= ………
lim
x→4
f(x)= ………
5) 6)
lim
x→−∞
f(x)= ………
lim
x→+∞
f(x)= ………
lim
x→0
f(x)= ………
lim
x→−∞
f(x)= ………
lim
x→+∞
f(x)= ………
lim
x→0
f(x)= ………
Exercice 2.2: Deviner à l'aide d'une calculatrice la valeur des limites suivantes:
1)
lim
x→1
2
x
−2
x−1
2)
lim
x→1+
3
1−x
3)
lim
x→+∞
3x
2
−2
x
2
4)
lim
x→0
xx
Exercice 2.3: Esquisser le graphe de f(x)=2−x+1
Puis en déduire
lim
x→2
−
f(x)
,
lim
x→2
+
f(x)
,
lim
x→0
f(x)
x
y
f(x)
x
y
f(x)
2 4 6 x
y f(x)
2 4 6
2
x
y f(x)
-4
-2
0
2
4
x
y
f(x)
-4 -2 2 4
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y f(x)

LIMITES ET ASYMPTOTES 37
2Mstand/renf – JtJ 2016
2.3 Définitions de la limite d'une fonction en un point
Définition: • Soit a et L deux nombres réels et f une fonction. Le nombre L est la
limite de f en x = a si f(x) reste arbitrairement proche de L dès que x
est suffisamment proche de a, mais x ≠ a.
• On note
lim
x→af(x)=L
• On dit aussi que L est la limite de f (x) lorsque x tend vers a
Exemple:
• La limite
lim
x→2f(x)
est bien définie et vaut
lim
x→2
f(x)=5
• La limite
lim
x→2f(x)
n'est pas définie
Définitions: Le nombre L est la limite de f en x = a depuis la gauche si f (x) reste
arbitrairement proche de L dès que x est suffisamment proche de a, mais
x < a.
On note dans ce cas:
lim
x→a
−
f(x)=L
On définit de façon analogue la limite de f en x = a depuis la droite,
notée
lim
x→a
+
f(x)=L
Dans le deuxième exemple précédent:
lim
x→2
−f(x)=5
et
lim
x→2
+f(x)=2, 5
Propriété: Le nombre L est la limite de f en x = a (et donc cette limite existe) si et
seulement si la limite depuis la gauche est égale à la limite depuis la
droite:
lim
x→a
f(x)=L
⇔
lim
x→a−
f(x)=L=lim
x→a+
f(x)
x
1.9 22.1
-10
-5
5
10
x
y
1 2
Zoom