1S3 CORRIGE D.M N°6 09/03/2017 Exercice n° 66 page 106 : f est

1S3 CORRIGE D.M N°6 09/03/2017
Exercice n° 66 page 106 :
f est la fonction définie sur  par :    
  .
1. f est dérivable sur et      
.
2. D’après l’énoncé      
 donc
a.    .
b.  est un polynôme du second degré , on étudie son signe en calculant :
Δ= b² – 4ac= 36–4122 = – 60 < 0 donc g’(x) ne change pas de signe et est toujours positif.
Donc g est une fonction strictement croissante sur  .
c. 
 .
d. Signe de  :
3.
a. Tableau de variation de f :
x
–∞ ½ +∞
signe de f’(x)=g(x)
– 0 +
variations de f
5/16
b.
Remarque : l’intérêt de cet exercice est de montrer qu’il faut parfois calculer la dérivée de la dérivée de la
fonction de départ pour en étudier les variations.
Exercice 67 page 106 :
D’après la figure : AB=1 ; x = DM donc MC = 1 –x ; y = BN donc NC = 1–y .
1.
a. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle MNC :
MN² = MC² + NC² =(1–x)² + (1–y)²=1+ x²–2x + 1 + y² –2y = x² + y² – 2x – 2y + 2.
b. La tangente MN est perpendiculaire à AT donc les triangles ATM et ATN sont rectangles en
T. D’après la figure ADM est rectangle en D ; on a AD²+DM²=AM² et AT²+TM²=AM² donc
AD²+DM²=AT²+TM² comme AD=AT=1 on a donc DM²=MT²  DM=MT=x.
On démontre de la même façon que BN=TN=y .
Les points M,T,N sont alignés donc MN=MT+TN=x + y.
c. D’après b. MN²=(x+y)² = x² + y² + 2xy.
a. MN²= x² + y² – 2x – 2y + 2.
Donc 2xy = – 2x – 2y + 2 2xy+2y = –2x+2  y(x +1) = 2(1–x)    
MN=x+y  MN = x + 
 =  x
] 0 ; 1[ .
2. 
 .
a. 
 . Comme (x+1)² >0 sur ] 0 ; 1[. f ’(x) est du signe de x² +2x–1
Δ= b² – 4ac= 4– 4×(–1)=8 >0 il y a 2 solutions : 
 < 0  ] 0 ; 1[   =  
Tableau de variations de f :
MN est minimale quand
x=DM=    ; la longueur
MN est alors égale à
2(  ).
x
–∞ ½ +∞
signe de g(x)
– 0 +
x
0    1
signe de f’(x)=g(x)
– 0 +
variations de f
1 1
2(  )