Formulation générale des séries de Fourier 1 Séries en sinus et

FUNDP - Unité de didactique de la physique
Formulation générale des séries de Fourier
1
Séries en sinus et cosinus
Soit une fonction périodique h(t). Fourier a montré que h(t) peut s’exprimer comme
une somme de fonctions périodiques :
!
(1)
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
(2)
∞
2πt
A0 X
h(t) =
+
An cos
2
n=1
T
n
− ϕn
En utilisant la relation trigonométrique suivante :
On peut réécrire h(t) :
∞ A0 X
2πnt
2πnt
+
An cos ϕn cos
+ An sin ϕn sin
h(t) =
2
T
T
n=1
(3)
Notons a0 le terme A20 , an le terme (An cos ϕn ) et bn le terme (An sin ϕn ). h(t) peut alors
s’écrire de la manière suivante :
h(t) = a0 +
∞ X
an cos
n=1
2πnt
T
+ bn sin
2πnt
T
(4)
Les cosinus et sinus de l’expression (4) sont indépendants et orthogonaux sur une
période car leur produit scalaire est nul, comme on peut le voir dans les relations suivantes 1 :
1. δij est le symbole de Kronecker et vaut 1 si i = j et zéro sinon.
Matthieu Dontaine - Fernande Frising
1
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(
δmn T2 m 6= 0
2πnt
2πmt
sin
dt =
sin
T
T
0
m=0
t0
(
Z t0 +T
δmn T2 m 6= 0
2πmt
2πnt
cos
cos
dt =
T
T
T
m=n=0
t0
Z t0 +T
2πnt
2πmt
sin
cos
dt = 0
T
T
t0
Z
t0 +T
En multipliant h(t) par sin
2πmt
T
ou cos
2πmt
T
(5a)
(5b)
(5c)
, en intégrant sur la période T et en uti-
lisant les propriétés d’orthogonalité décrites par les équations (5), on obtient les expressions
des a0 ,an et bn :

Z


1 T


h(t)dt
a0 =


T Z0




2 T
2πnt
an =
h(t) cos
dt
T
T

0

Z


2 T
2πnt


h(t) sin
dt
bn =



T 0
T

(6)
(7)
(8)
D’après ces expressions, on peut voir que si la fonction h(t) est paire, tous les bn seront
nuls tandis que si h(t) est une fonction impaire, ce seront les an qui s’annuleront.
2
Série de Fourier sous forme complexe
L’équation (1) peut se mettre sous la forme exponentielle suivante :
h(t) =
∞
∞
X
A0 X An j [ 2πnt
An −j [ 2πnt
−ϕn ]
T
+
e T −ϕn ] +
e
2
2
2
n=1
n=1
En effet, si on se rappelle des relations d’Euler :
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2
(9)
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On trouve que :



 e+jθ = cos θ + j sin θ
e−jθ = cos θ − j sin θ



(10)
(11)
1 +jθ 1 −jθ
e + e
= cos θ
(12)
2
2
Il suffit dès lors de prendre θ = 2πnt
−
ϕ
et d’introduire l’expression de cos θ dans
n
T
l’expression (1) pour obtenir la relation (9).
Finalement (9) peut s’écrire sous la forme suivante :
+∞
X
h(t) =
Cn e
j2πnt
T
(13)
n=−∞
Les coefficients Cn sont des nombres complexes et valent en tenant compte que ϕ−n =
ϕn :
An jϕn
e
2
A0
=
2
An −jϕn
=
e
2
Cn<0 =
(14a)
Cn=0
(14b)
Cn>0
(14c)
On peut remarquer que 2 C−n = Cn∗ et donc |C−n | = |Cn |. Le coefficient Cn est donné
par :
1
Cn =
T
Z
T
h(t) e
0
2. A∗ est le complexe conjugué de A.
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3
−j2πnt
T
dt
(15)