Contrôle : divisibilité, division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5

TS-spe
Contrôle : divisibilité, division euclidienne
E
Contrôle : divisibilité,. division euclidienne
5
. correction
1. On considère un entier naturel p non nul.
E
1
. correction
(a) Démontrer par récurrence que 6 divise 10p − 4 .
1. Démontrer qu'il n'existe pas d'entier relatif a et b tels que 26a − 54b = 2013 .
(b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 10p par 6 est 4 .
2. Un entier naturel x s'écrit a n a n−1 . . . a 1 a 0 dans la numération décimale.
E
2
. correction
Démontrer que 6 divise x si, et seulement si, 6 divise 4 (an + an−1 + . . . + a1 ) +
a0 .
1. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n + 5 divise 3n + 4 .
E
1. n ∈
E
3
. correction
N , effectuer la division euclidienne de 3n + 8 par n + 1 .
4
. correction
1. Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b , le quotient est 17 et le reste r .
Déterminer les valeurs possibles pour b et r .
Page 1
TS-spe
Contrôle : divisibilité, division euclidienne
E
E
lorsque 5 < n + 1 , c'est à dire lorsque 5 ⩽ n .
1
. énoncé
26 et 54 sont divisibles par 2 donc pour tous entiers relatifs a et b 26a − 54b
Lorsque n ⩽ 4 on a :
est divisible par 2 , or 2013 est impair donc il n'existe pas d'entiers relatifs tels
que 26a − 54b = 2013 .
E
□
2
. énoncé
Si 2n+5 divise 3n+4 alors 2n+5 divise la combinaison linéaire 3 (2n + 5)−
2 (3n + 4) = 7 .
On a donc 2n + 5 ∈ {−7 ; −1 ; 1 ; 7} c'est à dire n ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; 1} .
□
3
. énoncé
3n + 8 = 3 (n + 1) + 5 . 5 est le reste de la division euclidienne de 3n + 8 par n + 1
.
Correction
Si n = −6 , −7 divise 3 × (−6) + 4 = −14 ;
□
si n = −3 , −1 divise 3 × (−3) + 4 = −5 ;
□
si n = −2 , 1 divise 3 × (−2) + 4 = −2 ;
□
si n = 1 , 7 divise 3 × 1 + 4 = 7 .
n = 0, a = 8, b = 1, r = 0 ;
□
n = 1 , a = 11 , b = 2 , r = 1 ;
□
n = 2 , a = 14 , b = 3 , r = 2 ;
□
n = 3 , a = 17 , b = 4 , r = 1 ;
□
n = 4 , a = 20 , b = 5 , r = 0 .
E
Réciproquement :
□
□
4
. énoncé
1512 = 17b + r et 0 ⩽ r < b
⇐⇒ r = 1512 − 17b et 0 ⩽ 1512 − 17b < b
⇐⇒ r = 1512 − 17b et 0 ⩽ 1512 − 17b < b
1512
1512
⇐⇒ r = 1512 − 17b et
<b⩽
18
17
⇐⇒ (r ; b) ∈ {(85 ; 67) ; (86 ; 50) ; (87 ; 33) ; (88 ; 16)}
car
E
1512
1512
≈ 88, 94 et
= 84 .
17
18
5
. énoncé
1. (a) Soit Pp la propriété : 6 | 10p − 4 .
Conclusion : 2n + 5 divise 3n + 4 si, et seulement si, n ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; 1} .
□
Page 2
Initialisation : Pour p = 1 , 101 − 4 = 6 donc P1 est vraie.
TS-spe
□
Contrôle : divisibilité, division euclidienne
Hérédité : Montrons que pour tout p ∈
N∗ , Pp ⇒ Pp+1 .
Z
∃k ∈ Z, 10p+1 − 40 = 60k
∃k ∈ Z, 10p+1 − 4 = 36 + 60k
∃k ∈ Z, 10p+1 − 4 = 6 (6 + 10k)
6 | 10p − 4 =⇒ ∃k ∈ , 10p − 4 = 6k
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒ 6 | 10p+1 − 4
On a montré que Pp implique Pp+1 .
□
Conclusion : Pour tout p ∈
(b) Pour tout p ∈
N∗ , 6 | 10p − 4 .
N∗ , 6 | 10p − 4 donc il existe qp ∈ Z tel que 10p = 6qp + 4 .
Le reste de la division euclidienne de 10p par 6 est donc 4.
(
)
2. Il existe q1 , . . . , qn ∈
Zn tel que
x = a n a n−1 . . . a 1 a 0 = a n 10n + a n−1 10n−1 + . . . + a 1 10 + a 0
(
)
(
)
= a n 6q n + 4 + . . . + a 1 6q 1 + 4 + a 0
(
)
= 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 + 4 (a n + . . . + a 1 ) + a 0
(
)
=⇒) Si 6 | x alors 6 | x−6 a n q n + . . . + a 1 q 1 c'est à dire 6 | 4 (a n + . . . + a 1 )+a 0 .
(
)
⇐=) Si 6 | 4 (a n + . . . + a 1 ) + a 0 alors 6 | 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 + 4 (a n + . . . + a 1 ) +
(
)
a 0 car 6 | 6 a n q n + . . . + a 1 q 1 donc 6 | x .
Page 3