Contrôle : divisibilité, division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5

TS-spe Contrôle : divisibilité, division euclidienne
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Contrôle : divisibilité, division euclidienne
E 1 .. correction
1. Démontrer qu'il n'existe pas d'entier relatif aet btels que 26a−54b=2013 .
E 2 .. correction
1. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n+5divise 3n+4.
E 3 .. correction
1. n∈, effectuer la division euclidienne de 3n+8par n+1.
E 4 .. correction
1. Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b, le quo-
tient est 17 et le reste r.
Déterminer les valeurs possibles pour bet r.
E 5 .. correction
1. On considère un entier naturel pnon nul.
(a) Démontrer par récurrence que 6divise 10p−4.
(b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 10ppar 6est 4.
2. Un entier naturel xs'écrit anan−1...a1a0dans la numération décimale.
Démontrer que 6divise xsi, et seulement si, 6divise 4(an+an−1+. . . +a1)+
a0.
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Correction
E 1 .. énoncé
26 et 54 sont divisibles par 2donc pour tous entiers relatifs aet b26a−54b
est divisible par 2, or 2013 est impair donc il n'existe pas d'entiers relatifs tels
que 26a−54b=2013 .
E 2 .. énoncé
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□
□Si 2n+5divise 3n+4alors 2n+5divise la combinaison linéaire 3(2n+5)−
2(3n+4)=7.
On a donc 2n+5∈{−7 ; −1 ; 1 ; 7}c'est à dire n∈{−6 ; −3 ; −2 ; 1}.
□
□
□Réciproquement :
□
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□Si n= −6,−7divise 3×(−6)+4= −14 ;
□
□
□si n= −3,−1divise 3×(−3)+4= −5;
□
□
□si n= −2,1divise 3×(−2)+4= −2;
□
□
□si n=1,7divise 3×1+4=7.
Conclusion : 2n+5divise 3n+4si, et seulement si, n∈{−6 ; −3 ; −2 ; 1}.
E 3 .. énoncé
3n+8=3(n+1)+5.5est le reste de la division euclidienne de 3n+8par n+1
lorsque 5<n+1, c'est à dire lorsque 5⩽n.
Lorsque n⩽4on a :
□
□
□n=0,a=8,b=1,r=0;
□
□
□n=1,a=11 ,b=2,r=1;
□
□
□n=2,a=14 ,b=3,r=2;
□
□
□n=3,a=17 ,b=4,r=1;
□
□
□n=4,a=20 ,b=5,r=0.
E 4 .. énoncé
1512 =17b+ret 0⩽r<b⇐⇒ r=1512 −17bet 0⩽1512 −17b<b
⇐⇒ r=1512 −17bet 0⩽1512 −17b<b
⇐⇒ r=1512 −17bet 1512
18 <b⩽1512 17
⇐⇒ (r;b)∈{(85 ; 67);(86 ; 50);(87 ; 33);(88 ; 16)}
car 1512
17 ≈88, 94 et 1512 18 =84 .
E 5 .. énoncé
1. (a) Soit Ppla propriété : 6|10p−4.
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□Initialisation : Pour p=1,101−4=6donc P1est vraie.
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□Hérédité : Montrons que pour tout p∈∗,Pp⇒Pp+1.
6|10p−4=⇒ ∃k∈, 10p−4=6k
=⇒ ∃k∈, 10p+1−40 =60k
=⇒ ∃k∈, 10p+1−4=36 +60k
=⇒ ∃k∈, 10p+1−4=6(6+10k)
=⇒ 6|10p+1−4
On a montré que Ppimplique Pp+1.
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□
□Conclusion : Pour tout p∈∗,6|10p−4.
(b) Pour tout p∈∗,6|10p−4donc il existe qp∈tel que 10p=6qp+4.
Le reste de la division euclidienne de 10ppar 6est donc 4.
2. Il existe (q1,...,qn)∈ntel que
x=anan−1...a1a0=an10n+an−110n−1+...+a110 +a0
=an(6qn+4)+...+a1(6q1+4)+a0
=6(anqn+. . . +a1q1)+4(an+. . . +a1)+a0
=⇒)Si 6|xalors 6|x−6(anqn+...+a1q1)c'est à dire 6|4(an+...+a1)+a0.
⇐=)Si 6|4(an+. . . +a1)+a0alors 6|6(anqn+...+a1q1)+4(an+. . . +a1)+
a0car 6|6(anqn+...+a1q1)donc 6|x.
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