1°S Trigonométrie vient du grec metron, « mesure », et gonos, « angle ». Le préfixe tri précise que la trigonométrie s’occupe des mesures des figures formées avec « trois » angles : les triangles. TRIGONOMÉTRIE SINUS ET COSINUS SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Dans le repère (O ; I ; J ) ci contre, considérons le cercle trigonométrique C. Propriété : soit M x un point quelconque du cercle trigonométrique. L'abscisse de M est égale à cos x et l'ordonnée de M est égale à sin x . Propriété : pour tout réel x, on a : – 1cos x1 et – 1sin x1 . VALEURS REMARQUABLES DE SINUS ET COSINUS Soit x un réel quelconque : la figure ci-contre indique, selon la valeur de x, le signe de son sinus et de son cosinus. ; , son abscisse est Par exemple, lorsque x appartient à 2 négative donc : –1cos x0 ; son ordonnée est quant à elle positive donc : 0sin x1 . ] [ Propriété : le tableau ci-dessous donne des valeurs remarquables du sinus et du cosinus de certains angles. FORMULES LIANT SINUS ET COSINUS En effectuant des symétries par rapport à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées ou à la droite d'équation y= x , on constate que certains angles ont le même sinus ou cosinus. On dit alors que ce sont des angles associés. Le tableau ci-dessous résument les différentes formules ainsi obtenues. Le cercle trigonométrique ci-dessous indique comment retrouver facilement toutes ces formules. Propriété : soit x un réel quelconque. On a alors les égalités suivantes. cos – x=cos x sin – x=– sin x cos – x=– cos x sin – x=sin x cos x= – cos x sin x= –sin x 2 – x =sin x cos x =– sin x 2 cos 2 – x =cos x sin x =cos x 2 sin Soit M x un point quelconque du cercle trigonométrique ci-contre. Nommons C et S ses projetés orthogonaux respectifs sur OI et OJ . En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient : OC 2OS 2=OM 2 . En découle donc la propriété suivante. Propriété : pour tout réel x, on a : cos2 xsin 2 x=1 . Lycée Victor Hugo M. CHAPON La formule précédente permet de déterminer le sinus d'un angle quand on connaît son cosinus ou bien de déterminer le cosinus d'un angle quand on connaît son sinus. 3 Exemple : soit x un angle tel que : cos x= . Déterminons sin x . 4 2 On a : cos2 x+ sin 2 x=1 ⇔ 9 7 3 2 2 2 + sin x=1 ⇔ sin x= + sin x=1 ⇔ ⇔ 16 16 4 () { sin x= ou √ 7 7 =√ 16 4 . √ 7 √7 sin x=– =– 16 4 Il y a donc deux valeurs possibles pour sin x . ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition : on appelle équation trigonométrique une équation faisant intervenir sinus ou (et) cosinus. Nous nous limiterons ici aux équations cos x= et sin x= où est un réel quelconque. Les deux figures ci-dessous mettent en évidence plusieurs cas selon la valeur de . Propriété : soit un réel quelconque. Les solutions des équations cos x= et sin x= diffèrent selon la valeur de : Exemple : résolvons l'équation 2sin x=√ 3 dans [−2 π ; 2π ] . Commençons par résoudre dans ℝ l'équation 2sin x=√ 3 : x= π + 2 k π , k ∈ℤ 3 3 √ ou 2sin x=√ 3 ⇔ sin x= ⇔ . L'ensemble S des solutions est donc : 2 2π x= + 2 k ' π , k ' ∈ℤ 3 π 2π + 2k ' π , k ' ∈ ℤ }. S = { 3 + 2 k π ,k ∈ℤ ; 3 Parmi l'infinité de solutions contenues dans S, les seules qui appartiennent à [−2 π ; 2π ] sont : π 5π 2π 4π 3 (pour k =0 ) ; − 3 (pour k =−1 ) ; 3 (pour k '=0 ) et − 3 (pour k '=−1 ). π −5 π 2π −4 π L'ensemble S ' des solutions recherchées est donc : S ' ={ 3 ; ; ; }. 3 3 3 { FORMULES D'ADDITION Propriété : si a et b deux réels quelconques, alors on a les quatre formules ci-dessous, appelées formules d'addition. cosa b=cos a cos b −sin a sin b sin ab=sin a cosbcosa sin b cosa –b=cos a cosbsin a sin b sin a−b=sin a cosb−cosa sin b Lycée Victor Hugo M. CHAPON Lycée Victor Hugo M. CHAPON