Rappels d`analyse fonctionnelle et quelques compléments d

Annexe A
Quelques rappels d’analyse
fonctionnelle
Dans cette annexe, nous rappelons (sans donner de d´emonstrations) les r´esultats
cl´es d’analyse fonctionnelle utilis´es dans ce cours. On pourra consulter pour plus
de d´etails [11, 12, 2, 1].
A.1 Produit de Cauchy de s´eries
Dans cette section, nous allons donner un r´esultat important sur le produit de
deux s´eries. Avant nous rappelons la d´efinition de convergence d’une s´erie index´ee
par Z.
D´efinition A.1.1 Soient Eun espace vectoriel norm´e et (un)n∈Zune suite (in-
dex´e par Z) d’´el´ements de E. On dit que la s´erie X
n∈Z
unde terme g´en´eral un
est :
(a) convergente si chacune des deux s´eries usuelles X
n∈N
unet X
n∈N
u−nest conver-
gente. On pose alors
X
n∈Z
un=
∞
X
n=0
un+
∞
X
n=1
u−n.
(b) normalement convergente si X
n∈Z
kunkest convergente.
113

114 ANNEXE A. QUELQUES RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLE
Si Eest complet, alors la convergence normale implique la convergence.
Proposition A.1.1 Soient X
n∈Z
unet X
n∈Z
vndeux s´eries `a termes g´en´eraux unet
vndans une alg`ebre de Banach E. Si les deux s´eries sont normalement conver-
gentes, alors la s´erie de terme g´en´eral
wn:= X
k∈Z
ukvn−k,
est bien d´efinie et normalement convergente. De plus, on a
X
n∈Z
wn= X
n∈Z
un! X
n∈Z
vn!.
Pour une preuve de cette proposition, on pourra se reporter `a [1].
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonc-
tionnelle
A.2.1 Th´eor`emes de Hahn-Banach
Soit (E, k · k) un K-espace vectoriel norm´e (K=Rou C). On d´esigne par E∗
le dual (topologique) de E, i.e. l’espace des formes lin´eaires et continues sur E.
Rappelons que E∗est muni de la norme duale :
kϕkE∗= sup
x∈E
kxk≤1
|ϕ(x)|.
Le th´eor`eme de Hahn-Banach affirme que si Gest un sous-espace vectoriel de E
et si g:G7−→ Kest lin´eaire et continue de norme
kgkG′:= sup
x∈G
kxk≤1
|g(x)|,
alors, il existe f∈E∗qui prolonge get telle que
kfkE∗=kgkG′.
Ce th´eor`eme admet deux corollaires importants.

A.2. QUELQUES GRANDS PRINCIPES D’ANALYSE FONCTIONNELLE115
Corollaire A.2.1 Pour tout x∈E, il existe ϕx∈E∗tel que kϕxk= 1 et
ϕx(x) = kxk.
Le deuxi`eme corollaire (qui se d´eduit ais´ement du premier) affirme que E∗
s´epare les points de E.
Corollaire A.2.2 Soit x, y ∈Eet supposons que pour tout ϕ∈E∗, on a ϕ(x) =
ϕ(y). Alors x=y.
A.2.2 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus
Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus affirme qu’une famille d’op´erateurs lin´eaires
et continues qui est ponctuellement born´ee est en fait uniform´ement born´ee. Plus
pr´ecis´ement :
Th´eor`eme A.2.1 Soient Eet Fdeux espaces de Banach. Soit (Ti)i∈Iune fa-
mille (non n´ecessairement d´enombrable) d’op´erateurs lin´eaires et continues de E
dans F. On suppose que
sup
i∈I
kTixk<+∞,∀x∈E.
Alors
sup
i∈I
kTik<+∞.
Autrement dit, il existe une constante ctelle que
kTixk ≤ ckxk,∀x∈E, ∀i∈I.
Ce r´esultat admet une cons´equence int´eressante qui affirme qu’un ensemble
d’un espace de Banach qui est faiblement born´e est en fait born´e (en norme).
Corollaire A.2.3 Soit Eun espace de Banach et soit Mun sous-ensemble de
E. Supposons que, pour tout ϕ∈E∗,ϕ(M)est born´e. Alors Mest born´e.

116 ANNEXE A. QUELQUES RAPPELS D’ANALYSE FONCTIONNELLE
A.2.3 Crit`ere d’inversibilit´e `a gauche
Rappelons tout d’abord la d´efinition d’inversibilit´e `a gauche.
D´efinition A.2.1 Soient Xet Ydeux espaces de Banach et T:X−→ Yune
application lin´eaire et born´ee. On dit que Test inversible `a gauche s’il existe
V:Y−→ Xlin´eaire et born´ee telle que V T =IdX.
En utilisant le th´eor`eme d’isomorphisme de Banach, on peut montrer le crit`ere
suivant pour l’inversibilit´e d’un op´erateur `a gauche.
Th´eor`eme A.2.2 Soient X, Y deux espaces de Banach et T:X−→ Yune
application lin´eaire et born´ee. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Test inversible `a gauche.
(ii) Test injectif et `a image ferm´ee.
(iii) Il existe c > 0tel que
kT xkY≥ckxkX,∀x∈X.
A.3 Topologie faible∗et th´eor`eme de Banach-
Alaoglu
Tout d’abord commen¸cons par un rappel de topologie g´en´erale. Soit Xun
ensemble et soit (Yi)i∈Iune famille d’espaces topologiques. Pour chaque i∈I,
on se donne une application ϕi:X−→ Yi. La question naturelle qui se pose est
de munir Xde la topologie τla plus faible, i.e. avec le minimum d’ouverts, qui
rende continues toutes les applications ϕi,i∈I. La r´eponse est la suivante :
Th´eor`eme A.3.1 Soit τla topologie sur Xdont les ouverts s’obtiennent en
consid´erant d’abord des intersections finies d’ensembles de la forme ϕ−1(ωi),ωi
ouvert de Yi, et ensuite des r´eunions quelconques. Alors τest la topologie la plus
faible qui rende continues toutes les applications ϕi,i∈I.

A.3. TOPOLOGIE FAIBLE∗ET TH ´ EOR ` EME DE BANACH-ALAOGLU 117
D´efinition A.3.1 Etant donn´ee une topologie Ssur Eet x∈E, on appelle
base de voisinage de xpour la topologie Stoute collection Bd’ouverts (pour S)
contenant xet telle que chaque voisinage ouvert de xcontient un ´el´ement de B.
Nous allons maintenant appliquer ce qui pr´ec`ede dans le contexte des espaces de
Banach pour d´efinir la topologie faible∗.
Soit Eun K-espace de Banach (K=Rou C) et soit E∗son dual topologique.
Pour chaque x∈E, on consid`ere l’application ϕx:E∗−→ Kd´efinie par
ϕx(f) = f(x), f ∈E∗.
D´efinition A.3.2 La topologie faible∗est la topologie la plus faible sur E∗ren-
dant continues toutes les applications ϕx,x∈E.
On peut pr´eciser un peu plus les bases de voisinage d’un point pour cette
topologie.
Proposition A.3.1 Soit f0∈E∗. Une base de voisinage de f0pour la topologie
faible∗est obtenue en consid´erant tous les ensembles de la forme
V={ϕ∈E∗:|ϕ(xi)−f0(xi)|< ε, ∀i∈I},
o`u Iest finie, xi∈Eet ε > 0.
L’importance de la topologie faible∗est sans aucun doute contenue dans le th´eor`eme
de Banach-Alaoglu.
Th´eor`eme A.3.2 (Banach-Alaoglu) Soit Eun espace de Banach, E∗son
dual topologique et
BE∗={ϕ∈E∗:kϕk ≤ 1}
la boule unit´e ferm´ee de E∗. Alors BE∗est compacte pour la topologie faible∗.