DL 20 - cgdsmpsi

MacXIair:MPSI:2011-2012:DL:DL20.docx  ds - 12 mai 2012 page 1 / 1
MPSI a Facultatif
Devoir en temps non limité N° 20 pour le 25 mai 2012
Eléctromécanique
On assimile la Terre à sphère de centre O, de rayon R = 6,4!106 m et de masse totale
M = 6!1024 kg. On suppose que la masse volumique ρ(r) de la Terre ne dépend que de la
distance r du point où on la mesure au centre O.
On rappelle que M =
€
V
∫
ρ!dτ où dτ est un élément de volume sphérique.
1. Montrer que le champ de gravitation créé par la Terre en tout point P de l'espace est radial et ne
dépend que de r soit
€
G
(P) = Gr!
€
e
r.
2. Par analogie avec le champ électrique créé par une distribution de charges énoncer le
théorème de Gauss relatif à un champ gravitationnel.
3. Exprimer Gr en tout point de l'espace tel que r > R. Conclure.
4. Calculer le champ de gravitation G0 à la surface de la Terre. On donne la constante de la
gravitation G = 6,67!10-11 =
€
2
3
!10-10 m3!kg-1!s-2 on pourra utiliser R2 ≈ 40!1012 m2.
5. Exprimer Gr en tout point de l'espace tel que r < R dans le cas où ρ(r) = ρ0!
€
1−5⋅r
6⋅R
$
%
& '
(
)
pour r < R
où ρ0 est une constante et ρ(r) = 0 pour r > R.
On prendra dτ = 4!π!r2!dr en le justifiant.
6. En considérant qu'il y a continuité en r = R donner l'allure de G(r) pour 0 < r < 2!R.