Sciences des matériaux pour la construction durable ” Rapport de

Laboratoire : UR Navier
MASTER SMCD
” Sciences des mat´eriaux pour la construction durable ”
Rapport de stage de Master Recherche
Injection de fluides non newtoniens en milieux poreux
Par : Thibaud Chevalier
Pour le Master SMCD : Dr. Matthieu Vandamme
Responsables de stage : Philippe Coussot
St´ephane Rodts
M´emoire pr´esent´e et soutenu le mardi 14 septembre 2010

R´esum´e
Nous pr´esentons une approche physique de l’´etude de la relation entre la pression et le d´ebit d’un fluide
`a seuil lors de son injection dans un milieu poreux, aussi appel´ee loi d’injection. Des outils macroscopiques
(exp´erience d’injection classique) ou microscopiques (les propagateurs d’´ecoulement mesurables par RMN) sont
aussi abord´es afin de montrer leur int´erˆet pour identifier et caract´eriser les relations entre la g´eom´etrie du
milieu poreux, le comportement du fluide et la loi d’injection. Nous nous focalisons sur l’injection de fluides
`a seuil. Des g´en´eralit´es sur les fluides `a seuil, l’injection en milieu poreux et les propagateurs d’´ecoulement
sont d’abord pr´esent´ees afin d’appr´ehender ces domaines, les mod`eles qui vont ˆetre utilis´es dans cette ´etude
ainsi que les travaux qui s’y r´ef´erent. Une approche macroscopique est ensuite d´evelopp´ee. Elle porte sur la
construction d’une loi d’injection asymptotique pour les fluides `a seuil. Cette loi vise `a d´ecoupler la g´eom´etrie
du milieu inject´e et le comportement du fluide afin d’ˆetre en mesure de la construire a priori. Son ´ecart avec
la loi th´eorique est calcul´e `a travers deux exemples : un tube simple et une distribution de tubes cylindriques.
Avec une erreur par rapport `a la th´eorie d’environ 10% au maximum sur une grande plage de vitesse, cette
loi asymptotique se r´ev`ele ˆetre une approximation acceptable pour un certain nombre d’applications. Enfin,
afin d’am´eliorer la compr´ehension des coefficients de cette loi, nous pr´esentons, dans une ´etude pr´eliminaire,
les propagateurs d’´ecoulement : ces outils apportent une information moyenn´ee sur l’´ecoulement `a une ´echelle
microscopique. Ils sont obtenus lors d’exp´eriences r´ealis´ees avec la technique de R´esonance Magn´etique Nucl´eaire
(RMN). Leur calcul et leur utilisation possible pour la rh´eologie des fluides `a seuil sont ´etudi´es.
Mots cl´es : fluides de Herschel-Bulkley, injection en milieu poreux, capillaires, RMN, propagateurs d’´ecoulement.
Abstract
We develop a physical approach of the pressure drop vs flow rate relationship during the injection of a yield
stress fluid in a porous media; this relation is also called the injection law. Macroscopic tools such as classical
injection experiment or microscopic ones such as flow propagators are also introduced: it can help finding the
relationship between the geometry of the porous media, the fluid behavior and the injection law. We focus on
the injection of yield stress fluids in porous media. General points on yield stress fluids, injection in porous
media and flow propagator are first presented to understand these fields, models used and the literature about
these points. Then, an asympotic injection law is presented through a macroscopic study. We want to split the
parameters linked to the geometry of the porous media and those linked to the fluid behavior in order to be
able to build this law a priori. The relative error with a theorical injection law is computed for two geometries:
a capillary and a distribution of cylindrical capillaries. With a maximal error of about 10% on a wide range
of flow rate, this law seems to be an acceptable approximation for different applications. Finally, a preliminary
study deals with flow propagator: this tool gives an average information about the flow at a microscopic scale. It
comes from Nuclear Magnetic Resonance (NMR) experiments. We focus on their usefulness for rheologic study
of yield stress fluids.
Keywords: Herschel-Bulkley fluids, injection in porous media, capillaries, NMR, flow propagators.

Table des mati`eres
1 Introduction 4
1.1 Contexte.................................................. 4
1.2 Fluide`aseuil ............................................... 4
1.3 Ecoulement dans un milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 RMN:principesdebase......................................... 6
1.4.1 LaRMN:utilit´e......................................... 6
1.4.2 Propagateurd’´ecoulement.................................... 7
2 Loi macroscopique 9
2.1 Pland’´etude ............................................... 9
2.2 Loid’injectionasymptotique ...................................... 10
2.3 Application aux conduites cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Th´eorie sur les tubes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 R´esultats sur la loi asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Travaux futurs sur la loi d’injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Etude microscopique via le propagateur d’´ecoulement 16
3.1 Axesdetravail .............................................. 16
3.2 De l’´ecoulement au propagateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 L’obtention des propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 Le lissage des propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Etude pr´eliminaire de l’´ecoulement `a travers un pore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Exploitationettravauxfuturs...................................... 24
3.3.1 Diff´erentes repr´esentations du propagateur d’´ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2 Distribution de probabilit´e de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Le passage `a deux dimensions : perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Conclusion 28
3

Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte
Dans l’industrie et la nature, il existe une grande vari´et´e de mat´eriaux, comme les fluides `a seuil, qui coulent
comme des liquides quand ils sont soumis `a une contrainte sup´erieure `a une valeur critique. Ces mat´eriaux se
comportent comme des solides en dessous de cette valeur, ils gardent donc la forme qu’on leur a donn´ee. Cette
propri´et´e joue un rˆole crucial pour de nombreuses applications o`u l’on d´esire modeler ou ´etaler le mat´eriau
comme, par exemple, les gels utilis´es en cosm´etique, le b´eton frais et les boues de forage en g´enie civil ou encore
les pˆates alimentaires. Dans la plupart de ces applications, une information basique mais cruciale pour bien
maˆıtriser le proc´ed´e est la connaissance de la force ou de la pression `a appliquer pour engendrer un certain
d´ebit, cette relation se nomme la loi d’injection. C’est le cas pour les op´erations de pompage (b´eton), d’injection
en milieu poreux (extraction de p´etrole, renforcement des sols), etc. Dans la plupart des cas, `a part des lois
semi-empiriques plus ou moins complexes, il y a peu de litt´erature sur ce sujet par ailleurs tr`es bien document´e
pour les fluides newtoniens.
1.2 Fluide `a seuil
Un fluide `a seuil est un mat´eriau qui se comporte comme un liquide quand il est soumis `a une contrainte
sup´erieure `a une contrainte limite. En dessous de cette contrainte, il se comporte comme un solide. De nos jours,
le mod`ele de Herschel-Bulkley est le mod`ele le plus utilis´e pour repr´esenter le comportement rh´eologique de tels
fluides. Dans le cas de cisaillement simple (i.e. les couches de fluides restent localement parall`eles les unes par
rapport aux autres) en r´egime permanent [1], on d´efinit la contrainte de cisaillement τet le taux de cisaillement
˙γ`a l’aide de l’exemple pr´esent´e sur la figure 1.1. Le mod`ele de Herschel-Bulkley s’´ecrit alors :
τ≤τc⇒˙γ= 0; τ > τc⇒τ=τc+k˙γn
[τ] = P a et [ ˙γ] = s−1(1.1)
Figure 1.1 – Fluide en cisaillement simple entre deux plans (en gris fonc´e) de surface S. Le fluide ne glisse pas
`a la paroi. Une force ~ Fest appliqu´ee au plan sup´erieur qui avance `a la vitesse ~ V. Le plan inf´erieur est immobile.
4

τrepr´esente la contrainte tangentielle que subit le fluide, τcla contrainte seuil en dessous de laquelle l’´ecoulement
n’a pas lieu et ˙γle taux de cisaillement ; ket nn’ont pas de signification physique pour l’instant. Les trois
param`etres pr´esents dans ce mod`ele (τc,ket n) d´ependent du mat´eriau. Cependant, nest g´en´eralement compris
entre 0.3 et 0.6. Remarquons qu’en prenant τc= 0 P a et n= 1 on se ram`ene `a un fluide de type newtonien et
avec τc= 0 P a et n <= 1 `a un fluide rh´eo-fluidifiant.
Nous avons choisi d’utiliser ce mod`ele car il repr´esente tr`es bien les donn´ees exp´erimentales : les param`etres,
τc,ket n, peuvent ˆetre cal´es de telle sorte qu’il soit tr`es pr´ecis sur plusieurs d´ecades de taux de cisaillement
(typiquement 5 d´ecades) [2, 3]. Il est donc capable de bien repr´esenter le comportement d’un fluide `a seuil
s’´ecoulant `a des vitesses allant de faibles (typiquement `a un taux de cisaillement de l’ordre de 10−2s−1) `a fortes
(`a un taux de cisaillement de l’ordre de 102s−1), ce qui constitue la plage de vitesse habituellement ´etudi´ee en
pratique. D’autres mod`eles rh´eologiques sont utilis´es comme par exemple le mod`ele de Bingham (´equation 1.1
avec n= 1). N´eanmoins, ils ont une plage de validit´e plus ´etroite que celui de Herschel-Bulkley.
Remarques importantes : le mod`ele de Herschel-Bulkley est un mod`ele que l’on cale sur des mesures
exp´erimentales et il n’est alors valable que dans une certaine plage. De plus, `a part la contrainte seuil qui
peut ˆetre reli´ee `a une contrainte critique n´ecessaire pour casser la structure du mat´eriau et permettre ainsi
l’´ecoulement, les deux autres param`etres du mod`ele ainsi que sa forme n’ont pas encore de justification phy-
sique. Donc, le mod`ele de Herschel-Bulkley permet d’avoir une expression raisonnable du comportement des
fluides `a seuil, dans une plage limit´ee de taux de cisaillement qui correspond `a la plage observ´ee dans les
applications r´eelles.
Nous ´etudions ces fluides en ´ecoulement permanent dans des milieux poreux satur´es. Les effets de d´ependance
dans le temps, de cisaillement local, etc ne sont pas abord´es dans ce rapport.
1.3 Ecoulement dans un milieu poreux
Comprendre l’´ecoulement d’un fluide dans un milieu poreux est un sujet ancien. Trois facteurs rendent
l’´etude de l’injection en milieu poreux d´elicate tant au niveau exp´erimental que num´erique : le milieux poreux,
le comportement du fluide et les param`etres de l’injection (plage de pression, ...). Pour les fluides `a seuil, la
non-lin´earit´e de leur comportement complique ´enorm´ement la tˆache. L’essentiel des travaux a port´e sur les
fluides newtoniens (eau, huile, ...). La modelisation d’´ecoulement en milieu poreux utilise g´en´eralement des
´equations semi-empiriques comme la loi exp´erimentale de Darcy [4] qui relie de mani`ere lin´eaire le d´ebit d’un
fluide newtonien `a travers un milieu poreux et le gradient de pression entre les deux extr´emit´es de ce milieu.
Outre l’injection dans un milieu poreux, des cas simplifi´es tels que l’´ecoulement dans des capillaires (voir [5] pour
une revue critique sur cette approche) ou autour d’un obstacle [6] ont aussi ´et´e beaucoup ´etudi´es. Ces approches
consid`erent le milieu comme un continuum : la vitesse est moyenn´ee dans l’espace et les sp´ecificit´es g´eom´etriques
sont prises en compte par des termes comme la perm´eabilit´e. Ces lois ont ensuite ´et´e ´etendues aux fluides `a seuil
via l’introduction de param`etres empiriques qui les rendent moins g´en´erales. Les ´etudes exp´erimentales r´ealis´ees
sur les fluides `a seuil couvrent des gammes ´etroites de vitesse, de fluides ´etudi´es et de milieux poreux. Les
approches semi-th´eoriques ont donc peu de valeurs de r´ef´erence pour tester leur validit´e. Ces derni`eres ann´ees,
Balhoff [5], Chen [7] et Morais [8], entre autres, ont mis en avant la faiblesse de telles approches pour les fluides
`a seuil. En effet, selon eux, ces approches simplifi´ees, efficaces pour les fluides newtoniens, ne prennent pas en
compte plusieurs sp´ecificit´es des fluides `a seuil comme un seuil de percolation et l’influence de la g´eom´etrie
du poreux, en particulier les zones o`u le fluide est immobile comme on peut le voir dans l’article de de Souza
Mendes [9] (figure 1.2).
Dans un capillaire, la vitesse est toujours tangente `a la surface interne et la contrainte dans le fluide est
maximale `a cet endroit. Quand la contrainte `a la paroi atteint la contrainte seuil, elle l’atteint sur toute la
paroi du capillaire et le fluide s’´ecoule alors comme un solide rigide sauf au niveau de la paroi o`u il coule
(voir figure 2.3). Au contraire, dans un convergent/divergent, la vitesse n’est pas toujours tangente `a la paroi
donc la contrainte n’y est pas uniform´ement r´epartie. Cela implique que la totalit´e du fluide contenu dans le
convergent/divergent (ou pore mod`ele) ne s’´ecoule pas forc´ement : il peut y avoir des zones mortes comme on
peut le voir sur la figure 1.2. Cette constatation souligne l’importance, au niveau microscopique, de la g´eom´etrie
du milieu poreux sur l’´ecoulement. Il implique aussi, au niveau macroscopique, une variation de la conductivit´e
du milieu en fonction du gradient de pression appliqu´e. Si le gradient de pression est en dessous d’une valeur
limite, il n’y a pas d’´ecoulement. En effet, mˆeme si un certain volume de fluide d´epasse la contrainte seuil, s’il
n’y a pas un continuum de fluide d’un bout `a l’autre du milieu qui est soumis `a une contrainte sup´erieure `a
la contrainte seuil, alors il n’y a pas d’´ecoulement : c’est un effet de seuil de percolation [10]. Puis, lorsque
le gradient de pression atteint une valeur critique, l’´ecoulement est initi´e via un chemin pr´ef´erentiel. Apr`es
cette phase, quand le gradient de pression augmente encore, de plus en en plus de chemins d’´ecoulement sont
disponibles et la conductivit´e augmente. Cette variation de la conductivit´e explique en partie le cˆot´e non-lin´eaire
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