Analyse Master 1

Analyse Master 1
Cours de Francis Clarke (2011)
Rappels en topologie
1. Un ordre sur un ensemble non vide Pest une r´elation �qui satisfait
(a) x�x∀x∈P.
(b) x�yet y�x=⇒x=y.
(c) x�yet y�z=⇒x�z.
On dit alors que (P, �)estunensembleordonn´e.SiPest ordonn´e et Q⊂P, alors
Qest aussi ordonn´e par restriction de l’ordre. On dit que Qest totalement ordonn´e si
tous ses ´el´ements sont comparables ; c-`a-d : ∀x, y ∈Q,onax�you y�x.
Soit (P, �)unensembleordonn´eetQ⊂P. Un ´el´ement m∈Pest dit un majorant de
Qlorsque q�m∀q∈Q.L’ensembleordonn´e(P, �)estinductif si toute partie non
vide Q⊂Ptotalement ordonn´ee admet un majorant m∈P.
M∈Pest un ´el´ement maximal de Psi x∈P, M �x=⇒x=M.
Le Lemme de Zorn affirme que tout ensemble ordonn´e inductif (P, �)admetun´el´ement
maximal.
2. Soit Xun ensemble et τune collection de parties de X. On dit que τest une topologie
sur Xsi :
(a) ∅∈τet X∈τ;
(b) τest stable par rapport aux intersections finies :
Oi∈τ(i=1,...,n)=⇒
n
i=1
Oi∈τ;
(c) τest stable par rapport aux r´eunions arbitraires :
Oγ∈τ(γ∈Γ) =⇒
γ∈Γ
Oγ∈τ.
Les sous-ensembles de Xappartenant `a τsont les ouverts de la topologie, et le couple
(X, τ)formeunespace topologique. Toute partie Ade Xadmet un ouvert maximal O
compris dans A;cetouvertestl’int´erieur de A;ilestnot´eintAou A◦.
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Rappels en topologie : cours de Francis Clarke 2
3. Soient (X, τ) un espace topologique et Fune partie dans X. On dit que Fest ferm´e
si X\Fest un ouvert (i.e., appartient `a τ). Alors toute partie Ade Xadmet un ferm´e
minimal Fqui inclut A;ceferm´eestlafermeture de A;ilestnot´eA.
4. Soient (X, τ)unespacetopologiqueetVune partie dans X. On dit que Vest un
voisinage d’un point xsi il existe un ouvert Otel que x∈O⊂V. Le point xest
adh´erent `a une partie Esi tout voisinage de xcontient un point de E. On dit qu’un
point xest une valeur d’adh´erence d’une suite {xn}si pour tout voisinage Vde xil
existe des indices iarbitrairement grands tels que xi∈V.
(a) L’ensemble des points adh´erents `a E(l’adh´erence de E,not´eeadhE) coincide
avec la fermeture de E:adhE=E.
(b) Soient Eun ensemble ferm´e, {xn}une suite dans E,etxune valeur d’adh´erence
de cette suite. Alors x∈E.
5. Soient (X, τ) un espace topologique et Bune collection d’ouverts dans X. On dit que
Best une base d’ouverts de la topologie τsi pour tout ouvert Odans Xet tout point
x∈Oil existe un ´el´ement B∈Btel que x∈B⊂O.
(a) Une collection Bde parties de Xforme une base d’ouverts d’une topologie τsur
Xsi et seulement si chaque point x∈Xappartient `a un ´el´ement Bde B,et
chaque fois qu’un point xappartient `a B1∩B2(o`u B1,B
2∈B), il existe B3∈B
tel que x∈B3⊂B1∩B2. La topologie engendr´ee par Bconsiste alors de toutes
les r´eunions de parties se trouvant dans B.
(b) Soit Cune collection de parties de X. Soit Bla collection consistant de Xainsi que
toutes les intersections finies d’ensembles dans C. Alors Best une base d’ouverts
pour la plus faible topologie qui contient C.(Cest alors une sous-base pour la
topologie.)
6. Soit (X, τ) un espace topologique et xun point dans X. Une collection Bxd’ouverts
contenant xforme une base locale en xsi pour chaque ouvert Oqui contient xil existe
B∈B
xtel que x∈B⊂O. La topologie est dite localement de base d´enombrable si
chaque point admet une base locale d´enombrable. Elle est dite de base d´enombrable
si elle admet une base d’ouverts d´enombrable. On dit que (X, τ)ests´eparable si X
contient un ensemble d´enombrable dense (i.e., dont l’adh´erence est ´egale `a X).
(a) Tout espace m´etrisable est lo calement de base d´enombrable.
(b) Un espace de base d´enombrable est s´eparable.
(c) Un espace m´etrique est de base d´enombrable si et seulement si il est s´eparable.
(d) Si Xest localement de base d´enombrable, alors x∈Esi et seulement si il existe
une suite dans Equi converge vers x.(Ceciestfauxeng´en´eral.)
(e) Si Xest localement de base d´enombrable, alors xest une valeur d’adh´erence d’une
suite {xn}si et seulement si il existe une sous-suite qui converge vers x.

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7. Une fonction f:X→Y(o`u Xet Ysont des espaces topologiques) est dite continue
en x∈Xsi pour tout ouvert Ocontenant f(x)ilexisteunouvertUcontenant xtel
que f(U)⊂O. La fonction fest dite continue sur Xsi elle est continue en chaque
point de X.
(a) fest continue si et seulement si f−1[O]estunouvertdansXpour tout ouvert O
dans Y.
(b) fest continue si et seulement si f−1[F]estunferm´edansXpour tout ferm´e F
dans Y.
(c) fest continue si et seulement si f(A)⊂f(A)pourtoutensembleA⊂X.
(d) Si fest un hom´eomorphisme (i.e., une bijection telle que fet f−1soient conti-
nues), alors
f(A)=f(A),f(int A) = int f(A)
pour tout ensemble A⊂X.
(e) fest continue si et seulement si f−1[O]estunouvertdansXpour tout ouvert O
dans une base d’ouverts de la topologie de Y.
(f) Soient Bxune base locale en xet Cyune base locale en y:= f(x).Alors fest
continue en xsi et seulement si pour tout C∈C
yil existe B∈B xtel que
B⊂f−1[C].
8. [Topologie faible] Soit F={fα:X→Yα}α∈Aune collection de fonctions sur un
ensemble X,o`ules(Yα,τ
α) sont des espaces topologiques. La topologie faible induite
par la collection Fest la plus petite topologie sur Xqui rend continue chaque fonction
fα;elleestnot´eeσ(X, F).
(a) Une base pour la topologie σ(X, F) consiste de toute intersection finie des en-
sembles
f−1
α(Oα)[α∈A, Oα∈τα].
(b) Si chaque Yαco¨ıncide avec R,unebasepourσ(X, F)estdonn´eepartouteinter-
section finie des ensembles
V(x, fα,r):={x�∈X:|fα(x�)−fα(x)|<r}[x∈X, α∈A, r > 0].
(c) Soient Zun espace topologique et g:Z→Xune fonction, X´e t a n t m u n i d e l a
topologie σ(X, F). Alors gest continue si et seulement si fα◦gest continue pour
tout α.
(d) Une suite {xn}dans Xconverge vers xpour la topologie σ(X, F)sietseulement
si fα(xn)convergeversfα(x) pour chaque αdans A. (Ceci motive la terminologie
topologie de la convergence simple.)

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9. Soit fune fonction num´erique sur un espace topologique. Alors fest continue si et
seulement si tous les ensembles de la forme {x:f(x)>a}et {x:f(x)<a}sont
ouverts.
10. Soit {fn}une suite de fonctions continues appliquant un espace topologique dans un
espace m´etrique. Si la suite converge uniform´ement vers une fonction f, alors fest
continue.
11. Un espace topologique Xest dit compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-
recouvrement fini.
(Attention : certains auteurs d’un certain pays incluent dans la d´efinition de compact
la condition que l’espace soit s´epar´e ; voir ci-dessous.)
Un espace topologique Xest dit d´enombrablement compact si tout recouvrement ouvert
d´enombrable admet un sous-recouvrement fini. On dit que Xposs`ede la propri´et´e de
Bolzano-Weierstrass si toute suite dans Xadmet au moins un point d’adh´erence. On
dit que l’espace topologique Xest s´equentiellement compact si toute suite dans X
admet une sous-suite qui converge vers une limite dans X.
(a) Xposs`ede la propri´et´e de Bolzano-Weierstrass si et seulement si Xest d´enomb-
rablement compact.
(b) Un espace s´equentiellement compact est d´enombrablement compact, et un es-
pace qui est d´enombrablement compact et localement de base d´enombrable est
s´equentiellement compact.
(c) Dans un espace m´etrique, les notions de compacit´e, de compacit´e s´equentielle et
de compacit´e d´enombrable coincident.
(d) Un espace m´etrique qui est compact est s´eparable.
12. Un espace topologique est s´epar´e (ou de hausdorff) lorsque deux points distincts quel-
conques poss`edent des voisinages disjoints.
(a) Une partie ferm´ee dans un espace compact est compact.
(b) Une partie compact dans un espace s´epar´e est ferm´e.
(c) L’image continue d’un compact est compact.
(d) Une bijection continue d’un compact dans un espace s´epar´e est un hom´eomor-
phisme.
(e) Soit (X, τ) un espace topologique s´epar´e et compact. Alors toute autre topologie
sur Xstrictement plus fine n’est pas compact, et toute autre topologie strictement
moins fine n’est pas s´epar´e.
13. Un espace m´etrique Xest totalement born´e si pour chaque �>0 il existe une collection
finie de boules de rayon �qui recouvre X. Un espace m´etrique est compact si et
seulement si il est complet et totalement born´e.

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14. Soit fune fonction continue d’un espace m´etrique compact Xdans un espace m´etrique
Y. Alors fest uniform´ement continue.
15. [Baire] Soit (X, d)unespacem´etriquecomplet,et{Fn}une suite de ferm´es dans X
telle que int {∪nFn}�=∅.Alors il existe ntel que int Fn�=∅.
16. [Topologie du produit] Soit {Xα}α∈Aune famille d’espaces topologiques. Sur le produit
P:= α∈AXαon d´efinit une topologie en prenant comme base d’ouverts tout ensemble
de la forme α∈AOα,o`uOαest un ouvert dans Xα,eto`uOα=Xαsauf pour un nombre
fini d’indices.
(a) On note παla projection de Psur Xα. Alors παest continue, et la topologie de P
est la plus faible qui rend chacune des projections continue. Une base d’ouverts
pour la topologie consiste de tous les ensembles de la forme
α∈I
π−1
α[Oα],
o`u Iest une partie finie dans Aet Oαest un ouvert dans Xα∀α∈I.
(b) Soient Zun espace topologique et g:Z→Pune fonction. Alors gest continue
si et seulement si πα◦gest continue pour tout α.
(c) Quand chaque Xα=X, on note le produit XA;c’estl’ensembledesfonctionsde
Adans X. Alors une suite {fn}converge vers fdans XAsi et seulement si fn(α)
converge vers f(α) pour chaque αdans A. (Ceci motive la terminologie topologie
de la convergence simple.)
17. [Tychonov] Soit {Xα}une famille d’espaces topologiques compacts. Alors le produit
αXαest compact.
18. [Ascoli] Soit Fune famille de fonctions d´efinies sur un espace topologique Xet `a valeurs
dans un espace m´etrique (Y, d). Fest dite ´equicontinue en xsi pour tout �>0, il existe
un voisinage Vde xtel que
d(f(x),f(y)) <�∀y∈V, ∀f∈F.
On dit que Fest ´equicontinue si Fest ´equicontinue en tout point de X.
Soit Fune famille ´equicontinue et {fn}une suite dans Ftelle que pour tout x∈X,
l’ensemble {fn(x):n∈N∗}soit relativement compact. On suppose en outre l’une des
deux hypoth`eses suivantes :
(a) Xest s´eparable, ou
(b) Xest compact et l’espace Yest soit R,soitC.
Alors il existe une sous-suite {fnk}qui converge ponctuellement vers une fonction
continue f, et la convergence est uniforme sur tout compact de X.