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ENSI 1984 LES ENDOMORPHISMES CYCLIQUES Option M
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DURÉE : 4 HEURES
N.B. - La partie III n’utilise que les résultats de la partie I et n’intervient pas dans la partie IV.
NOTATIONS
Dans tout le problème, désigne un corps commutatif, un espace vectoriel sur de dimen-
sion finie supérieure ou égale à 2, Ll’algèbre des endomorphismes de , I l’élément
de Ldéfini par I et Hl’ensemble des homothéties de c’est-à-dire
HI
Pour un endomorphisme de , on note :
I et pour tout entier ; .
C(appelé commutant de ) la sous-algèbre de Ldes endomorphismes de com-
mutants avec , c’est-à-dire tels que .
le polynôme caractéristique de .
pour tout polynôme de défini par , désigne l’endomorphisme
de défini par (on notera que est un élément de C
pour tout vecteur de , désigne le sous-espace vectoriel engendré par la famille de
vecteurs .
un endomorphisme de est dit cyclique s’il existe un vecteur de tel que
Si Aest une partie non vide de L, on note :
C A L A
Enfin pour une matrice de l’algèbre Mdes matrices carrées d’ordre à coefficients dans
, on note C M (appelé commutant de la matrice ).
Les candidats pourront admettre et utiliser les résultats suivants :
1. Soit Bune base de ; pour un endomorphisme de soit Bla matrice de dans la
base B.
Alors, un endomorphisme appartient au commutant de si, et seulement si, Bappar-
tient au commutant de Bet l’application Best un isomorphisme entre ces
deux algèbres.
2. Soit ; le déterminant :
.
.
..
.
..
.
..
.
.noté
est nul si et seulement s’il existe un couple tel que : , , et .
PARTIE I
Soit un vecteur de et un endomorphisme de .
a. Montrer que est le plus petit sous-espace vectoriel de , contenant et stable par .
b. Soit ; on pose . Montrer que et que est
une base de
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c. Caractériser au moyen de la dimension de les vecteurs propres de
On suppose que est un endomorphisme cyclique. Soit alors tel que
soit une base de E.
a. Montrer que est une partie libre de L.
b. Soit et deux éléments de C. Montrer que si, et seulement si, .
c. Montrer que est une base de C.
d. On pose où pour .
Calculer le polynôme caractéristique de à l’aide des coefficients .
En déduire que .
Dans cette question est un endomorphisme quelconque de .
a. Soit un sous-espace vectoriel de stable par et soit l’endomorphisme de induit
par .
Montrer que divise . En déduire que est inclus dans .
b. Soit , . Montrer que induit sur le sous-espace un endomorphisme
cyclique de . En déduire que .
c. Montrer que est l’endomorphisme nul.
a. Soit un endomorphisme de E tel que . Montrer que est une
homothétie de E.
b. Application : Soit Aune partie non vide de Lsatisfaisant la propriété :
Atel que I
(où désigne la droite vectorielle engendrée par ).
Montrer que C A H
c. En déduire que C A H dans les 2 cas suivants :
1. AGL ( ensemble des automorphismes de ). ( On pourra éventuellement
distinguer le cas où est de caractéristique 2 ).
2. ; est un espace euclidien et Al’ensemble des endomorphismes orthogonaux
de .
PARTIE II
Dans toute cette partie, désigne un endomorphisme de , les valeurs propres distinctes
de dans et leurs ordres de multiplicité respectifs.
On suppose que , c’est-à-dire que a valeurs propres distinctes dans . Montrer que
est cyclique.
Dans cette question, on suppose diagonalisable.
a. Montrer que Csi, et seulement si, laisse stable les sous-espaces propres de .
b. En déduire que dim C.
c. Montrer que I I I . En déduire que si I
est une famille libre, a valeurs propres dans deux à deux distinctes.
d. Déduire des résultats précédents que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. est cyclique ;
ii. I est une famille libre ;
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iii. admet valeurs propres dans deux à deux distinctes ;
iv. dim C
Dans cette question, on suppose cyclique.
(a) Montrer, on utilisant une base convenable, que pour tout on a I .
(b) En déduire que est digonalisable si, et seulement si, admet valeurs propres dans
deux à deux distinctes.
Application : ( cette question n’utilise que les résultats de la question . b).
Soit Ml’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre telles que :
(on note la valeur commune des sommes ci-dessus.)
Soit l’élément de Mdont tous les éléments sont égaux à 1.
a. Montrer que Mest le commutant de et que est une forme linéaire sur M
b. Déterminer les ordres de multiplicité des valeurs propres de . Donner dim M.
c. Soit M, on pose .
Montrer que M M est un sous-espace vectoriel et calculer sa
dimension.
PARTIE III
Soit un endomorphisme de nilpotent d’indice c’est-à-dire tel que et
a. Montrer que pour tout vecteur de tel que , la famille de vecteurs
est une partie libre de .
b. En déduire que est inférieur ou égal à et que est cyclique si, et seulement si, .
Application : pour tout entier on désigne par l’espace vectoriel sur des polynômes
à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Soit l’endomorphisme de défini (pour ) par :
a. Déterminer . En déduire que Im . Montrer que est cyclique.
b. Soit l’endomorphisme de qui à tout polynôme associe son polynôme dérivé
Montrer que est un élément de C
c. La question (I. .c) permet de définir des réels tels que et ce de
façon unique.
Déterminer ces réels lorsque , et .
PARTIE IV
Dans toute cette partie, et . On désignera par Pun espace affine réel de dimension
2 associé à l’espace vectoriel .
A. Soit un endomorphisme de satisfaisant :
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I avec et I pour
peut-il être une homothétie ? Montrer que est cyclique
a. Montrer que le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme
caractéristique de est nul (on pourra utiliser les résultats de I.3.)
b. En déduire que les racines du polynôme sont : et où est un élément de
l’ensemble et premiers entre eux .
Soit un vecteur non nul de E et
a. Montrer que est une base de E et que la matrice de dans cette base est :
( étant défini en 2.)
b. Montrer qu’il existe une forme bilinéaire symétrique unique sur satisfaisant :
Donner la matrice de dans la base
c. Montrer que est un produit scalaire sur . Quelle est l’interprétation de dans cette
structure euclidienne ?
B. Soit une application affine de Pdans Psatisfaisant la propriété suivante :
Il existe P, , avec distincts de tels que : pour
et
a. Montrer que les points sont 2 à 2 distincts.
b. Montrer que a au moins un point fixe.
c. Montrer que IP( application identique sur P) et que l’application linéaire
associée à , notée , satisfait les conditions définies en tête de A.
d. Montrer que a un point fixe unique .
Montrer que les points appartiennent à une ellipse de P, de centre et globa-
lement invariante par .
FIN DE L’ÉPREUVE
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CORRIGÉ PAR : M.TARQI
PARTIE I
1. (a) Soit Fl’ensemble des sous-espaces de contenant et stables par .
F
est un sous-
espace vectoriel de , contenant et stable par ; c’est le plus petit sous-espace de
contenant et stable par , d’autre part nous avons
F
, donc
F
.
(b) Il suffit de montrer que la famille de est libre . Soient
des scalaires de tels que . Je dis que , car sinon
, et par récurrence on montre que
et donc et par conséquent serait de dimension
inférieure ou égale à . Le même raisonnement montre que les , pour
, donc la famille est libre.
(c) Si est un vecteur propre de , alors il existe tel que et donc pour tout
, , ainsi . Inversement si , alors et
sont liés et par consequent serait un vecteur propre de . Donc est un vecteur
propre de si, et seulement si, .
2. (a) Soit des scalaires de tels que , donc , et comme
la famille est libre alors les sont tous nuls. Donc I
est libre dans L
(b) Puisque est une base de , il suffit donc de montrer que
pour tout .
On a déjà . Comme et commutent avec , alors ils commutent avec tous
les , . Donc
et par conséquent .
Le sens inverse est clair.
(c) Il est evIent que I C. Soit C, alors il existe des scolaires
tels que . Pour conclure montrons que
On a où et d’après la question précédente . Ainsi
CI et par suite CI
(d) Dans la base Bla matrice s’écrit sous la forme :
....
.
..
.
.
.
.
..
.
.
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