Formulation générale des séries de Fourier 1 Séries en sinus et

FUNDP - Unit´e de didactique de la physique
Formulation g´en´erale des s´eries de Fourier
1 S´eries en sinus et cosinus
Soit une fonction p´eriodique h(t). Fourier a montr´e que h(t) peut s’exprimer comme
une somme de fonctions p´eriodiques :
h(t) = A0
2+
∞
X
n=1
Ancos 2πt
T
n
−ϕn!(1)
En utilisant la relation trigonom´etrique suivante :
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b(2)
On peut r´e´ecrire h(t) :
h(t) = A0
2+
∞
X
n=1 Ancos ϕncos 2πnt
T+Ansin ϕnsin 2πnt T (3)
Notons a0le terme A0
2,anle terme (Ancos ϕn) et bnle terme (Ansin ϕn). h(t) peut alors
s’´ecrire de la mani`ere suivante :
h(t) = a0+
∞
X
n=1 ancos 2πnt
T+bnsin 2πnt T (4)
Les cosinus et sinus de l’expression (4) sont ind´ependants et orthogonaux sur une
p´eriode car leur produit scalaire est nul, comme on peut le voir dans les relations sui-
vantes1:
1. δij est le symbole de Kronecker et vaut 1 si i=jet z´ero sinon.
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Zt0+T
t0
sin 2πmt
Tsin 2πnt Tdt =(δmn T
2m6= 0
0m= 0 (5a)
Zt0+T
t0
cos 2πmt
Tcos 2πnt Tdt =(δmn T
2m6= 0
T m =n= 0 (5b)
Zt0+T
t0
sin 2πmt
Tcos 2πnt Tdt = 0 (5c)
En multipliant h(t) par sin 2πmt
Tou cos 2πmt T, en int´egrant sur la p´eriode Tet en uti-
lisant les propri´et´es d’orthogonalit´e d´ecrites par les ´equations (5), on obtient les expressions
des a0,anet bn:
a0=1
TZT
0
h(t)dt (6)
an=2
TZT
0
h(t) cos 2πnt
Tdt (7)
bn=2
TZT
0
h(t) sin 2πnt
Tdt (8)
D’apr`es ces expressions, on peut voir que si la fonction h(t) est paire, tous les bnseront
nuls tandis que si h(t) est une fonction impaire, ce seront les anqui s’annuleront.
2 S´erie de Fourier sous forme complexe
L’´equation (1) peut se mettre sous la forme exponentielle suivante :
h(t) = A0
2+
∞
X
n=1
An
2ej[2πnt
T−ϕn]+
∞
X
n=1
An
2e−j[2πnt
T−ϕn](9)
En effet, si on se rappelle des relations d’Euler :
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e+jθ = cos θ+jsin θ(10)
e−jθ = cos θ−jsin θ(11)
On trouve que :
1
2e+jθ +1 2e−jθ = cos θ(12)
Il suffit d`es lors de prendre θ=2πnt
T−ϕnet d’introduire l’expression de cos θdans
l’expression (1) pour obtenir la relation (9).
Finalement (9) peut s’´ecrire sous la forme suivante :
h(t) =
+∞
X
n=−∞
Cnej2πnt
T(13)
Les coefficients Cnsont des nombres complexes et valent en tenant compte que ϕ−n=
ϕn:
Cn<0=An
2ejϕn(14a)
Cn=0 =A0
2(14b)
Cn>0=An
2e−jϕn(14c)
On peut remarquer que2C−n=C∗
net donc |C−n|=|Cn|. Le coefficient Cnest donn´e
par :
Cn=1
TZT
0
h(t)e
−j2πnt
Tdt (15)
2. A∗est le complexe conjugu´e de A.
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