1°S - Monsieur CHAPON

1°S
SINUS ET COSINUS SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Dans le repère
(O;I;J)
ci contre, considérons le cercle trigonométrique C.
Propriété : soit
Mx
un point quelconque du cercle trigonométrique.
L'abscisse de M est égale à
cos x
et l'ordonnée de M est égale à
sin x
.
Propriété : pour tout réel x, on a :
–1cos x1
et
–1sin x1
.
VALEURS REMARQUABLES DE SINUS ET COSINUS
Soit x un réel quelconque : la figure ci-contre indique,
selon la valeur de x, le signe de son sinus et de son cosinus.
Par exemple, lorsque x appartient à
]
2;
[
, son abscisse est
négative donc :
–1cos x0
; son ordonnée est quant
à elle positive donc :
0sin x1
.
Propriété : le tableau ci-dessous donne des valeurs
remarquables du sinus et du cosinus de certains angles.
FORMULES LIANT SINUS ET COSINUS
En effectuant des symétries par rapport à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées ou à la droite d'équation
y=x
, on constate que
certains angles ont le même sinus ou cosinus. On dit alors que ce sont des angles associés. Le tableau ci-dessous résument les
différentes formules ainsi obtenues. Le cercle trigonométrique ci-dessous indique comment retrouver facilement toutes ces formules.
Propriété : soit x un réel quelconque. On a alors les égalités suivantes.
cos– x=cos x
sin– x=–sin x
cos – x=–cos x
sin  – x=sin x
cosx=–cos x
sinx=–sin x
cos
2– x
=sin x
sin
2– x
=cos x
cos
2x
=–sin x
sin
2x
=cos x
Soit
Mx
un point quelconque du
cercle trigonométrique ci-contre.
Nommons C et S ses projetés orthogonaux
respectifs sur
OI 
et
OJ .
En utilisant le théorème de Pythagore,
on obtient :
OC2OS 2=OM 2
.
En découle donc la propriété suivante.
Propriété : pour tout réel x, on a :
cos2xsin2x=1
.
Lycée Victor Hugo M. CHAPON
Trigonométrie vient du grec metron, « mesure », et gonos, « angle ». Le préfixe tri précise que la
trigonométrie s’occupe des mesures des figures formées avec « trois » angles : les triangles.
T
TRIGONOMÉTRIE RIGONOMÉTRIE

La formule précédente permet de déterminer le sinus d'un angle quand on connaît son cosinus ou bien de déterminer le cosinus
d'un angle quand on connaît son sinus.
Exemple : soit x un angle tel que :
cos x=3
4
. Déterminons
sin x
.
On a :
cos2x+sin2x=1
⇔
(
3
4
)
2
+sin2x=1
⇔
9
16 +sin 2x=1
⇔
sin2x=7
16
⇔
{
sin x=
√
7
16 =
√
7
4
ou
sin x=–
√
7
16 =–
√
7
4
.
Il y a donc deux valeurs possibles pour
sin x
.
ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Définition : on appelle équation trigonométrique une équation faisant intervenir sinus ou (et) cosinus.
Nous nous limiterons ici aux équations
cos x=
et
sin x=
où  est un réel quelconque.
Les deux figures ci-dessous mettent en évidence plusieurs cas selon la valeur de .
Propriété : soit un réel quelconque. Les solutions des équations
cos x=
et
sin x=
diffèrent selon la valeur de :
Exemple : résolvons l'équation
2sin x=
√
3
dans
[−2π;2π ]
.
Commençons par résoudre dans ℝ l'équation
2sin x=
√
3
:
2sin x=
√
3
⇔
sin x=
√
3
2
⇔
{
x=π
3+2kπ,k∈ℤ
ou
x=2π
3+2k'π,k'∈ℤ
. L'ensemble S des solutions est donc :
S = {
π
3+2kπ, k ∈ℤ
;
2π
3+2k ' π, k ' ∈ ℤ
}.
Parmi l'infinité de solutions contenues dans S, les seules qui appartiennent à
[−2π;2π ]
sont :
π
3
(pour
k=0
) ;
−5π
3
(pour
k=−1
) ;
2π
3
(pour
k '=0
) et
−4π
3
(pour
k '=−1
).
L'ensemble
S '
des solutions recherchées est donc :
S '
={
π
3
;
−5π
3
;
2π
3
;
−4π
3
}.
FORMULES D'ADDITION
Propriété : si a et b deux réels quelconques, alors on a les quatre formules ci-dessous, appelées formules d'addition.
cosab=cosacosb−sin asinb
sin ab=sin acosbcosasinb
cosa –b=cos acosbsin asinb
sin a−b=sin acosb−cosasinb
Lycée Victor Hugo M. CHAPON

Lycée Victor Hugo M. CHAPON