Sciences des matériaux pour la construction durable ” Rapport de

Laboratoire : UR Navier
MASTER SMCD
” Sciences des matériaux pour la construction durable ”
Rapport de stage de Master Recherche
Injection de fluides non newtoniens en milieux poreux
Par : Thibaud Chevalier
Pour le Master SMCD :
Dr. Matthieu Vandamme
Responsables de stage :
Philippe Coussot
Stéphane Rodts
Mémoire présenté et soutenu le mardi 14 septembre 2010
Résumé
Nous présentons une approche physique de l’étude de la relation entre la pression et le débit d’un fluide
à seuil lors de son injection dans un milieu poreux, aussi appelée loi d’injection. Des outils macroscopiques
(expérience d’injection classique) ou microscopiques (les propagateurs d’écoulement mesurables par RMN) sont
aussi abordés afin de montrer leur intérêt pour identifier et caractériser les relations entre la géométrie du
milieu poreux, le comportement du fluide et la loi d’injection. Nous nous focalisons sur l’injection de fluides
à seuil. Des généralités sur les fluides à seuil, l’injection en milieu poreux et les propagateurs d’écoulement
sont d’abord présentées afin d’appréhender ces domaines, les modèles qui vont être utilisés dans cette étude
ainsi que les travaux qui s’y référent. Une approche macroscopique est ensuite développée. Elle porte sur la
construction d’une loi d’injection asymptotique pour les fluides à seuil. Cette loi vise à découpler la géométrie
du milieu injecté et le comportement du fluide afin d’être en mesure de la construire a priori. Son écart avec
la loi théorique est calculé à travers deux exemples : un tube simple et une distribution de tubes cylindriques.
Avec une erreur par rapport à la théorie d’environ 10% au maximum sur une grande plage de vitesse, cette
loi asymptotique se révèle être une approximation acceptable pour un certain nombre d’applications. Enfin,
afin d’améliorer la compréhension des coefficients de cette loi, nous présentons, dans une étude préliminaire,
les propagateurs d’écoulement : ces outils apportent une information moyennée sur l’écoulement à une échelle
microscopique. Ils sont obtenus lors d’expériences réalisées avec la technique de Résonance Magnétique Nucléaire
(RMN). Leur calcul et leur utilisation possible pour la rhéologie des fluides à seuil sont étudiés.
Mots clés : fluides de Herschel-Bulkley, injection en milieu poreux, capillaires, RMN, propagateurs d’écoulement.
Abstract
We develop a physical approach of the pressure drop vs flow rate relationship during the injection of a yield
stress fluid in a porous media; this relation is also called the injection law. Macroscopic tools such as classical
injection experiment or microscopic ones such as flow propagators are also introduced: it can help finding the
relationship between the geometry of the porous media, the fluid behavior and the injection law. We focus on
the injection of yield stress fluids in porous media. General points on yield stress fluids, injection in porous
media and flow propagator are first presented to understand these fields, models used and the literature about
these points. Then, an asympotic injection law is presented through a macroscopic study. We want to split the
parameters linked to the geometry of the porous media and those linked to the fluid behavior in order to be
able to build this law a priori. The relative error with a theorical injection law is computed for two geometries:
a capillary and a distribution of cylindrical capillaries. With a maximal error of about 10% on a wide range
of flow rate, this law seems to be an acceptable approximation for different applications. Finally, a preliminary
study deals with flow propagator: this tool gives an average information about the flow at a microscopic scale. It
comes from Nuclear Magnetic Resonance (NMR) experiments. We focus on their usefulness for rheologic study
of yield stress fluids.
Keywords: Herschel-Bulkley fluids, injection in porous media, capillaries, NMR, flow propagators.
Table des matières
1 Introduction
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Fluide à seuil . . . . . . . . . . . .
1.3 Ecoulement dans un milieu poreux
1.4 RMN : principes de base . . . . . .
1.4.1 La RMN : utilité . . . . . .
1.4.2 Propagateur d’écoulement .
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7
macroscopique
Plan d’étude . . . . . . . . . . . . . . .
Loi d’injection asymptotique . . . . . .
Application aux conduites cylindriques .
2.3.1 Théorie sur les tubes capillaires .
2.3.2 Résultats sur la loi asymptotique
2.4 Travaux futurs sur la loi d’injection . . .
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3 Etude microscopique via le propagateur d’écoulement
3.1 Axes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 De l’écoulement au propagateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 L’obtention des propagateurs . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Le lissage des propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Etude préliminaire de l’écoulement à travers un pore . .
3.3 Exploitation et travaux futurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Différentes représentations du propagateur d’écoulement
3.3.2 Distribution de probabilité de vitesse . . . . . . . . . . .
3.3.3 Le passage à deux dimensions : perspectives . . . . . . .
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2 Loi
2.1
2.2
2.3
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Conclusion
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3
Chapitre 1
Introduction
1.1
Contexte
Dans l’industrie et la nature, il existe une grande variété de matériaux, comme les fluides à seuil, qui coulent
comme des liquides quand ils sont soumis à une contrainte supérieure à une valeur critique. Ces matériaux se
comportent comme des solides en dessous de cette valeur, ils gardent donc la forme qu’on leur a donnée. Cette
propriété joue un rôle crucial pour de nombreuses applications où l’on désire modeler ou étaler le matériau
comme, par exemple, les gels utilisés en cosmétique, le béton frais et les boues de forage en génie civil ou encore
les pâtes alimentaires. Dans la plupart de ces applications, une information basique mais cruciale pour bien
maı̂triser le procédé est la connaissance de la force ou de la pression à appliquer pour engendrer un certain
débit, cette relation se nomme la loi d’injection. C’est le cas pour les opérations de pompage (béton), d’injection
en milieu poreux (extraction de pétrole, renforcement des sols), etc. Dans la plupart des cas, à part des lois
semi-empiriques plus ou moins complexes, il y a peu de littérature sur ce sujet par ailleurs très bien documenté
pour les fluides newtoniens.
1.2
Fluide à seuil
Un fluide à seuil est un matériau qui se comporte comme un liquide quand il est soumis à une contrainte
supérieure à une contrainte limite. En dessous de cette contrainte, il se comporte comme un solide. De nos jours,
le modèle de Herschel-Bulkley est le modèle le plus utilisé pour représenter le comportement rhéologique de tels
fluides. Dans le cas de cisaillement simple (i.e. les couches de fluides restent localement parallèles les unes par
rapport aux autres) en régime permanent [1], on définit la contrainte de cisaillement τ et le taux de cisaillement
γ̇ à l’aide de l’exemple présenté sur la figure 1.1. Le modèle de Herschel-Bulkley s’écrit alors :
τ ≤ τc ⇒ γ̇ = 0; τ > τc ⇒ τ = τc + k γ̇ n
(1.1)
[τ ] = P a et [γ̇] = s−1
Figure 1.1 – Fluide en cisaillement simple entre deux plans (en gris foncé) de surface S. Le fluide ne glisse pas
~ . Le plan inférieur est immobile.
à la paroi. Une force F~ est appliquée au plan supérieur qui avance à la vitesse V
4
τ représente la contrainte tangentielle que subit le fluide, τc la contrainte seuil en dessous de laquelle l’écoulement
n’a pas lieu et γ̇ le taux de cisaillement ; k et n n’ont pas de signification physique pour l’instant. Les trois
paramètres présents dans ce modèle (τc , k et n) dépendent du matériau. Cependant, n est généralement compris
entre 0.3 et 0.6. Remarquons qu’en prenant τc = 0 P a et n = 1 on se ramène à un fluide de type newtonien et
avec τc = 0 P a et n <= 1 à un fluide rhéo-fluidifiant.
Nous avons choisi d’utiliser ce modèle car il représente très bien les données expérimentales : les paramètres,
τc , k et n, peuvent être calés de telle sorte qu’il soit très précis sur plusieurs décades de taux de cisaillement
(typiquement 5 décades) [2, 3]. Il est donc capable de bien représenter le comportement d’un fluide à seuil
s’écoulant à des vitesses allant de faibles (typiquement à un taux de cisaillement de l’ordre de 10−2 s−1 ) à fortes
(à un taux de cisaillement de l’ordre de 102 s−1 ), ce qui constitue la plage de vitesse habituellement étudiée en
pratique. D’autres modèles rhéologiques sont utilisés comme par exemple le modèle de Bingham (équation 1.1
avec n = 1). Néanmoins, ils ont une plage de validité plus étroite que celui de Herschel-Bulkley.
Remarques importantes : le modèle de Herschel-Bulkley est un modèle que l’on cale sur des mesures
expérimentales et il n’est alors valable que dans une certaine plage. De plus, à part la contrainte seuil qui
peut être reliée à une contrainte critique nécessaire pour casser la structure du matériau et permettre ainsi
l’écoulement, les deux autres paramètres du modèle ainsi que sa forme n’ont pas encore de justification physique. Donc, le modèle de Herschel-Bulkley permet d’avoir une expression raisonnable du comportement des
fluides à seuil, dans une plage limitée de taux de cisaillement qui correspond à la plage observée dans les
applications réelles.
Nous étudions ces fluides en écoulement permanent dans des milieux poreux saturés. Les effets de dépendance
dans le temps, de cisaillement local, etc ne sont pas abordés dans ce rapport.
1.3
Ecoulement dans un milieu poreux
Comprendre l’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux est un sujet ancien. Trois facteurs rendent
l’étude de l’injection en milieu poreux délicate tant au niveau expérimental que numérique : le milieux poreux,
le comportement du fluide et les paramètres de l’injection (plage de pression, ...). Pour les fluides à seuil, la
non-linéarité de leur comportement complique énormément la tâche. L’essentiel des travaux a porté sur les
fluides newtoniens (eau, huile, ...). La modelisation d’écoulement en milieu poreux utilise généralement des
équations semi-empiriques comme la loi expérimentale de Darcy [4] qui relie de manière linéaire le débit d’un
fluide newtonien à travers un milieu poreux et le gradient de pression entre les deux extrémités de ce milieu.
Outre l’injection dans un milieu poreux, des cas simplifiés tels que l’écoulement dans des capillaires (voir [5] pour
une revue critique sur cette approche) ou autour d’un obstacle [6] ont aussi été beaucoup étudiés. Ces approches
considèrent le milieu comme un continuum : la vitesse est moyennée dans l’espace et les spécificités géométriques
sont prises en compte par des termes comme la perméabilité. Ces lois ont ensuite été étendues aux fluides à seuil
via l’introduction de paramètres empiriques qui les rendent moins générales. Les études expérimentales réalisées
sur les fluides à seuil couvrent des gammes étroites de vitesse, de fluides étudiés et de milieux poreux. Les
approches semi-théoriques ont donc peu de valeurs de référence pour tester leur validité. Ces dernières années,
Balhoff [5], Chen [7] et Morais [8], entre autres, ont mis en avant la faiblesse de telles approches pour les fluides
à seuil. En effet, selon eux, ces approches simplifiées, efficaces pour les fluides newtoniens, ne prennent pas en
compte plusieurs spécificités des fluides à seuil comme un seuil de percolation et l’influence de la géométrie
du poreux, en particulier les zones où le fluide est immobile comme on peut le voir dans l’article de de Souza
Mendes [9] (figure 1.2).
Dans un capillaire, la vitesse est toujours tangente à la surface interne et la contrainte dans le fluide est
maximale à cet endroit. Quand la contrainte à la paroi atteint la contrainte seuil, elle l’atteint sur toute la
paroi du capillaire et le fluide s’écoule alors comme un solide rigide sauf au niveau de la paroi où il coule
(voir figure 2.3). Au contraire, dans un convergent/divergent, la vitesse n’est pas toujours tangente à la paroi
donc la contrainte n’y est pas uniformément répartie. Cela implique que la totalité du fluide contenu dans le
convergent/divergent (ou pore modèle) ne s’écoule pas forcément : il peut y avoir des zones mortes comme on
peut le voir sur la figure 1.2. Cette constatation souligne l’importance, au niveau microscopique, de la géométrie
du milieu poreux sur l’écoulement. Il implique aussi, au niveau macroscopique, une variation de la conductivité
du milieu en fonction du gradient de pression appliqué. Si le gradient de pression est en dessous d’une valeur
limite, il n’y a pas d’écoulement. En effet, même si un certain volume de fluide dépasse la contrainte seuil, s’il
n’y a pas un continuum de fluide d’un bout à l’autre du milieu qui est soumis à une contrainte supérieure à
la contrainte seuil, alors il n’y a pas d’écoulement : c’est un effet de seuil de percolation [10]. Puis, lorsque
le gradient de pression atteint une valeur critique, l’écoulement est initié via un chemin préférentiel. Après
cette phase, quand le gradient de pression augmente encore, de plus en en plus de chemins d’écoulement sont
disponibles et la conductivité augmente. Cette variation de la conductivité explique en partie le côté non-linéaire
5
de la loi d’injection pour les fluides à seuil.
(a) Géométrie étudiée
(b) Influence du nombre de Bingham sur la localisation de la surface de plasticité : de gauche à droite : Bi−1 (référence), 1.8 ∗ Bi−1 , 2.8 ∗ Bi−1 , 3.5 ∗ Bi−1 ,
0
Figure 1.2 – Evolution de la part de fluide mobilisé avec le nombre de Bingham (plus Bi−1 est grand plus la
vitesse moyenne est grande) lors de l’écoulement d’un fluide à seuil (Figure extraite de l’article de de Souza
Mendes et al [9])
Les avancées récentes ont eu lieu au niveau des simulations numériques (voir [9, 11] pour un écoulement
dans un pore modèle ou [5] pour un écoulement dans un milieu poreux). Néanmoins, même si ces modèles
numériques obtiennent de bons résultats, ils sont encore difficilement généralisables et utilisables. De plus,
aucune loi d’injection ne ressort clairement de ces études. Pour espérer parvenir à une loi d’injection physique,
il faut continuer de chercher, comme le fait Balhoff, les phénomènes physiques propres à l’écoulement des fluides
à seuil afin d’enrichir la connaissance de la physique de ce processus.
Nous avons donc choisi de regarder l’injection de ces fluides (a) dans des conduites cylindriques et (b) dans
un pore modèle. Le cas (a) n’a pas pour but de comparer un modèle de capillaires à un poreux mais d’extraire
un comportement physique à l’aide de cette géométrie simple. De plus, à l’aide d’une distribution de tubes
de diamètres différents, nous prenons en compte l’influence d’un seuil de percolation. Le cas (b), nous permet
de regarder l’influence d’un pore seul sur la physique de l’écoulement. L’influence des zones mortes et d’une
géométrie d’expansion-contraction sur la loi d’injection est ainsi prise en compte.
1.4
RMN : principes de base
Les études réalisées jusqu’alors étaient basées sur de résultats macroscopiques issus de simulations numériques
ou d’expériences. Les lois décrivant le comportement du matériau sont dans la majorité des cas des lois macroscopiques et le comportement microscopique n’est jamais pris en considération. Les techniques de Résonance
Magnétique Nucléaire (RMN) peuvent aider à étendre les techniques traditionnelles pour tester les matériaux
en apportant des données microscopiques. A l’heure actuelle, du côté RMN, les recherches montrent la possibilité d’obtenir soit des images des écoulements [12], avec les champs de vitesse, soit les distributions de
vitesse [13, 14, 15]. Pour l’instant, à notre connaissance, ces outils ont été très peu utilisés pour comprendre la
physique de l’écoulement [16].
1.4.1
La RMN : utilité
La RMN dont la partie la plus connue est l’IRM, ou Imagerie par Résonance Magnétique, est une technique
d’expérimentation non invasive et sans contact qui n’interfère pas avec l’écoulement. Elle permet d’obtenir
de l’information dans des milieux non transparents. De plus, dans le cas d’écoulement en milieu poreux, le
caractère aléatoire des processus observés et les petites échelles caractéristiques liées aux hétérogénéités du milieu
nécessitent un traitement statistique : c’est exactement ce qu’effectue la RMN. La technique qui nous intéresse
plus particulièrement se nomme PGSE-NMR : Résonance Magnétique Nucléaire par Gradient de Champs Pulsé
(”Pulse Gradient Spin Echo - Nuclear Magnetic Resonance”) car l’appareil présent au laboratoire Navier est
adapté à cette technique. Elle permet de suivre les déplacements d’une particule de fluide en mouvement dans
un écoulement avec une très bonne résolution (spatiale : 1µm et temporelle : 1ms) en suivant la distribution
spatiale d’une espèce nucléaire (le noyau d’hydrogène dans notre cas). Le principe de base est décrit dans l’article
de Leblond et Lebon [14]. Cette technique permet d’accéder aux densités de probabilités de déplacement en une
ou plusieurs dimensions. Les expériences sont faites à faible vitesse : dans notre cas, la vitesse est suffisament
6
faible pour que, lors de la mesure, une particule de fluide reste dans un même pore. Après division de la densité
de probabilité de déplacement par le temps d’observation, on obtient la densité de probabilité de vitesse. Cette
dernière est aussi appelée propagateur d’écoulement ou propagateur, nous emploierons principalement ce terme
dans la suite de ce rapport. Le terme distribution de probabilité de vitesse est aussi utilisé par abus de language.
1.4.2
Propagateur d’écoulement
Les propagateurs d’écoulement sont obtenus directement au niveau RMN. On peut aussi les reconstruire à
partir de champs de vitesse issus de l’imagerie [17] ou de simulations numériques : c’est ce qui est présenté dans
ce rapport. Cette approche va nous permettre d’appréhender les propagateurs et d’élaborer les expériences plus
ou moins complexes à effectuer ultérieurement sur l’IRM du laboratoire.
Les propagateurs d’écoulement représentent la proportion de chaque vitesse dans la section ou la partie
de fluide étudiée. L’intérêt pour la rhéologie se situe à ce niveau. On espère pouvoir extraire ces informations
locales sur l’écoulement, moyennées sur un volume, et les utiliser pour comprendre la physique de la loi d’injection
relatif au même écoulement. Heinen [18] a extrait les profils que l’on peut voir sur la figure 1.3. Ce type de profil
montre déjà que cet outil peut permettre l’identification du comportement du fluide : le cas a), newtonien, a
une signature complètement différente du cas b) qui est un fluide rhéofluidifiant. De plus, dans les deux cas on
perçoit le fait qu’il y a deux conduites avec la présence de deux plateaux dans le cas a) et de deux pics dans le
cas b).
Figure 1.3 – f (w∗) : densité de probabilité de vitesse axiale (f (w∗)) - profil de vitesse axiale (figures insérées)
pour l’écoulement dans deux tubes en parallèle. L’intégrale sur f (w∗) est normalisée à 1 et w∗ est la vitesse
normalisée par la vitesse maximale. Pour le profil de vitesse, l’axe verticale est la vitesse et l’axe horizontal est
la position le long d’un diamètre du tube. a) Fluide Newtonien (eau avec du CuSO4). b) Fluide rhéofluidifiant
(solution d’eau avec 2% de xanthan). (Figure extraite de l’article de Heinen [18])
En se basant sur les profils issus de la biliographie, on peut imaginer l’importance d’études numériques pour
simuler les écoulements et l’apport des propagateurs d’écoulement pour les étudier dans des géométries telles
que celle de la figure 1.4. Cette figure est le produit de notre réflexion sur l’information rhéologique susceptible
d’être extraite des propagateurs d’écoulement. Sur cet exemple, où les courbes ont été extrapolées, on peut
visualiser l’influence de la géométrie sur l’écoulement :
– du côté des faibles vitesses, le propagateur est plus important sur la figure 1.4(a) que sur la figure 1.4(b)
à cause de la proportion plus importante de fluide au repos dans le cas a) que dans le cas b).
– sur le reste du propagateur, deux comportements différents sont mis en évidence sur ce cas fictif mais
réaliste. Sur la figure 1.4(a), les pores étant rapprochés, l’écoulement a un profil similaire à celui d’un
écoulement dans une conduite ; il engendre un propagateur de type Poiseuille, c’est à dire un créneau.
Au contraire, sur la figure 1.4(b), il n’y a qu’un seul pore et on peut simplifier cela avec deux régimes
d’écoulement provenant d’une conduite ayant successivement deux diamètres différents. Ces deux régimes
peuvent être visualisés à travers les deux pics visibles sur la courbe de propagateur d’écoulement.
Ce cas fictif montre le type d’informations que l’on pourrait extraire des propagateurs. Dans le cadre de ce
rapport, des élements vont être abordés quant à la possibilité d’exploiter ces courbes tant au niveau qualitatif
7
que quantitatif.
(a) Trois pores
(b) Un seul pore
Figure 1.4 – Influence des zones mortes pour la même longueur de chaque taille de conduite dans deux configurations différentes (courbes qualitatives intuitées). Ecoulement d’un fluide à seuil dans des géométries de
type cylindrique à un débit élevé pour le cas a) et faible pour le cas b). Pour chaque figure, le schéma du haut
représente la géométrie du milieu poreux modèle et la courbe du bas le propagateur associé.
Nous avons orienté ce stage selon deux axes de travail. Le premier (Chapitre 2) est une étude au niveau
macroscopique portant sur la présentation et la validation d’une loi d’injection asymptotique via deux géométries
basées sur les tubes capillaires. Le deuxième (Chapitre 3) porte sur les propagateurs d’écoulement et développe
la manière de les obtenir autrement qu’à partir des mesures RMN. Une analyse préliminaire des possibilités
d’exploitation au niveau rhéologique des propagateurs est aussi abordée dans cette dernière partie.
8
Chapitre 2
Loi macroscopique
2.1
Plan d’étude
Une loi d’injection permet de déterminer la différence de pression (∆P en P a) à appliquer au fluide entre les
deux côtés du milieu poreux que l’on injecte en fonction du débit de fluide (Q en m3 .s−1 ) que l’on veut injecter
(voir figure 2.1). Sa connaissance est importante pour toutes les applications d’injection. Le débit (Q) d’un
fluide en écoulement dans un milieu (voir le schéma de la figure 2.1) de section S (en m2 ) est relié directement
à la vitesse de Darcy (VDarcy en m.s−1 ) par la relation VDarcy = Q/S. Cette vitesse est la vitesse apparente
du fluide s’écoulant dans le milieu poreux. Par contre, la vitesse moyenne du fluide Vmoy est la vitesse effective
du fluide dans le milieu et son lien avec la vitesse de Darcy se fait via la porosité φ (sans unité) du milieu :
VDarcy = φVmoy . La distinction entre la vitesse de Darcy et la vitesse moyenne est importante lors de l’étude
d’écoulements en milieu poreux. Dans ce rapport, le terme vitesse est associé à la vitesse effective du fluide.
Afin d’améliorer notre compréhension de la physique de l’injection en milieux poreux, nous nous sommes
concentrés sur l’étude de cas simples où les spécificités des milieux étudiés sont connues ou tout du moins
identifiées. En effet, plusieurs difficultés se posent lors de l’injection de fluides à seuil dans un milieu poreux : la
connaissance du fluide, du milieu poreux et des paramètres d’injection. Pour ce qui est du fluide, on se limite
à ceux qui suivent la loi de Herschel-Bulkley et qui sont en écoulement permanent et laminaire dans un milieu
saturé. Pour le milieu poreux, nous avons choisi de regarder l’évolution de la loi d’injection dans deux milieux.
Le premier est un cas classique : un tube capillaire ou une distribution de capillaires. Le deuxième milieu choisi
est un cas plus réaliste mais simplifié : un ”pore modèle” (voir figure 1.2a). En aucun cas nous ne voulons faire de
parallèle entre ces cas modèles et un milieu réel. Notre volonté est de comprendre comment les caractéristiques
du milieu injecté et du fluide interviennent dans la loi d’injection. Dans cette optique, les tubes capillaires nous
ont permis d’obtenir une loi d’injection analytique mais inversée (i.e. V = f (∆p)). Même dans ce cas, pourtant
simple, une loi d’injection analytique (i.e. ∆p = f (V )) est déjà impossible à obtenir ! L’apport d’une distribution
de capillaires réside dans la prise en compte de l’effet de seuil de percolation [5] à travers les différentes tailles
de conduites. Cependant, certains effets propres aux fluides à seuil ne sont pas réellement pris en compte avec
ce modèle comme, par exemple, le fait que la part de fluide mobilisé dans un pore peut varier en fonction du
débit (voir figure 1.2). Pour essayer de comprendre l’impact de ces effets sur la loi d’injection, nous avons étudié
cet aspect de manière numérique. Cette étude a été réalisée par Brooks Rabideau (ancien post-doctorant à l’UR
Navier [19]), elle ne sera donc pas entièrement développée dans ce rapport.
Pour recentrer notre étude de la loi d’injection, nous avons préféré adopter une approche asymptotique.
Figure 2.1 – Ecoulement d’un fluide à un débit Q dans un milieu poreux de section S, de longueur L et de
porosité φ. Ce milieu est soumis à une différence de pression ∆P = P1 − P2
9
Elle a pour but l’obtention d’une loi approchée que l’on peut utiliser de manière générale quelque soit le fluide
à seuil injecté et/ou le milieu poreux. Cette loi est présentée dans la partie suivante. Sa validation avec les
tubes capillaires et le pore modèle est ensuite développée. Une dernière partie conclue sur cette loi d’injection
asymptotique et présente les perspectives d’amélioration.
2.2
Loi d’injection asymptotique
La connaissance d’une loi d’injection est primordiale pour maı̂triser le processus d’injection. L’approche
classique d’obtention de cette loi pour les fluides à seuil consiste au niveau expérimental à injecter un ou deux
fluides dans un milieu poreux sous une certaine pression et à mesurer le débit. La loi d’injection est ensuite
reconstruite. Cette méthode, si elle est bien menée, amène à des résultats exploitables. Cependant, elle ne
permet pas une généralisation à d’autres milieux et à d’autres fluides. Le même type de limitation s’applique
au niveau du numérique. Nous proposons donc une démarche qui se veut plus générale. Elle consiste en une
approche asymptotique qui vise à découpler les différentes contributions du fluide et du milieu poreux dans la
loi d’injection. Cette loi est approchée.
Dans ce rapport, nous allons présenter la démarche permettant d’obtenir cette loi et de la valider dans une
première approche. Une étape future sera d’appréhender les liens entre les paramètres de la loi et la physique
de l’écoulement (données d’injection, milieu poreux et fluide).
Pour un fluide à seuil suivant la loi de Herschel-Bulkley deux cas asymptotiques se présentent :
– quand la contrainte de cisaillement est inférieure à une valeur critique propre au fluide (τc ), le fluide à
seuil se comporte comme un solide :
∆p(V → 0) = ατc
(2.1)
– quand la contrainte de cisaillement est grande, cela équivaut à une différence de pression tendant vers
l’infini, le fluide à seuil se comporte comme un fluide en loi puissance de vitesse moyenne V . Par analyse
dimensionnelle des équations du mouvement, on obtient :
∆p(V → ∞) = βk. (V /l)
n
(2.2)
Les coefficients α et β sont sans dimension et ils dépendent de la géométrie du milieu poreux. β dépend en
plus de n. l est une longueur caractéristique du milieu poreux. On obtient alors une loi d’injection approchée
en ajoutant les deux termes précédents :
n
∆p = ατc + βk. (V /l)
(2.3)
Afin de restreindre le nombre de paramètres à étudier, on va se ramener à une forme adimensionnée de
l’équation 2.3. Les deux régimes identifiés précédemment permettent de différencier un état purement plastique du matériau et un état de fluide en loi puissance, le ratio des deux termes donne le nombre de Bingham :
Bi = τc ln /kV n . Nous utiliserons comme deuxième nombre adimensionnel le nombre G définit par G = ∆p/ατc .
On obtient alors l’équation adimensionnée suivante :
G = 1 + δBi−1
(2.4)
Le terme δ est le ratio β/α et il dépend des caractéristiques géométriques du milieu poreux et de la puissance
n.
2.3
2.3.1
Application aux conduites cylindriques
Théorie sur les tubes capillaires
La première étape, dans le cadre du stage, a été de calculer les profils de vitesse dans des conduites cylindriques. Ces différentes expressions peuvent être trouvées dans la littérature [1] mais le but de cette partie est
d’appréhender le sujet et les principes de bases. Une généralisation des formules a été introduite ainsi qu’une
étude asymptotique.
Ecoulement dans une conduite simple On étudie l’écoulement permanent et laminaire d’un fluide de
type Herschel-Bulkley (cf équation 1.1) dans une conduite de rayon r0 et de longueur L (voir figure 2.2). On
se place en coordonnées cylindriques. Il existe une différence de pression ∆p entre les deux extrémités de la
conduite. L’écoulement est uniforme suivant l’axe ~z dans une conduite circulaire. vz est donc indépendant de z
10
Figure 2.2 – Conduite cylindrique
et la symétrie de révolution implique une indépendance vis-à-vis de θ : vz (r, θ, z) = f (r). Avec la condition de
0
non-glissement aux parois, l’écoulement est maximal au centre donc il vient : γ̇ = −f (r). En isolant un cylindre
de rayon r, de longueur L et centré sur l’axe ~z, on a :
(σzz (L) − σzz (0))πr2 + 2πrLσrz (r) = 0
(2.5)
Il vient
∆p
σzz (0) − σzz (L)
r=
r
2L
2L
Il existe ainsi un rayon critique pour lequel le taux de cisaillement est atteint : rc =
(2.6)
τ = σrz =
2τc
∆p
L
. Si le rayon de la
conduite est plus petit que le rayon critique, alors il n’y a pas d’écoulement d’écoulement dans la conduite.
S’il est supérieur au rayon critique, alors il y a écoulement et, afin de trouver l’expression de la vitesse, il faut
identifier deux cas : r ≤ rc ⇒ γ̇ = 0 ou r ≥ rc ⇒ τ = τc + k γ̇ n . Le champ de vitesse solution, représenté pour
différentes conditions d’écoulement sur la figure 2.3, est défini par :

1

n
1 ∆p n
1+ 1


r
≤
r
⇒
v
(r)
=
v
=
(r0 − rc ) n
c
z
max

n + 1 2k L
1+ n1 !
(2.7)

r − rc


 r ≥ rc ⇒ vz (r) = vmax ∗ 1 −
r0 − rc
Vitesse moyenne
V = vmoy
1
= 2
πr0
Z
2π
Z
r0
vz (r)rdrdθ
0
(2.8)
0
Après calculs, on obtient :

1
2
2
2
2
2
1 r

1 ∆p n
1 n
1+ n
0 2n + 3n + 1 + r0 rc 2n + 2n + rc 2n
(r0 − rc )
r0 > rc ⇒ V = 2
r0 n + 1 2k L
(2n + 1)(3n + 1)

r0 ≤ rc ⇒ V = 0
∆p 2
Remarque : dans le cas d’un fluide newtonien, n = 1 et rc = 0, on a bien vmoy = 8Lk
r0 et vmax =
τc r0n
∆p r0
r0
1
un fluide à seuil, rc > 0 donc en posant : m = n ; Bi = kV n et G = rc = τc 2L , il vient :

G−3 (G − 1)m+1 ((m + 1)(m + 2)G2 + 2(m + 1)G + 2)

G > 1 ⇒ Bi−m =
(m + 1)(m + 2)(m + 3)

G ≤ 1 ⇒ Bi−m = 0
(2.9)
∆p 2
4Lk r0 .
Pour
(2.10)
Sur la figure 2.4, on peut voir l’évolution de G en fonction de Bi−1 .
Ecoulement dans une distribution de conduites On considère ici des distributions de conduites en
parallèle. Dans ces distributions, les conduites ont toutes la même longueur et sont soumises au même gradient
de pression
entre leurs deux extrémités. On note ni le nombre de conduites de rayon ri = αi r1 (section totale :
P
πr12 αi2 ni ). La conduite d’indice i = 1 est la plus grosse des conduites de la distribution. On note V la vitesse
moyenne dans la distribution de conduites en parallèles et Vi la vitesse moyenne dans la conduite de type i, de
section Si . Il vient :
P
ni Si Vi
V = P
(2.11)
ni Si
11
(a) r0 < rc ou G < 1
(b) r0 > rc ou G > 1
(c) r0 >> rc ou G >> 1
Figure 2.3 – Ecoulement d’un fluide en loi puissance dans une conduite cylindrique de rayon r0 . Vmax est la
vitesse maximale de l’écoulement.
Figure 2.4 – Ecoulement en régime permanent d’un fluide à seuil (n = 0.4) à travers une conduite cylindrique :
différence de pression théorique adimensionnée en fonction du débit adimensionné (ligne en trait continu). Les
lignes pointillées représentent les asymptotes.
On a vu que, dans une conduite simple de rayon r0 , on a :

1/n

k
G−3 (G − 1)m+1 ((m + 1)(m + 2)G2 + 2(m + 1)G + 2)
G>1⇒V
= r0
τc
(m + 1)(m + 2)(m + 3)

G≤1⇒V =0
(2.12)
Pour une distribution définie comme précédemment, on obtient donc pour tous types de conduites i :

1/n

k
G−3 (Gi − 1)m+1 ((m + 1)(m + 2)G2i + 2(m + 1)Gi + 2)
Gi > 1 ⇒ ni Si Vi
= Πri3 ni i
τc
(m + 1)(m + 2)(m + 3)

Gi ≤ 1 ⇒ Vi = 0
Avec les notations introduites, on a ∀i ri = αi r1 et ∀i Gi = αi G1 . En notant G1 = G et Bi−m =
après simplification, quand le fluide s’écoule dans toutes les conduites, on a :
P
G−3
ni (αi G − 1)m+1 ((m + 1)(m + 2)(αi G)2 + 2(m + 1)(αi G) + 2)
Bi−m = P 2
αi ni
(m + 1)(m + 2)(m + 3)
V
r1
(2.13)
m
k
τc
,
(2.14)
Au cas où certaines conduites ne coulent pas, il faut introduire la condition d’écoulement dans chaque taille de
conduite. Pour ce faire, le terme xi a été rajouté. Il est régi comme suit :
αi G ≤ 1 ⇒ xi = 0
αi G > 1 ⇒ xi = 1
12
Avec la condition sur xi qui annule la vitesse dans le réseau de conduites de taille i si la pression est insuffisante,
on obtient finalement pour un réseau de conduites cylindriques l’expression suivante :
P
xi ni (αi G − 1)m+1 ((m + 1)(m + 2)αi2 G2 + 2(m + 1)(αi G) + 2)
G−3
−m
Bi
=P 2
(2.15)
αi ni
(m + 1)(m + 2)(m + 3)
Expression asymptotique Pour une seule conduite cylindrique, on a :
G → ∞ ⇒ G ≈ (m + 3)n Bi−1
G → 1 ⇒ G ≈ 1 + (m + 1)1/m+1 Bi−m/1+m
(2.16)
Pour une distribution de conduites cylindriques définie comme précédemment, si G → ∞ on est dans une
situation où l’écoulement a lieu dans toutes les conduites : ∀i xi = 1. Au contraire, si G → 1, seule la conduite
la plus grosse (i.e. : i = 1) est le lieu d’un écoulemente : ∀i 6= 1 xi = 0 et x1 = 1. On obtient alors :

n
P 2

αi ni
n
−1

 G → ∞ ⇒ G ≈ (m + 3) Bi
P m+3

αi ni
(2.17)
P 2 1/m+1

αi ni

1/m+1
−m/1+m

Bi
 G → 1 ⇒ G ≈ 1 + (m + 1)
n1
Sur les cas asymptotiques précédents, on peut noter que seul le coefficient devant Bi est modifié par le passage
d’une
P à lui pas modifié. Le terme
P 2 conduite seule à une distribution de conduites. L’exposant de Bi n’est quant
αi ni renvoie à la section totale du milieu accessible au fluide qui est Πr12 αi2 ni (avec r1 le rayon de la
plus grosse conduite). La connaissance de ce terme peut être intéressante. Il peut être vu comme un facteur de
forme de la distribution de conduites (dépendant de la forme des conduites, de leur distribution, ...) ou plus
généralement du milieu poreux.
Les cas asymptotiques précédents peuvent se réécrire, pour une seule conduite cylindrique, sous la forme
suivante :
n

L
V

 Bi → 0 ⇒ ∆p = 2.(m + 3)n k
R
R
(2.18)

 Bi → ∞ ⇒ ∆p = 2L τ
c
R
Remarques : Le cas Bi → ∞ peut être obtenu directement par une simple équation d’équilibre, il correspond à
la condition critique pour initier l’écoulement. De même, l’expression Bi → 0 peut être retrouvée directement
en calculant la solution de l’écoulement d’un fluide en loi puissance (voir équation 1.1 avec τc = 0P a) dans la
même géométrie.
Expression de la loi asymptotique On obtient la loi asymptotique relative à une conduite simple en
ajoutant les deux termes asymptotiques précédents comme cela est expliqué dans la section 2.2. La chute de
pression asymptotique dans une conduite circulaire a donc pour expression :
n 2L
U
n
∆p =
τc + (m + 3) k
(2.19)
R
R
Cette expression peut être réécrite sous forme adimmensionnelle, comme dans l’équation 2.4 :
G = 1 + (m + 3)n Bi−1
On procède de la même manière pour la distribution de conduites et on obtient :
P 2
n
αi ni
G = 1 + (m + 3)n Bi−1 P m+3
αi ni
(2.20)
(2.21)
Le terme noté δ dans l’équation 2.4 apparaı̂t bien avec ces deux géométries différentes comme étant un facteur
géométrique mais il dépend aussi du paramètre n de la loi de comportement du fluide.
2.3.2
Résultats sur la loi asymptotique
Afin de valider la loi d’injection asymptotique présentée dans la section 2.2, elle a été testée pour des
écoulements à travers différentes géométries : autour d’un obstacle, au niveau d’une contraction ou d’un pore 1
1. Etudes réalisées par B. Rabideau, voir par exemple l’article [16]
13
mais aussi à l’aide d’expériences dans un milieu poreux 2 et enfin lors d’écoulement dans une conduite ou une
distribution de conduites. Je vais développer plus particulièrement ce dernier point.
Pour le stage, nous avons choisi de nous focaliser sur l’étude d’une conduite simple et celle d’une distribution
de conduites. Cette dernière a été choisie de manière arbitraire dans le but d’analyser l’influence de plusieurs
conduites de tailles différentes sur l’erreur faite entre l’expression approchée et la loi théorique par rapport à
une conduite isolée. Afin de voir l’impact de conduites de tailles différentes dans la distribution, le nombre
de conduite de chaque taille, ni , est inversement porportionnel à leur section donc l’aire totale par type de
conduite est constante. Ainsi, chaque taille de conduite a la même capacité de transport de fluide et seule la
géométrie intervient pour différencier les tubes au niveau de l’écoulement. Les expressions exactes 2.10 et 2.15
et asymptotiques 2.20 et 2.21 ont été implémentées sous Matlab avec ces caractéristiques. Afin d’avoir une
étude plus complète, nous avons regardé l’écoulement de différents types de fluides à seuil en faisant varier le
paramètre n. La plage de Bi a été choisie pour visualiser les deux régimes asymptotiques. La représentation en
échelle logarithmique permet d’ailleurs de mieux les faire apparaı̂tre.
La figure 2.5 permet de visualiser les deux régimes asymptotiques et le régime intermédiaire dans le cas d’un
écoulement dans une seule conduite cylindrique. La loi approchée prédit parfaitement les deux premiers régimes
et assez bien le troisième. L’erreur relative entre les lois théoriques et approchées varie entre 5 et 15% quand
n évolue de 0.4 à 1. Cette erreur est un peu plus élevée dans le cas d’une distribution de conduites, comme on
peut le voir sur la figure 2.6. Sa valeur maximale est de 16% pour n = 0.4 et de 30% pour n = 1. Néanmoins,
même dans ce cas, la loi approchée reste une approximation assez fidèle.
Figure 2.5 – Ecoulement en régime permanent d’un fluide à seuil (n = 0.4) à travers une conduite cylindrique :
différence de pression théorique adimensionnée en fonction du débit adimensionné (ligne continue) et expression
approximée (ligne en pointillé). La fenêtre interne montre l’erreur relative sur la différence de pression en utilisant
l’expression approximée 2.20 pour différentes valeurs de n : (de bas en haut) 0, 2 ; 0.4 ; 0.6 ; 0.8 and 1.
On a montré que l’expression de la loi d’injection asymptotique marchait assez bien dans deux géométries.
Les autres géométries étudiées par ailleurs (contraction, écoulement autour d’un obstacle et dans un ”pore
modèle”) montrent des résultats similaires. L’erreur maximale commise en utilisant cette loi est de l’ordre de
quelques dizaines de pourcents pour certain nombre de Bingham (Bi) mais elle est inférieure à 10% la plupart
du temps. Une telle erreur n’est pas significative si on la compare aux incertitudes de mesure qu’il y a sur la
détermination des autres paramètres. Par exemple, une incertitude d’environ 10% peut être attendue lors d’un
test rhéométrique qui peut servir à trouver les paramètres de Herschel-Bulkley, à cause de la difficulté à contrôler
parfaitement la forme, l’état et l’homogénéité des échantillons ou à cause des problèmes d’écoulement tels que
le glissement aux parois et le cisaillement local à faible taux de cisaillement [1]. Par ailleurs, les modèles comme
celui utilisé ici pour le fluide (Herschel-Bulkley) ne sont que des approximations de la réalité.
L’expression de la chute de pression sous la forme de la somme de deux termes asymptotiques pourrait
résoudre de nombreux problèmes au niveau des applications. Un pré-requis pour l’utiliser est d’avoir une esti2. Voir la thèse de X. Clain [20]
14
Figure 2.6 – Ecoulement en régime permanent d’un fluide à seuil (n = 0.4) à travers une distribution de
conduites cylindriques de dix tailles différentes (les largeurs αi R sont également réparties entre R/20 et R) :
différence de pression théorique adimensionnée en fonction du débit adimensionné (ligne continue) et expression
approximée (ligne en pointillé). La fenêtre interne montre l’erreur relative sur la différence de pression en utilisant
l’expression approximée 2.21 pour différentes valeurs de n : (de bas en haut) 0, 2 ; 0.4 ; 0.6 ; 0.8 and 1.
mation de n par un test rhéométrique. Puis, une mesure de la pression à faible vitesse donnerait la valeur de
la chute de pression critique de laquelle on pourrait déduire α et une autre mesure à forte vitesse permettrait
de remonter au coefficient β. Dans ce dernier cas, il faudrait alors calculer un nombre de Bingham où une longueur caractéristique intervient. Cette longueur n’est pas critique car le coefficient β intègre aussi une longueur
caractéristique. On obtient ainsi les deux coefficients de la forme approximée de la chute de pression en fonction
de la vitesse.
Ce résultat suggère aussi que des géométries complexes peuvent être utilisées comme des rhéomètres pour
des fluides à seuil. Il suffit de déterminer les coefficients α et β avec des tests minitieux réalisés avec un fluide à
seuil bien maitrisé. Si on travaille ensuite avec un nouveau fluide à seuil dont on connait la puissance n, il suffit
alors de faire un test à faible vitesse et un à forte vitesse pour trouver les paramètres rhéologiques τc et k.
2.4
Travaux futurs sur la loi d’injection
Nous avons présenté dans ce chapitre une loi d’injection asymptotique en s’appuyant sur le fait qu’elle était
d’origine physique. Les résultats développés ici nous ont permis de montrer dans quelle mesure cette loi est valide
et surtout qu’elle a la même forme pour des géométries allant de l’écoulement autour d’une sphère à un milieu
poreux réel en passant par des capillaires [19]. Le paragraphe précédent a proposé une méthode expérimentale
afin de trouver les paramètres α et β. La suite de travail pourra porter sur la signification physique de ces
deux paramètres. Pour α, il faut déterminer la force nécessaire pour provoquer l’écoulement du matériau solide.
C’est un problème de plasticité et la solution n’est souvent pas simple ni évidente. Il n’y a donc pas d’outil
théorique simple pour prédire α, de nouvelles approches restent donc à développer pour résoudre ce genre de
problème dans des géométries plus ou moins complexes. De même, une approche physique doit être développée
pour le coefficient β, même si, dans ce cas, les expériences à vitesse élevée permettent d’obtenir des résultats
assez satisfaisants.
Un autre axe d’étude pour la compréhension physique des termes α et β est l’utilisation des propagateurs
d’écoulement que l’on peut obtenir avec l’IRM, c’est l’objet de la partie qui suit.
15
Chapitre 3
Etude microscopique via le
propagateur d’écoulement
3.1
Axes de travail
Dans le cadre du stage, nous avons étudié le propagateur d’écoulement au niveau théorique afin de mieux
connaı̂tre cet outil. L’injection sous Imageur par Résonance Magnétique (IRM) est une opération assez lourde à
mettre en oeuvre. Avant de procéder à ce type d’expérience, il faut analyser le sujet pour cibler les expériences
intéressantes à réaliser. Pour cela, on peut utiliser soit des données théoriques, pour des écoulements de fluide
en loi puissance dans une conduite cylindrique, soit des données issues de simulations numériques sur des
géométries plus complexes avec des fluides à seuil. Afin d’exploiter ces données numériques et de cibler les
éléments suceptibles d’être intéressants à tester sous IRM d’un point de vue rhéologie, nous nous proposons
dans le cadre de ce stage de mettre en place un code susceptible de traiter les champs de vitesse numériques
ou théoriques afin d’obtenir les propagateurs correspondant. Cette méthode est déjà utilisée par Koptyug et
al. [17] pour reconstruire le propagateur à partir du champs de vitesse d’un écoulement obtenu par Imagerie
par Résonance Magnétique (IRM). Le code que nous développons répond à plusieurs objectifs. Tout d’abord, il
doit être robuste quant à la géométrie à étudier et au profil de vitesse du fluide. Ensuite, au niveau numérique,
les maillages ont un raffinement limité pour une question de puissance de calcul donc il faut que le propagateur
obtenu par le code puisse être au maximum indépendant de la précision des données afin d’avoir des résultats
exploitables et comparables d’un maillage à l’autre. Enfin, le propagateur doit être utilisable au niveau quantitatif
en plus d’un aspect qualitatif.
3.2
De l’écoulement au propagateur
L’étude que nous développons dans cette partie se limite au calcul des propagateurs d’écoulement relatifs à
des écoulements de fluides ayant lieu dans une section cylindrique.
3.2.1
L’obtention des propagateurs
Définition d’un propagateur d’écoulement
~ (x, y, z). Un propagateur d’écoulement à une dimension ne s’intéresse qu’à une
Soit un champ de vitesse V
direction d’écoulement. Prenons par exemple la direction ~z. Un propagateur d’écoulement à une dimension est
alors la densité de probabilité pz sur vz , on le définit par :
pz (v)dv = proba (v < vz < v + dv)
(3.1)
En pratique cela revient à faire un histogramme d’occurence des valeurs de vz .
Le cas d’un fluide newtonien dans une conduite cylindrique
Afin de tester le code, nous avons choisi d’étudier un cas simple où l’on connaı̂t l’expression analytique de
la vitesse du fluide : l’écoulement d’un fluide newtonien dans une conduite cylindrique. De plus, cela permet de
mieux comprendre l’origine des propagateurs. L’écoulement laminaire d’un fluide newtonien dans une conduite
16
2
de rayon R a un profil parabolique de Poiseuille : vz (r) = vmax 1 − (r/R) où vz (r) est la vitesse dans la
direction de l’écoulement à une distance r du centre. Le propagateur d’écoulement vaut alors :
p(vz ) = −2πr/(πr2 )
dr
= 1/vmax pour 0 < vz < vmax .
dvz
(3.2)
On peut généraliser cette étude pour tous les fluides ayant un profil de vitesse qui correspond à un fluide en loi
puissance :
α
vz (r) = vmax (1 − (r/R) ) pour α ≥ 2
(3.3)
Le propagateur associé a pour expression :
p(vz ) = 2/(αvmax ) (1 − (vz /vmax ))
2/α−1
pour 0 < vz < vmax .
(3.4)
La figure 3.1 montre l’allure d’un tel propagateur et de son profil de vitesse associé dans le cas d’un fluide
Newtonien (α = 2) et pour des fluides rhéo-fluidifiants (α = 3 et 5). Le profil de vitesse de ces derniers est
d’autant plus aplati vers le centre de la conduite (r = 0) que α est grand. On peut aussi remarquer à partir de
l’observation de cette figure, ou de l’expression théorique, que le propagateur diverge quand la vitesse tend vers
sa valeur maximale. L’une des caractéristiques du propagateur d’écoulement est que son intégrale sur toutes les
vitesses est égale à l’unité. Donc les aires sous les courbes de la figure 3.1(a) sont finies. Cependant, au niveau
numérique, ces divergences seront impossibles à obtenir. En effet, si les champs de vitesse proviennent d’une
simulation numérique, il y aura toujours de petites fluctuations de vitesse d’un point du maillage à l’autre et
donc la divergence n’apparaitra pas au niveau du traitement, une partie de l’information sera perdue. Nous nous
attacherons néanmoins à conserver une intégrale sous la courbe du propagateur égale à l’unité. On développera
ce point quand nous aborderons l’étude du lissage dans la partie 3.2.2.
(a) Propagateurs théoriques
(b) Profils de vitesse asssociés
Figure 3.1 – Propagateurs (a) et profil de vitesse (b) pour un écoulement dans une conduite cylindrique d’un
fluide en loi puissance α
Les expressions précédentes du propagateur d’écoulement ont été obtenues de façon analytique car pour les
cas simples, on a accès à la formule exacte du profil de vitesse dans une section. Dans le cadre de simulations
numériques, le maillage engendre une discrétisation du profil obtenu. Il faut donc trouver une autre méthode
pour obtenir les propagateurs dans ce cas là.
Le calcul des poids
On se limite dans ce rapport à la reconstruction d’un propagateur d’écoulement à une dimension à partir de
données discrètes. Un propagateur à une dimension est un propagateur qui ne prend en compte que les vitesses
selon une direction mais elles peuvent être réparties dans un espace à trois dimensions. Nous nous limitons aux
cas d’écoulements dans des sections de conduites cylindriques quand vz ne dépend que de la coordonnée radiale
17
r. On obtiendra ainsi des propagateurs à une dimension relatifs à une section de cylindre. Dans la partie 3.3.3,
nous évoquerons la généralisation à des propagateurs à une dimension relatifs à une conduite cylindrique de
hauteur finie quand vz dépend de r et de z (cf figure 2.2).
Méthodologie Les simulations numériques fournissent un certain échantillonnage des couples vitesse-rayon :
(Ri , Vi ) (voir figure 3.2). L’estimation numérique du propagateur revient à construire un histogramme des
Figure 3.2 – Echantillonage type des couples vitesse-rayon : (Ri , Vi ) issus des simulations numériques
vitesses (voir figure 3.3). Afin d’avoir un histogramme avec un pas assez fin et régulier, nous avons choisi de
Figure 3.3 – Histogramme des vitesses vi
le construire sur une grille régulière de vitesse vi avec un pas d’échantillonnage fixe donné. Les vitesses vi sont
ainsi déterminées indépendamment des valeurs de Vi . Puis, afin de calculer les poids relatifs à chaque vitesse
vi , nous reconstruisons les couples (ri , vi ) par interpolation linéaire à partir du profil d’échantillonnage initial
1
(Ri , Vi ). Par exemple, si vi ∈ [V1 , V2 ] on obtient alors le rayon ri par la formule : ri = R1 + Vv2i −V
−V1 (R2 − R1 ).
C’est ce qui est présenté sur la figure 3.4.
18
Figure 3.4 – Interpolation linéaire des rayons ri associés aux vitesses vi . (Ri , Vi ) sont issus des simulations
numériques
Expression générale des poids Considérons le profil discrétisé de la figure 3.5. Le poids pi du propagateur
associé à la vitesse vi est calculé de la manière suivante :

ri + ri−1

rmin =


2


ri + ri+1
rmax =
(3.5)
Z 2π Z 2rmax




2
2
 pi =
r drdθ = π rmax
− rmin
0
rmin
Il faut encore normaliser ce poids. Ici, on est dans le cas d’un écoulement dans un cylindre de rayon R donc la
r2
−r 2
section totale vaut πR2 et le poids normalisé pi vaut pi = maxR2 min . Ainsi après avoir calculé tous les poids,
leur somme sera égale à l’unité tout comme l’aire sous la courbe du propagateur.
Figure 3.5 – Trois points d’un profil de vitesse discrétisé (les traits entre les points ne sont là que pour la
lisibilité).
Implémentation des propagateurs
Impact du nombre de points initiaux Même si on ne gère pas toujours la précision de la discrétisation des
profils, on peut regarder son influence sur le propagateur obtenu. La figure 3.6 montre les propagateurs obtenus
pour deux jeux de données générés à partir du même profil de vitesse et le propagateur théorique. Les deux jeux
sont issus d’un profil ayant 21 ou 79 points d’échantillonnage soit un rapport de 4 sur le pas d’échantillonnage des
19
données numériques entre les deux. Les données vitesse/rayon ont été générées en considérant un pas constant
entre deux rayons successifs en partant du centre du cylindre et en allant jusqu’au bord. On observe, comme on
pouvait le prévoir, des marches sur la figure. Elles sont quatre fois plus grandes pour le jeu de données ayant
21 valeurs initiales que pour celui en possédant 79. Les différents propagateurs ont été calculés avec la même
distribution de vitesse. Afin de rendre les courbes plus lisibles, les différents points ont été reliés par des traits.
Pour les exemples suivants, le cas de référence est le cas avec 21 données initiales.
Figure 3.6 – Influence de la précision des données sur le propagateur pour un fluide en loi puissance (α = 3)
s’écoulant dans une conduite cylindrique
Influence de la distribution de vitesse choisie En choisissant de créer une distribution de vitesse, nous
avons introduit un pas d’échantillonnage δv = vi+1 − vi qu’il nous faut régler. Il est évident que dans ce cas, le
résultat est d’autant meilleur que δv est fin. Cependant, le temps de calcul s’en trouve augmenté. Il faut donc
adopter un compromis : être suffisamment fin pour que les marches ne perturbent pas la lisibilité du propagateur
tout en gardant un temps de calcul acceptable. La figure 3.7 illustre ce propos. En particulier, on peut noter
que l’influence du pas de la distribution de vitesse influe d’autant plus sur la précision si le propagateur a un
profil non constant. Le cas avec un pas d’échantillonnage δv plus fin que 10−3 vmax a été traité mais le temps
de calcul est beaucoup plus long et le profil du propagateur n’en est pas beaucoup amélioré. Nous avons donc
gardé un pas δv de 10−3 vmax pour la suite des exemples.
L’ajout d’une interpolation parabolique Afin d’améliorer le lissage des propagateurs obtenus, nous avons
effectué une interpolation parabolique des profils de vitesse puis nous avons appliqué la procédure développée
précédemment sur ce nouveau profil. Cette opération n’a pas donné de résultats concluants : les propagateurs
obtenus par cette méthode n’étaient pas plus exploitables que ceux obtenus par la seule intepolation linéaire des
vitesses. Par ailleurs, il n’y a aucune justification physique pour privilégier une interpolation parabolique vis à
vis d’une interpolation linéaire. Cette idée pourrait néanmoins être développée dans le futur.
3.2.2
Le lissage des propagateurs
Les courbes obtenues précédemment sont encore très dépendantes de la discrétisation initiale comme on peut
le voir sur la figure 3.7. Cela n’est pas acceptable car on ne peut pas exiger une discrétisation optimale à chaque
simulation. Donc il faut effectuer une autre opération au niveau du code : le lissage.
Dans ce projet, le lissage a été réalisé par la convolution du propagateur obtenu précédemment par une
gaussienne. Certes cette opération entraı̂ne une certaine perte de données via un étalement des poids mais elle
permet, sans modification majeure de la densité, une meilleure lecture et une meilleure exploitation des courbes.
20
(a)
(b)
Figure 3.7 – Influence du pas d’échantillonnage des vitesses sur le propagateur pour un fluide en loi puissance
(α = 3) s’écoulant dans une conduite cylindrique. P as = δv/vmax
Il faut lisser sufffisament pour s’affranchir de la discrétisation tout en limitant le lissage au maximum pour ne
pas dénaturer la courbe du propagateur d’écoulement. L’opération de convolution ne modifie pas l’aire sous la
courbe. Elle se présente de la manière suivante. La première étape consiste à convoluer chaque poids par une
gaussienne de largeur σ afin de répartir ce poids selon la gaussienne sur toutes les vitesses. Concrètement, cette
opération revient à distribuer chaque poids p(i) sur toutes les vitesses voisines selon une gaussienne centrée en
v(i) (voir figure 3.8). Le coefficient β(i, j) correspond à la part du poids p(i) qui est répartie sur la vitesse v(j) :
!
2
(v(j)/vmax − v(i)/vmax )
(3.6)
∀(i, j) β(i, j) = exp −
2σ 2
Comme il faut conserver chaque poids relatif, on introduit le coefficient β ∗ (i, j) qui est défini par :
X
∀i β ∗ (i, j) = β(i, j)/
β(i, j)
j
21
(3.7)
Figure 3.8 – Représentation de la gaussienne centrée sur la vitesse v(i) et relative au lissage du poids p(i)
et qui vérifie bien :
∀i
X
β ∗ (i, j) = 1
(3.8)
j
On définit ensuite le poids lissé p∗ (j) associé à la vitesse v(j) par :
X
∀j p∗ (j) =
β ∗ (i, j)p(i)
(3.9)
i
Le lissage introduit le paramètre σ qui définit la largeur de la gaussienne. Afin de lisser le propagateur, il faut
que ce paramètre soit plus grand que le pas de la distribution de vitesse choisi sinon on obtient la même courbe
que sans le lissage (cas σ = 10−4 sur la figure 3.9). Il faut aussi que σ soit assez petit pour ne pas trop lisser
la courbe (cas σ = 1 sur la figure 3.9). Même si cette dernière valeur de σ ne convient pas pour obtenir un
propagateur lissé, c’est un moyen simple de vérifier si l’aire sous la courbe est égale à l’unité.
Figure 3.9 – Influence du paramètre sigma sur le lissage pour un fluide en loi puissance (α = 3) s’écoulant
dans une conduite cylindrique
Afin de calibrer la convolution, nous avons choisi un écoulement où l’on connaı̂t l’expression théorique du
propagateur. On a commencé avec un écoulement de type Poiseuille mais, même si cet écoulement est pratique
pour les vérifications de base, son côté régulier ne permet pas de déceler tous les défauts d’un code. C’est
pourquoi on a utilisé l’écoulement d’un fluide en loi puissance, présenté dans la partie 3.2.1, où l’on retrouve une
divergence du propagateur quand la vitesse tend vers sa valeur maximale. On a calé le lissage en comparant la
22
courbe théorique lissée et la courbe de densité issue des données de l’écoulement correspondant, elle-même lissée.
La figure 3.10 montre le cas où les deux courbes sont assez proches. Certes le pic est atténué mais l’erreur entre
les deux courbes est seulement de l’ordre de quelques pourcents. Après vérification du code sur des écoulements
plus complexes (écoulements dans un pore), on est en mesure d’obtenir un propagateur d’écoulement pour
n’importe quel écoulement dans une section circulaire du moment que l’on a un profil de vitesse.
Figure 3.10 – Comparaison entre les courbes théoriques et numériques lissées (σ = 10−2 )pour un fluide en loi
puissance (α = 3) s’écoulant dans une conduite cylindrique
Remarque : Afin de pouvoir appliquer le même lissage aux différentes données, c’est à dire le même σ, nous
effectuons l’opération de convolution sur des densités normalisées de la façon suivante : p(v/vmax ) = f (v/vmax ).
Ainsi toutes les données sont ramenées à la même échelle et le lissage est le même pour toutes. On peut bien
sûr changer de normalisation une fois l’opération de lissage effectuée.
3.2.3
Etude préliminaire de l’écoulement à travers un pore
Cette partie a pour but de regarder la forme des propagateurs dans des écoulements à travers des géométries
plus complexes que des cylindres simples : ces géométries restant constituées d’un assemblage de cylindres en
série. Le cas présenté ici utilise les données de simulations numériques [19] réalisés par B. Rabideau au laboratoire
Navier sur l’écoulement d’un fluide à seuil dans un ”pore modèle”. La géométrie du milieu poreux (de symétrie
de révolution) ainsi que les profils d’écoulement sont présentés sur la figure 3.11. J’ai choisi de regarder les
propagateurs dans deux sections différentes : la section 11 qui se trouve au milieu d’une portion de cylindre et
la section 23 qui se trouve dans le cylindre le plus large au niveau d’une expansion. La première section permet
de vérifier que le code marche mais aussi de la comparer à la seconde où, a priori, une partie du fluide est au
repos juste après l’expansion. Afin d’augmenter le nombre de phénomènes observables, l’écoulement a été étudié
à deux débits différents : le nombre de Bingham (Bi) vaut 104 dans un cas et 10−3 dans l’autre. La figure 3.12
montre l’impact du lissage sur la lisibilité d’un propagateur plus complexe que ceux présentés précédemment.
Etude de la section 11 (voir figure 3.13 Deux comportements très différents apparaissent dans la section
11 suivant le nombre de Bingham. Ce résultat n’est pas surprenant car comme cette section est située loin d’un
changement de section, le fluide se comporte comme un fluide à seuil dans une conduite cylindrique infinie. On
retrouve ainsi à forte vitesse (Bi = 10−3 ) le même propagateur que pour un écoulement de type Poiseuille et à
plus faible vitesse un profil plus similaire à celui d’un fluide en loi puissance avec un pic vers la vitesse maximale.
Etude de la section 23 (voir figure 3.14) Dans cette section, l’impact du fluide à seuil est surtout visible
au niveau de la vitesse nulle. En effet, on voit l’importance qu’a le pic vers les faibles vitesses sur la courbe
du propagateur par rapport aux autres vitesses. Cela peut renseigner sur la quantité de fluide immobilisé dans
cette section. On remarque néanmoins que pour de faibles vitesses d’écoulement, sur la courbe Bi = 104 , il y a
23
(a) Bi = 104 : vitesse faible
(b) Bi = 10−3 : vitesse élevée
(c) Sections étudiées
Figure 3.11 – Ecoulement dans un ”pore modèle” à section cylindrique. Les deux figures de gauche représentent
le champs de vitesse longitudinale
Figure 3.12 – Impact du lissage sur la probabilté de vitesse dans la section 23 du ”pore modèle” pour Bi = 104
aussi un pic vers la vitesse maximale. Cette courbe montre deux aspects du comportement des fluides à seuil.
Si le cisaillement est trop faible il n’y a pas d’écoulement : le pic vers v/vmax = 0 est à identifier comme la
présence de zones mortes assez importantes. S’il y a écoulement à faile débit, il y a un phénomène de bouchon
qui s’installe d’où le pic vers la vitesse maximale pour un nombre de Bingham de 104 .
3.3
Exploitation et travaux futurs
Dans ce chapitre, le principal travail a été l’obtention du propagateur d’écoulement à partir de la donnée du
champs de vitesse de l’écoulement à travers une section cylindrique. Comme cette étude avait pour but de me
familiariser avec cet outil, je me suis focalisé sur l’obtention de la courbe p(v/vmax ) en fonction de v/vmax . Or
d’autres représentations peuvent aussi avoir leur utilité suivant ce que l’on veut étudier.
24
(a) Propagateur d’écoulement lissé
(b) Profil de vitesse
Figure 3.13 – Propagateur et profil de vitesse dans le ”pore modèle” au niveau de la section 11
(a) Propagateur d’écoulement
(b) Profil de vitesse
Figure 3.14 – Propagateur et profil de vitesse dans le ”pore modèle” au niveau de la section 23
3.3.1
Différentes représentations du propagateur d’écoulement
Dans la section précédente, le propagateur d’écoulement a été normalisé en fonction de v/vmax : on a ainsi
pu vérifier, à chaque instant, le résultat du code vis-à-vis du cas qui nous sert de référence, le cas newtonien
par exemple. Cette représentation, outre son aspect pratique pour l’élaboration du code, permet de comparer
différents écoulements d’un point de vue qualitatif sans se préoccuper de leur débit respectif. Cela permet aussi
de voir les proportions de fluide au repos ou proche de leur vitesse maximale. Cette approche permet donc de
caractériser un écoulement : de type Poiseuille, ”bouchon”, intermédiaire, ... Mais avec cette représentation on
perd la notion de débit et, donc, on ne peut pas comparer des écoulements différents sous tous les aspects.
Afin de prendre en compte plus de caractéristiques de l’écoulement, on peut obtenir une représentation en
fonction de v/vmoy qui conserve la notion de débit à travers la vitesse moyenne. Cette méthode peut être plus
délicate pour comparer, sur un même graphique, des écoulements qui ont des rapports vmax /vmoy très différents.
Mais, à débit égal, elle est plus physique.
Suivant le type de représentation, logarithmique ou linéaire, en fonction de v/vmax ou de v/vmoy , on peut
25
plus ou moins capter les spécificités de l’écoulement et cela varie en fonction de ses particularités (débit, fluide,
milieu poreux,...).
3.3.2
Distribution de probabilité de vitesse
Nous abordons ici un autre aspect des propagateurs. Si on intègre les propagateurs, on obtient les distributions de probabilité de vitesse (le terme est utilisé ici sans abus de language). Cette quantité n’est pas ou peu
utilisée habituellement en RMN car, au niveau pratique, on obtient facilement le propagateur. Et, comme il y
a une certaine imprecision sur l’aire sous la courbe de ce dernier, on ne l’intègre pas car on obtiendrait alors
une quantité dont on sait d’avance qu’elle contient une erreur. Certaines études en cours essayent d’améliorer
ce point. Dans cette partie, nous allons montrer l’apport des distributions de vitesse tant au niveau du calcul
que de l’identification des comportements rhéologiques.
Définition d’une distribution de probabilité de vitesse
La distribution de vitesse (d) est reliée au propagateur d’écoulement (p : voir équation 3.1) par l’intégration
de ce dernier :

Z vz =v


d(v)
=
p(vz )dvz

vz =−∞
(3.10)
ou



d(v) = proba(vz < v)
En pratique cela revient à faire un histogramme d’occurence des valeurs de vz .
Propagateurs de vitesse et rhéologie
Le traitement numérique que nous effectuons est plus favorable aux distributions de probabilité de vitesse
que l’expérience. En effet, l’expérimentateur ayant une incertitude sur l’aire sous la courbe du propagateur
qu’il obtient, il ne peut pas obtenir les distributions de probabilité de vitesse proprement mais avec la méthode
développée ici elles se calculent simplement. En particulier, le calcul des poids est réalisé de telle manière que
leur somme soit toujours égale à l’unité donc on est sûr que l’aire sous la courbe du propagateur vaut toujours
l’unité.
Pour le cas d’un écoulement de Poiseuille, la distribution de probabilité de vitesse est représentée sur la
figure 3.15. La différence de représentation apparaı̂t immédiatement au lecteur : l’étalon n’est plus le créneau
du Poiseuille comme pour les propagateurs mais un segment de droite de pente 1. L’un des intérêts d’une telle
représentation apparaı̂t au niveau des fluides à seuil ou des fluides en loi puissance : comme on peut le voir sur
la figure 3.15. Quand un propagateur d’écoulement diverge vers l’infini, une opération de lissage est nécessaire.
Par contre, comme la distribution de probabilité de vitesse est bornée entre 0 et 1, il n’y a pas de divergence
possible et donc le traitement des données peut être réalisé sans lissage, c’est ce qui a été fait pour les exemples
présentés dans cette partie. Au niveau d’un pore (voir figure 3.16), l’impact d’une zone morte est aussi très
(a) Distribution de probabilité de vitesse
(b) Propagateur d’écoulement lissé
Figure 3.15 – Ecoulement d’un fluide en loi puissance dans une conduite cylindrique. Vmax est la vitesse
maximale de l’écoulement considéré.
26
visible sur la distribution de probabilité de vitesse car la courbe monte fortement vers les vitesses nulles avant
d’infléchir sa pente.
(a) Distribution de probabilité de vitesse
(b) Propagateur d’écoulement lissé
Figure 3.16 – Ecoulement d’un fluide à seuil dans un ”pore modèle” (section 23). Vmax est la vitesse maximale
de l’écoulement considéré.
L’étude des distributions de vitesse apporte donc un autre point de vue pour la compréhension des écoulements.
Elle peut s’avérer plus riche que celle des propagateurs du fait de la facilité de traitement et de l’absence de
lissage.
3.3.3
Le passage à deux dimensions : perspectives
Le passage à deux dimensions d’espace pour les profils de vitesse doit permettre l’obtention des propagateurs
d’écoulement à une dimension non plus dans une section mais dans un volume de cylindre. Du fait de la symétrie
de révolution, on se trouve bien en 2D. On reste à un propagateur à une dimension car c’est cette information
qui est la plus intéressante d’un point de vue rhéologie : la composante de la vitesse selon la direction principale
d’écoulement est la plus importante. Les deux autres directions apportent aussi des informations intéressantes,
sur les vitesses radiales par exemple, mais elles sont secondaires.
En ce qui concerne l’algorithme de reconstruction, l’interpolation linéaire est la solution qui nous semble la
plus simple pour ce passage à deux dimensions. L’interpolation parabolique quant à elle, en plus de devenir très
compliquée pour le cas à deux dimensions, n’a pas pas plus de justification physique que l’interpolation linéaire.
Soit un écoulement selon la direction ~z, dans un système de coordonnées cylindriques. Il faut considérer une
fonction vz = f (r, z) et l’interpoler non plus que sur la dimension r mais aussi sur la dimension z.
Le passage à un propagateur d’écoulement à une dimension issu d’un champ de vitesse à deux dimensions
a pour principal intérêt le réalisme. En effet, c’est le propagateur le plus rapide à obtenir au niveau pratique
en RMN : cela prend quelques minutes. On peut l’avoir aussi bien sur une section (en fait un volume de
petite épaisseur) que sur l’ensemble du volume. Reconstruire un tel propagateur à partir de champs de vitesse
numériques permettra donc de comparer les résultats numériques et ceux issus des expériences de RMN.
27
Conclusion
Ce rapport de stage a présenté deux axes de travail sur l’écoulement des fluides à seuil en milieux poreux
saturés. D’une part, nous avons proposé une loi d’injection macroscopique asymptotique et d’autre part, nous
avons présenté un outil d’analyse microscopique : les propagateurs d’écoulement. La loi d’injection asymptotique
a été évaluée sur deux géométries : une conduite simple et une distribution de conduites cylindriques. Dans
ces deux situations, une erreur relative inférieure à 10% avec la solution exacte a été chiffrée sur la majorité
de la plage de vitesse. Cette erreur est acceptable pour un certain nombre d’applications d’autant plus que
les incertitudes de mesure sont de cet ordre de grandeur pour la détermination de plusieurs paramètres du
fluide à seuil. Par ailleurs, une méthode a été proposée afin de trouver, à l’aide d’expériences simples, les
valeurs des coefficients de la loi asymptotique. Par la suite, il faudra chercher le lien entre ces coefficients et la
physique microscopique de l’écoulement : le milieu poreux et le fluide. Une piste pour réaliser cela est l’étude
des propagateurs d’écoulement et des distributions de probabilité de vitesse. Ces outils, issus du domaine de la
Résonance Magnétique Nucléaire, fournissent un traitement statistique des champs de vitesse : ils moyennent
les données locales de vitesse sur un certain volume de fluide en écoulement. Seul l’aspect pratique d’obtention
des propagateurs à partir des champs de vitesse à une dimension a été développé dans ce rapport ainsi que
les premières analyses des profils obtenus. Les travaux futurs pourront mettre en parallèle les lois d’injection
macroscopiques numériques ou expérimentales (banc d’essai à créer), les modèles comme la loi asymptotique et
les outils servant à les exploiter (propagateur,...) pour espérer améliorer notre compréhension de la physique de
l’injection en milieu poreux.
28
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29