TS-spe Contrôle : divisibilité, division euclidienne E Contrôle : divisibilité,. division euclidienne 5 . correction 1. On considère un entier naturel p non nul. E 1 . correction (a) Démontrer par récurrence que 6 divise 10p − 4 . 1. Démontrer qu'il n'existe pas d'entier relatif a et b tels que 26a − 54b = 2013 . (b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 10p par 6 est 4 . 2. Un entier naturel x s'écrit a n a n−1 . . . a 1 a 0 dans la numération décimale. E 2 . correction Démontrer que 6 divise x si, et seulement si, 6 divise 4 (an + an−1 + . . . + a1 ) + a0 . 1. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n + 5 divise 3n + 4 . E 1. n ∈ E 3 . correction N , effectuer la division euclidienne de 3n + 8 par n + 1 . 4 . correction 1. Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b , le quotient est 17 et le reste r . Déterminer les valeurs possibles pour b et r . Page 1 TS-spe Contrôle : divisibilité, division euclidienne E E lorsque 5 < n + 1 , c'est à dire lorsque 5 ⩽ n . 1 . énoncé 26 et 54 sont divisibles par 2 donc pour tous entiers relatifs a et b 26a − 54b Lorsque n ⩽ 4 on a : est divisible par 2 , or 2013 est impair donc il n'existe pas d'entiers relatifs tels que 26a − 54b = 2013 . E □ 2 . énoncé Si 2n+5 divise 3n+4 alors 2n+5 divise la combinaison linéaire 3 (2n + 5)− 2 (3n + 4) = 7 . On a donc 2n + 5 ∈ {−7 ; −1 ; 1 ; 7} c'est à dire n ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; 1} . □ 3 . énoncé 3n + 8 = 3 (n + 1) + 5 . 5 est le reste de la division euclidienne de 3n + 8 par n + 1 . Correction Si n = −6 , −7 divise 3 × (−6) + 4 = −14 ; □ si n = −3 , −1 divise 3 × (−3) + 4 = −5 ; □ si n = −2 , 1 divise 3 × (−2) + 4 = −2 ; □ si n = 1 , 7 divise 3 × 1 + 4 = 7 . n = 0, a = 8, b = 1, r = 0 ; □ n = 1 , a = 11 , b = 2 , r = 1 ; □ n = 2 , a = 14 , b = 3 , r = 2 ; □ n = 3 , a = 17 , b = 4 , r = 1 ; □ n = 4 , a = 20 , b = 5 , r = 0 . E Réciproquement : □ □ 4 . énoncé 1512 = 17b + r et 0 ⩽ r < b ⇐⇒ r = 1512 − 17b et 0 ⩽ 1512 − 17b < b ⇐⇒ r = 1512 − 17b et 0 ⩽ 1512 − 17b < b 1512 1512 ⇐⇒ r = 1512 − 17b et <b⩽ 18 17 ⇐⇒ (r ; b) ∈ {(85 ; 67) ; (86 ; 50) ; (87 ; 33) ; (88 ; 16)} car E 1512 1512 ≈ 88, 94 et = 84 . 17 18 5 . énoncé 1. (a) Soit Pp la propriété : 6 | 10p − 4 . Conclusion : 2n + 5 divise 3n + 4 si, et seulement si, n ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; 1} . □ Page 2 Initialisation : Pour p = 1 , 101 − 4 = 6 donc P1 est vraie. TS-spe □ Contrôle : divisibilité, division euclidienne Hérédité : Montrons que pour tout p ∈ N∗ , Pp ⇒ Pp+1 . Z ∃k ∈ Z, 10p+1 − 40 = 60k ∃k ∈ Z, 10p+1 − 4 = 36 + 60k ∃k ∈ Z, 10p+1 − 4 = 6 (6 + 10k) 6 | 10p − 4 =⇒ ∃k ∈ , 10p − 4 = 6k =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ 6 | 10p+1 − 4 On a montré que Pp implique Pp+1 . □ Conclusion : Pour tout p ∈ (b) Pour tout p ∈ N∗ , 6 | 10p − 4 . N∗ , 6 | 10p − 4 donc il existe qp ∈ Z tel que 10p = 6qp + 4 . Le reste de la division euclidienne de 10p par 6 est donc 4. ( ) 2. Il existe q1 , . . . , qn ∈ Zn tel que x = a n a n−1 . . . a 1 a 0 = a n 10n + a n−1 10n−1 + . . . + a 1 10 + a 0 ( ) ( ) = a n 6q n + 4 + . . . + a 1 6q 1 + 4 + a 0 ( ) = 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 + 4 (a n + . . . + a 1 ) + a 0 ( ) =⇒) Si 6 | x alors 6 | x−6 a n q n + . . . + a 1 q 1 c'est à dire 6 | 4 (a n + . . . + a 1 )+a 0 . ( ) ⇐=) Si 6 | 4 (a n + . . . + a 1 ) + a 0 alors 6 | 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 + 4 (a n + . . . + a 1 ) + ( ) a 0 car 6 | 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 donc 6 | x . Page 3