formlindim

Ipest La Marsa
MPSI 1
2013-2014
Formes linéaires en dimension …nie
À rendre le ../../2014.
Edésigne un Kde dimension n1.
A- La base duale :
Soit = (e1; ::; en)une base de E.
Si i2 f1::ngalors e
idésigne la forme linéaire sur Edé…nie par
e
i(ej) = ij
1- Montrer que = (e
1; ::; en)est une base de E. On l’appelle
la base duale de .
2- Trouver les composantes d’un f2Edans la base .
3- Donner la base duale de = (1; X a; ::; (Xa)n)(base de Kn[X]).
4- Posons pour chaque (i; j)2[j1; nj]2,fij :E!E,x!e
j(x)ei.
a- Véri…er que les fij sont dans $(E).
b- Montrer que 8i; j 2 f1::ng,fij fkl =jkfil.
c- Prouver que (fij )1i;jnest une base de $(E).
B- La base antéduale :
On va prouver que la réciproque est vraie :
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Soit b= (f1; ::; fn)une base de E. L’objectif est de montrer qu’il existe
une seule base de Etel que =b.
On l’appelle la base antéduale de b.
1- Soit x2Enon nul. Montrer qu’9f2Etel que f(x)6= 0.
2- Montrer que l’application :E!Kndé…nie par
(x) = (f1(x); ::; fn(x))
est un isomrphisme.
3- Soit i2 f1::ng. Montrer qu’il existe un unique vecteur eitel que
fj(ei) = ij ,8j2 f1::ng:
4- Montrer que = (e1; ::; en)est une base de E.
5- Justi…er que cette base convient.
6- Soient n1et a0; ::an2Kdeux à deux distincts.
a- Véri…er que les fi:Kn[X]!K,P!P(ai)sont dans (Kn[X]).
b- Prouver que (f1; ::; fn)est une base de (Kn[X]).
c- Donner sa base antéduale.
C- Le bidual :
Le dual algébrique de Esera noté E (au lieu de (E)) et on
l’appelle le bidual de E.
1- Soit x2E. Véri…er que x:E!K,f!f(x)est dans E.
2- Montrer que  : E!E,x!xest un isomorphisme.
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