Algèbre On désigne par E le R-espace vectoriel des suites à valeurs réelles qui vérient la relation de récurrence : un+2 = un+1 + 2 un ∀ n ∈ N. (R) 1-a. La suite stationnaire nulle vérie de façon triviale la relation (R). L'ensemble F n'est pas vide. Considérons deux suites un et vn , éléments de F , et deux nombres réels a et b, un calcul élémentaire montre que la suite (wn ) = a.(un ) + b.(vn ) vérie la relation (R). L'ensemble F est stable par combinaison linéaire. F est un sous ensemble non vide de E , stable par combinaison linéaire, et (E, +, .) est un R-espace vectoriel, donc (F, +, .) est un sous espace vectoriel de (E, +, .). 1-b. Une suite géométrique (un ), dénie par son premier terme (u0 ) et sa raison q est élément de F si et seulement si elle vérie la relation (R) : u0 q n+2 = u0 q n+1 + 2 u0 q n ∀n ∈ N Si nous laissons de côté le cas trivial u0 = 0, cette relation équivaut à l'équation en q : q2 − q − 2 = 0 dont les solutions immédiates sont q1 = 2 et q2 = −1. Les suites géométriques éléments de F sont les suites de la forme (2n u0 ) ou ((−1)n u0 ), la valeur de u0 est arbitraire. 1-c. En particulier pour u0 = 1, les suites géométriques (2n ) et ((−1)n ), dénies pour tout nombre entier naturel n, sont éléments de F . L'ensemble F étant stable par combinaison linéaire, la suite (un ), dénie pour tout nombre entier naturel n par un = a 2n + b (−1)n , est élément de F . Soit (un ) une suite quelconque de F , le système linéaire α 20 + β (−1)0 = u0 α 21 + β (−1)1 = u1 est un système de Cramer qui admet une solution unique en (α, β) : u0 + u1 2 u0 − u1 (α, β) = , 3 3 Avec ces valeurs, on a pour tout n : un = α 2n + β (−1)n , donc (un ) = α.(2n ) + β.((−1)n ). La famille {(2n ), ((−1)n )} est une famille génératrice de l'espace vectoriel (F, +, .). Le système linéaire α 20 + β (−1)0 = 0 α 21 + β (−1)1 = 0 est un système de Cramer qui admet une solution unique (α, β) = (0, 0). La famille {(2n ), ((−1)n )} est une partie libre de l'espace vectoriel (F, +, .). Nous concluons que ((2n ), ((−1)n )) est une base de l'espace vectoriel (F, +, .). L'ensemble des suites réelles qui vérient la relation R dénit un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps des réels. Blge0401, page 1/4 - 6 décembre 2004 2- Soient (xn ) et (yn ) les suites dénies pour tout nombre entier naturel n par x0 = 1, y0 = 0, xn+1 = 2 yn et yn+1 = xn + yn . 2-a. Le calcul des cinq premiers termes de la suite (yn ) s'eectue de proche en proche : x0 = 1 x1 = 0 x2 = 2 x3 = 2 x4 = 6 x5 = 10 et et et et et y0 y1 y2 y3 y4 =0 =1 =1 =3 =5 donne donne donne donne donne y0 = 0 y1 = 1 y2 = 1 y3 = 3 y4 = 5 y5 = 11 Pour tout entier naturel k , nous avons les équations de dénition : (1) (2) xk+1 = 2 yk yk+1 = xk + yk Nous utilisons la relation (2) pour exprimer yn+2 : yn+2 = yn+1 + xn+1 Dans la relation obtenue nous exprimons xn+1 en fonction de yn+1 avec la relation (1) : yn+2 = yn+1 + 2 yn Nous retrouvons la relation R, caractéristique de l'ensemble F . (yn ) est un élément de F . Un calcul direct, à partir des valeurs calculées, donne x2 = x1 + 2 x0 . Pour k supérieur à 1, la relation (1), xk = 2 yk−1 , liée au résultat précédent, établit que l'on vérie xn+2 = xn+1 + 2 xn 1 ≤ n. La relation R, vériée pour n = 0 et pour n ≥ 1, est vériée pour tout n. La suite (yn ) est un élément de F . Nous disposons de deux éléments (xn ) et (yn ) de l'espace vectoriel de dimension 2, (F, +, .). Pour que ces deux éléments forment une base, il faut et il sut qu'ils soient linéairement indépendants. Pour que deux réels α et β vérient α.(xn ) + β.(yn ) = (0), il faut qu'ils vérient le système d'équations : αx +βy = 0 0 0 α x1 + β y1 = 0 Soit, avec les valeurs calculées : 1α + 0β = 0 0α + 1β = 0 Le calcul est simple qui donne pour unique solution (α, β) = (0, 0). La seule combinaison linéaire nulle des deux suites (xn ) et (yn ) est celle dont les coecients sont nuls. La partie {(xn ), (yn )} est une partie libre de l'espace vectoriel (F, +, .). ((xn ), (yn )) est une base de cet espace vectoriel. Blge0401, page 2/4 - 6 décembre 2004 2-b. Les coordonnées (a, b) de la suite (xn ) dans la base ((2n ), ((−1)n )) existent, pour les déterminer nous résolvons le système de Cramer a 20 + b (−1)0 = x0 a 21 + b (−1)1 = x1 Ce que l'on peut écrire, en utilisant les calculs précédents : a+b = 1 2a − b = 0 1 2 La solution est immédiate : (xn ) = .(2n ) + .((−1)n ). 3 3 Nous utilisons la même méthode pour déterminer les coordonnées de la suite (yn ) dans la base ((2n ), ((−1)n )). a+b = 0 2a − b = 1 1 1 donne : (yn ) = .(2n ) − .((−1)n ). 3 3 La matrice de passage de la base ((2n ), ((−1)n )) à la base ((xn ), (yn )) s'écrit : P = 1 1 3 3 1 2 − 3 3 1 1 1 3-a. On considère la matrice A = 1 0 0 . 1 0 0 Les calculs sont immédiats, qui donnent : 5 3 3 3 1 1 3 2 A = 1 1 1 et A = 3 1 1 . 3 1 1 1 1 1 Le système en (α, β) , α.A + β.A2 = 0, est équivalent au système : 1α + 3β = 0 1α + 1β = 0 0α + 1β = 0 La seule solution est (α, β) = (0, 0). Les matrices A et A2 sont linéairement indépendantes. 3-b. Le système en (α, β) , α.A + β.A2 = A3 , est équivalent au système : 1α + 3β = 5 1α + 1β = 3 0α + 1β = 1 La seule solution est (α, β) = (2, 1), soit A3 = 2.A + A2 . Blge0401, page 3/4 - 6 décembre 2004 L'unicité du couple (α, β) se justie par le fait que les matrices A et A2 sont linéairement indépendantes : Deux résultats diérents, (α, β) 6= (α0 , β 0 ), donneraient (α − α0 ).A + (β − β 0 ).A2 = 0 avec (α − α0 , β − β 0 ) 6= (0, 0), ce qui est contraire à l'hypothèse d'indépendance linéaire. 3-c. Nous utilisons les résultats de la question 2-a. pour réécrire les égalités A = 1.A + 0.A2 et A2 = 0.A + 1.A2 sous les formes respectives A1 = x0 .A + y0 .A2 et A2 = x1 .A + y1 .A2 . Nous avons établi, à la question précédente, l'égalité A3 = 2.A + 1.A2 . Nous utilisons les résultats de la question 2-a. pour réécrire cette expression sous la forme A3 = x2 .A + y2 .A2 . Nous supposons établie, pour 1 ≤ p ≤ n − 1, la proposition (3) suivante : Ap = xp−1 .A + yp−1 .A2 (3) Pour p = n − 1, la proposition (3) s'écrit : An−1 = xn−2 .A + yn−2 .A2 2≤n Nous multiplions par A les deux membres de cette égalité pour obtenir : An = xn−2 .A2 + yn−2 .A3 2≤n Dans cette dernière égalité, nous remplaçons A3 par l'expression obtenue à la question 3-a. : An = xn−2 .A2 + yn−2 .(2.A + A2 ) Nous obtenons ainsi : An = 2 yn−2 .A + (xn−2 + yn−2 ).A2 Dans cette écriture, nous reconnaissons l'expression des termes xn−1 et yn−1 dénis à la question 2 : An = xn−1 .A + yn−1 .A2 La proposition (3), vériée pour p = 1, p = 2 et p = 3, supposée vraie jusqu'à l'ordre n − 1 est démontrée à l'ordre n. Cette proposition est donc établie, par récurrence pour tout n supérieur à 1 : An = xn−1 .A + yn−1 .A2 4- Application, pour n = 13, nous calculons x12 et y12 : x12 = 2 (−1)12 3 y12 1 (−1)12 3 1 12 2 + 3 = 1366 1 12 = 2 − 3 = 1365 Nous en déduisons l'expression de A13 : A13 5461 2731 2731 2 = 1366.A + 1365.A = 2731 1365 1365 2731 1365 1365 Blge0401, page 4/4 - 6 décembre 2004