Chapitre 9 - Trigonométrie

Cours de 1`ere S/Trigonom´etrie
E. Dostal
Janvier 2016

Table des mati`eres
9 Trigonom´etrie 2
9.1 Nouvelle unit´e d’angle : le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
9.2 Angles orient´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.3 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
9.4 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
9.5 Formules trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1

Chapitre 9
Trigonom´etrie
9.1 Nouvelle unit´e d’angle : le radian
D´efinition 1 On consid`ere un cercle de centre O et de rayon 1, muni du sens trigonom´etrique
(sens inverse des aiguilles d’une montre). Ce cercle est appel´e cercle trigonom´etrique.
On ”enroule” la droite des r´eels autour de ce cercle en partant du point I dans le sens direct.
Un radian est la mesure de l’angle form´e au centre du cercle par un arc de longueur 1.
angle en degr´e 360 180 60 90 45 30
nombre de tours 1 1
2
1
6
1
4
1
8
1
12
angle en radians 2π π π
3
π
2
π
4
π
6
2

E. Dostal - 2016 CHAPITRE 9. TRIGONOM ´ ETRIE
Angle en radian −ππ
2
π
318π−5π 2
3π
4
Point du cercle A B C D E F G H I K
9.2 Angles orient´es
—
D´efinition 2 Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls.
On appelle angle orient´e de vecteurs, not´e (~u, ~v), l’angle en radians form´e par ces deux
vecteurs en les pla¸cant sur un cercle trigonom´etrique pour lequel ~u serait colin´eaire `a −→ OI.
3

E. Dostal - 2016 CHAPITRE 9. TRIGONOM ´ ETRIE
—
D´efinition 3 Soit un angle orient´e de vecteurs (~u, ~v). (avec ~u et ~v non nuls).
Cet angle a une infinit´e de mesures en radians (toute ´egales `a 2πpr`es). Il en existe une unique
dans l’intervalle ]−π; +π], appel´ee mesure principale de l’angle (~u, ~v).
— Toutes ces mesures ´etant ´egales `a 2πpr`es, on ´ecrira des ´egalit´es modulo 2π.
Dans l’exemple pr´ec´edent, on a :
(−→ OA, −−→ OC) = π
3[2π]
(−−→ OB, −→ OA) = π
2[2π]
(−−→ OK, −→ OA) = 7π
4=−π 4[2π]
—Exemple 1
Donner la mesure principale de l’angle (−→ RS, −→ RT ) = 27π
5
9.3 R`egles de calcul
—
Proposition 2 Relation de Chasles
Soient ~u,~v et ~w, trois vecteurs non nuls. Alors :
(~u, ~v) + (~v, ~w) = (~u, ~w) [2π]
—
Proposition 3 Soient ~u et ~v non nuls.
(~v, ~u) = −(~u, ~v) [2π]
(~u, −~v) = π+ (~u, ~v) [2π]
(−~u, ~v) = π+ (~u, ~v) [2π]
(−~u, −~v) = (~u, ~v) [2π]
4