DL 20 - cgdsmpsi

MPSI a
Facultatif
Devoir en temps non limité N° 20
pour le 25 mai 2012
Eléctromécanique
On assimile la Terre à sphère de centre O, de rayon R = 6,4–106 m et de masse totale
M = 6–1024 kg. On suppose que la masse volumique ρ(r) de la Terre ne dépend que de la
distance r du point où on la mesure au centre O.
On rappelle que M =
∫
V
ρ–dτ où dτ est un élément de volume sphérique.
1.
Montrer que le champ de gravitation créé par la Terre en tout point P de l'espace est radial et ne


dépend que de r soit G (P) = Gr– e r.
€
2.
Par analogie avec le champ électrique créé par une distribution de charges énoncer le
théorème de Gauss
relatifۈ un champ gravitationnel.
€
3.
Exprimer Gr en tout point de l'espace tel que r > R. Conclure.
4.
Calculer le champ de gravitation G0 à la surface de la Terre. On donne la constante de la
2
gravitation G = 6,67–10-11 = –10-10 m3–kg-1–s-2 on pourra utiliser R2 ≈ 40–1012 m2.
3
$ 5 ⋅r '
Exprimer Gr en tout point de l'espace tel que r < R dans le cas où ρ(r) = ρ0– &1 −
) pour r < R
% 6 ⋅R (
€ et ρ(r) = 0 pour r > R.
où ρ0 est une constante
5.
On prendra dτ = 4–π–r2–dr en le justifiant.
6.
€
En considérant qu'il y a continuité en r = R donner l'allure de G(r) pour 0 < r < 2–R.
MacXIair:MPSI:2011-2012:DL:DL20.docx  ds - 12 mai 2012
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