Corrigé Exercice I

Cours MF101
Contrˆole de connaissances: Corrig´e
Exercice I
1. Pour qu’il y ait similitude exp´erimentale entre la maquette et le prototype, tous les
param`etres sans dimension doivent ˆetre identiques. On a donc, dans le cas du mˆeme
fluide, en indi¸cant par mla maquette et ple prototype ´egalit´e des nombres de Reynolds:
VpLp
νair
=VmLm
νair
(1)
Soit,
Vm=Lp
Lm
Vm= 30 Vm= 180m/s (2)
ce qui correspond `a une vitesse beaucoup trop grande.
2. La maquette doit donc ˆetre test´ee dans un autre fluide. L’eau, pr´esentant une viscosit´e
cin´ematique plus faible que celle de l’air d’un facteur 10, est un bon candidat. On a
en ´egalant les nombres de Reynolds:
Vm=Lp
Lm
νeau
νair
Vp= 30 0,1
1,49 Vp= 12m/s (3)
3. Nous allons d´eterminer par analyse dimensionnelle la relation entre le frottement F
et les autres param`etres.
G(F, L, V, ρ, ν) = 0 (4)
avec Lla longueur caract´eristique du dirigeable, Vsa vitesse, ρla masse volumique du
fluide et νsa viscosit´e. La relation (4) est dimensionnellement homog`ene, c’est `a dire
qu’elle est invariante quel que soit le syst`eme d’unit´es fondamentales choisies. Soient
donc T,Det Mles unit´es fondamentales de temps de longueur et de masse. On les
choisit comme indiqu´e ci-dessous:
T=L
V
D=L
M=ρL3
(5)
Dans ce nouveau syst`eme on a :
[F] = ρL2V2
[ν] = V L (6)
1

o`u la notation [A] d´esigne la dimension de la quantit´e Adans le syst`eme d’unit´es (5).
La relation (4) ´etant invariante dans le syst`eme (5), on peut ´ecrire:
GF
ρL2V2,L L,ρ ρ,ν V L= 0 (7)
On en d´eduit que:
F=ρL2V2fν
V L(8)
Il y a similitude exp´erimentale entre la maquette et le prototype si tous les param`etres
sans dimension sont identiques. On a donc la relation suivante:
Fp
ρairL2
pV2 p
=Fm
ρeauL2
mV2 m
(9)
On en d´eduit la force de frottement sur le prototype:
Fp=Fm
L2
p
L2
m
V2
p
V2
m
ρair
ρeau
(10)
Fp= 732N (11)
4. On peut ainsi d´eterminer la puissance n´ecessaire pour motoriser le dirigeable. Cette
puissance doit permettre de compenser les frottements:
P=FpVp= 4,4KW (12)
Exercice II
1. On explicite le potentiel complexe engendr´e par la superposition des deux tourbillons:
f(z) = −iΓ
2π{log(z−ia)−log(z+ia)}(13)
Le cercle de centre I(0,2a
√3) et de rayon a √3est caract´eris´e par l’affixe zccomplexe:
zc=i2a
√3+a √3eiθ avec θ∈[0,2π[ (14)
On explicite le potentiel complexe ci-dessous pour l’affixe zc
f(zc) = −iΓ
2πlog zc−ia zc+ia(15)
La partie imaginaire, ψc, de f(zc) doit donc ˆetre constante sur le cercle si celui-ci est
une ligne de courant:
ψc=−Γ
2πlog 
zc−ia
zc+ia(16)
avec |.|d´esignant le module du nombre complexe. Compte tenu de (15), on a :
ψc=−Γ
2πlog s(4a−2a√3)(2a+asinθ)
(4a+ 2a√3)(2a+asinθ)!(17)
2

Ainsi sur le cercle on a :
ψc=−Γ
2πlog 
s4a−2a√3
4a+ 2a√3
=Cte (18)
La fonction de courant est donc constante sur le cercle qui est donc une ligne de courant.
On proc`ede de mˆeme pour l’axe Ox en calculant le potentiel complexe (14) pour z=x:
f(x) = −iΓ
2πlog x−ia x+ia(19)
Or x−ia et x+ia sont complexes conjugu´es. On a donc pour ψx, partie imaginaire
de (20):
ψx=−Γ
2πlog(
x−ia
x+ia
) = 0 (20)
La fonction de courant est donc constante sur l’axe Ox qui est donc une ligne de
courant.
2. Le potentiel complexe (14) correspond `a l’´ecoulement autour d’un disque de centre I
(0,2a
√3) et de rayon a √3en pr´esence d’un sol plac´e en Ox.
3. L’´ecoulement est un ´ecoulement de fluide parfait plan, irrotationnel les forces ext´erieures
sont suppos´ees nulles et la masse volumique est constante, on peut donc appliquer le
deuxi`eme th´eor`eme de Bernoulli entre un point `a l’infini amont et un point Msur l’axe.
De plus l’´ecoulement ´etant stationnaire, la conservation de la charge hydraulique s’´ecrit:
p∞
ρ+V2
∞
2=pM ρ+V2
M
2(21)
Pour calculer la vitesse de l’´ecoulement on calcule la vitesse complexe en d´erivant (14)
par rapport `a z:
df
dz =−iΓ 2π(z−ia)+iΓ 2π(z+ia)=u−iv (22)
soit sur l’axe Ox en z=x:
df
dz =Γa π(x2+a2)=u−iv (23)
La vitesse est uniquement selon uet tend vers 0 `a l’infini amont, on a donc en injectant
l’expression de la vitesse dans (22):
p=p∞−ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2(24)
4. La force s’exer¸cant sur le cercle de centre I(0,2a
√3) et de rayon a √3est due aux forces
de pression. On peut la repr´esenter par la formule de Blasius. Le cercle ´etant ligne de
courant celle-ci s’exprime sous la forme:
F=Fx−iFy=iρ
2ZCdf dz 2
dz (25)
3

avec df
dz donn´e en (23). La seule singularit´e de df dz `a l’int´erieur du cercle de centre I
(0,2a
√3) et de rayon a √3´etant z=ia, on a en utilisant le th´eor`eme des r´esidus:
F=iρ
2ZCdf dz 2
dz =iρ
22iπ Res(z=ia) (26)
Or:
Res(z=ia) = Γ2
4iπ2a(27)
Ainsi:
F=Fx−iFy=iρΓ2
4πa (28)
ainsi la train´ee Fxest nulle et la portance vaut:
Fy=−ρΓ2
4πa (29)
le cercle est attir´e vers l’axe Ox.
5. Les efforts que le fluide exerce sur l’axe r´eel peuvent s’exprimer compte tenu de (25):
Z∞
−∞ p∞−ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2~
jdx
En appelant ~ jle vecteur unitaire port´e par la verticale et dirig´e vers le haut. En
n´egligeant les termes d´ependant de p∞, on obtient:
Z∞
−∞ −ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2dx =ρΓ2a2 2π2x 2a2(a2+x2)2+1 2a3Arctgx a∞
−∞
Soit apr`es calcul:
Z∞
−∞ −ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2dx =ρΓ2 4πa
6. La force est donc directement oppos´ee `a la force s’exer¸cant sur le cercle r´eel
4

Exercice III
1. L’´ecoulement ´etant stationnaire, la conservation de la masse sur une surface ferm´ee Σ
d´elimit´ee par la paroi lat´erale Σlet ΣO, ΣA, et ΣB(cf sch´ema) s’´ecrit:
ΣO
ΣB
ΣA
~nA
~nO
~nB
ZΣ
ρ~u~nds = 0 (30)
le fluide est incompressible homog`ene de masse volumique ρ, on peut donc simplifier par
ρ, le fluide est parfait donc sur les parois on a ~u~n = 0. Ainsi les seules contributions
non nulles de l’int´egrale proviennent des surfaces ΣO, ΣA, et ΣBde mˆeme section Set
de normales sortantes respectives, ~nO,~nA, et ~nB. On a donc la premi`ere relation:
VO=VA+VB(31)
Le fluide est parfait et barotrope (ρconstant), et les forces ext´erieures ´etant les forces
de gravit´e d´erivant d’un potentiel ~g, on peut appliquer le th´eor`eme de Lagrange. La
vitesse ´etant uniforme sur la section ΣO, son rotationnel y est nul donc il le reste dans
tout l’´ecoulement. On peut donc appliquer le deuxi`eme th´eor`eme de Bernoulli entre
le point Oet Ad’une part, Oet Bd’autre part. La pression en Osera not´ee pO, la
pression en Aet Best identique et vaut pa.
pO+ρV 2
0/2 = pa+ρV 2 A/2 + ρga (32)
pO+ρV 2
0/2 = pa+ρV 2 B/2−ρgb (33)
soit
V2
A/2 + ga =V2 B/2−gb (34)
De (31) et (34) on tire:
VA=VO/2−g
VO
(a+b) = 2 m/s (35)
VB=VO/2 + g
VO
(a+b) = 8 m/s (36)
On en d´eduit alors la pression pO, en utilisant (32):
p0= 0,62 105Pa (37)
5