TRIANGLES ISOM´ETRIQUES 1. Rappel des transformations usuelles

T RIANGLES ISOM ÉTRIQUES
L ES
TRANSFORMATIONS ISOM ÉTRIQUES
:
1. Rappel des transformations usuelles : dans chacun des cas suivants on indique comment obtenir
l’image M 0 d’un point M .
a) symétrie centrale de centre O :
Si M = O alors M 0 = O
Si M 6= O alors O est le milieu de [M M 0 ]
b) symétrie axiale par rapport à une droite ∆ :
Si M ∈ ∆ alors M 0 = M
Si M ∈
/ ∆ alors ∆ est la médiatrice de [M M 0 ]
−→
c) translation de vecteur AB :
−−−→0
−→
M M = AB, autrement dit M ABM 0 est un parallèlogramme
d) rotation de centre Ω et d’angle α :
Si M = Ω alors M 0 = M
Ø
Si M 6= Ω alors ΩM 0 = ΩM et M
ΩM 0 = α
2. Propriété fondamentale : les transformations usuelles rappelées ci-dessus ont la propriété commune de conserver les distances. C’est-à-dire que si M , N sont deux points du plan et M 0 , N 0 sont
leurs images respectives, par l’une des transformations suivantes :
• symétrie centrale par rapport à un point O,
• symétrie axiale par rapport à une droite ∆,
−→
• translation de vecteur AB, où A et B sont deux points du plan,
• Rotation de centre Ω et d’angle α,
alors on a M N = M 0 N 0 .
Définition : Ces transformations, ainsi que les composées de ces transformations, sont appelées
transformations isométriques du plan, ou plus simplement, isométries du plan.
Conséquences :
• Les isométries conservent l’alignement : si A, B et C sont trois points alignés dans ce sens
alors leurs images respectives A0 , B 0 et C 0 sont alignés dans ce sens.
En effet puisque A, B et C sont alignés dans ce sens, on a AC = AB + BC. Pour montrer
que A0 , B 0 et C 0 sont alignés dans ce sens, il faut montrer que A0 C 0 = A0 B 0 + B 0 C 0 . Or
puisque l’isométrie conserve les distances on a A0 C 0 = AC, A0 B 0 = AB et B 0 C 0 = BC.
Ainsi
A0 C 0 = AC = AB + BC = A0 B 0 + B 0 C 0 .
Ce qui montre l’alignement dans ce sens.
• Les isométries conservent l’orthogonalité : si A, B et C sont trois points tels que (AB) et
(AC) sont perpendiculaires et si on note A0 , B 0 et C 0 leurs images, alors (A0 B 0 ) et (A0 C 0 )
sont perpendiculaires.
En effet, puisque (AB) et (AC) sont perpendiculaires on a d’après le théorème de pythagore
BC 2 = BA2 + AC 2 . Montrons que B 0 C 02 = B 0 A02 + A0 C 02 . Puisque l’isométrie conserve
les distances on a A0 C 0 = AC, A0 B 0 = AB et B 0 C 0 = BC, on a donc B 0 C 02 = BC 2 =
BA2 + AC 2 = B 0 A02 + A0 C 02 . La réciproque du théorème de pythagore nous dit que (A 0 B 0 )
et (A0 C 0 ) sont perpendiculaires.
• Les isométries conservent le parallélisme : si d1 et d2 sont deux droites parallèles d’images d01
et d02 respectivement, alors d01 et d02 sont parallèles.
• Les isométries conservent les angles géométriques : Soit M , O et N d’images M 0 , O 0 et N 0
Œ
Ù
0 O0N 0 .
respectivement alors M
ON = M
3. Images par une transformation isométrique :
Théorème : Par une isométrie
• l’image d’un segment est un segment de même longueur et les milieux se correspondent dans
la transformation.
• un cercle a pour image un cercle de même rayon et les centres se correspondent dans la
transformation.
• deux droites sécantes en un point M ont pour images deux droites sécantes en un point M 0
image de M par la transformation.
II. T RIANGLES
ISOM ÉTRIQUES
1. Définition :
Définition : deux triangles qui se correspondent par une transformation isométrique sont dits
isométriques.
Propriété caractéristique : (premier cas d’isométrie) deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs cotés sont deux à deux de même longueur.
Propriété : Deux triangles isométriques ont leurs angles deux à deux égaux.
2. Les trois cas d’isométrie :
premier cas d’isométrie :
deux triangles ayant leurs cotés deux à deux de même
longueur sont isométriques.
second cas d’isométrie :
deux triangles ayant un angle de même mesure compris entre 2 cotés de même longueur sont isométriques
troisième cas d’isométrie :
deux triangles ayant un coté de même longueur, adjacent à
deux angles de même mesure sont isométriques