1S3 CORRIGE D.M N°6 09/03/2017 Exercice n° 66 page 106 : f est

1S3
CORRIGE
D.M N°6
09/03/2017
Exercice n° 66 page 106 :
3
f est la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4 𝑥 + 1 .
3
1. f est dérivable sur ℝ et 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 4.
3
2. D’après l’énoncé 𝑔(𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 4 donc
a.
b.
𝑔′ (𝑥) = 12𝑥 2 − 6𝑥 + 2.
𝑔′(𝑥) est un polynôme du second degré , on étudie son signe en calculant :
Δ= b² – 4ac= 36–4×12×2 = – 60 < 0 donc g’(x) ne change pas de signe et est toujours positif.
Donc g est une fonction strictement croissante sur ℝ .
1
1
1
1
3
4
3
3
c. 𝑔 (2) = 4 × (2)3 − 3 × (2)2 + 2 × 2 − 4 = 8 − 4 + 1 − 4 = 0.
d. Signe de 𝑔(𝑥) :
x
signe de g(x)
3.
a.
–∞
½
0
–
Tableau de variation de f :
x
–∞
½
signe de f’(x)=g(x)
–
0
+∞
+
b.
+∞
+
variations de f
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Remarque : l’intérêt de cet exercice est de montrer qu’il faut parfois calculer la dérivée de la dérivée de la
fonction de départ pour en étudier les variations.
Exercice 67 page 106 :
D’après la figure : AB=1 ; x = DM donc MC = 1 –x ; y = BN donc NC = 1–y .
1.
a. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle MNC :
MN² = MC² + NC² =(1–x)² + (1–y)²=1+ x²–2x + 1 + y² –2y = x² + y² – 2x – 2y + 2.
b. La tangente MN est perpendiculaire à AT donc les triangles ATM et ATN sont rectangles en
T. D’après la figure ADM est rectangle en D ; on a AD²+DM²=AM² et AT²+TM²=AM² donc
AD²+DM²=AT²+TM² comme AD=AT=1 on a donc DM²=MT² ⇔ DM=MT=x.
On démontre de la même façon que BN=TN=y .
Les points M,T,N sont alignés donc MN=MT+TN=x + y.
c. D’après b. MN²=(x+y)² = x² + y² + 2xy.
a. MN²= x² + y² – 2x – 2y + 2.
1−𝑥
Donc 2xy = – 2x – 2y + 2 ⇔ 2xy+2y = –2x+2 ⇔ 2y(x +1) = 2(1–x) ⇔ 𝑦 = 1+𝑥
MN=x+y ⇔ MN = x +
2. 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +1
.
𝑥+1
′ (𝑥)
a. 𝑓
=
1−𝑥
1+𝑥
=
𝑥(1+𝑥)+1−𝑥
1+𝑥
2𝑥(𝑥+1)−(𝑥 2 +1)
(𝑥+1)²
=
𝑥 2 +2𝑥−1
(𝑥+1)²
Δ= b² – 4ac= 4– 4×(–1)=8 >0
Tableau de variations de f :
MN est minimale quand
x=DM= √2 − 1 ; la longueur
MN est alors égale à
2(√2 − 1 ).
=
𝑥+𝑥 2 +1−𝑥
1+𝑥
=
𝑥 2 +1
1+𝑥
x  ] 0 ; 1[ .
. Comme (x+1)² >0 sur ] 0 ; 1[. f ’(x) est du signe de x² +2x–1
il y a 2 solutions : 𝑥1 =
x
< 0 ∉ ] 0 ; 1[ 𝑥2 =
√2 − 1
0
signe de f’(x)=g(x)
variations de f
−2−√8
2
–
0
1
−2+ √8
2
1
+
1
2(√2 − 1 )
=√2 − 1