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Ipest La Marsa
MPSI 1
2013-2014
Formes linéaires en dimension …nie
À rendre le ../../2014.
E désigne un K de dimension n
1.
A- La base duale :
Soit
= (e1 ; ::; en ) une base de E.
Si i 2 f1::ng alors ei désigne la forme linéaire sur E dé…nie par
ei (ej ) =
1- Montrer que
ij
= (e1 ; ::; e n ) est une base de E . On l’appelle
la base duale de .
2- Trouver les composantes d’un f 2 E dans la base
3- Donner la base duale de
= (1; X
a; ::; (X
.
a)n ) (base de Kn [X]).
4- Posons pour chaque (i; j) 2 [j1; nj]2 , fij : E ! E, x ! ej (x) ei .
a- Véri…er que les fij sont dans $ (E).
b- Montrer que 8i; j 2 f1::ng, fij
c- Prouver que (fij )1
i;j n
fkl =
jk fil .
est une base de $ (E).
B- La base antéduale :
On va prouver que la réciproque est vraie :
1
Soit b = (f1 ; ::; fn ) une base de E . L’objectif est de montrer qu’il existe
une seule base
de E tel que
= b.
On l’appelle la base antéduale de b.
1- Soit x 2 E non nul. Montrer qu’9f 2 E tel que f (x) 6= 0.
: E ! Kn dé…nie par
2- Montrer que l’application
(x) = (f1 (x) ; ::; fn (x))
est un isomrphisme.
3- Soit i 2 f1::ng. Montrer qu’il existe un unique vecteur ei tel que
fj (ei ) =
4- Montrer que
8j 2 f1::ng :
= (e1 ; ::; en ) est une base de E.
5- Justi…er que cette base
6- Soient n
ij ,
convient.
1 et a0 ; ::an 2 K deux à deux distincts.
a- Véri…er que les fi : Kn [X] ! K, P ! P (ai ) sont dans (Kn [X]) .
b- Prouver que (f1 ; ::; fn ) est une base de (Kn [X]) .
c- Donner sa base antéduale.
C- Le bidual :
Le dual algébrique de E sera noté E
(au lieu de (E ) ) et on
l’appelle le bidual de E.
1- Soit x 2 E. Véri…er que
2- Montrer que
x
: E ! K, f ! f (x) est dans E .
:E!E ,x!
2
x
est un isomorphisme.
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