Mathématiques - Alexis Bonnecaze

Mathématiques
A. Bonnecaze
Institut de Mathématiques de Luminy (IML)
Polytech Marseille, 1er Semestre 2013
A. Bonnecaze (IML) Mathématiques, Algèbre et Applications 2013 1 / 39

Polynômes
Polynômes
Soit Aun anneau, un polynôme fest une expression de la forme
f(x) =
n
X
i=0
aixi=a0+a1x+· · · +anxn,
nest un entier positif, les coefficients ai,0≤i≤nsont des éléments de Aet
xune indeterminée.
Définition
Soit f=Pn
i=0aixiun polynôme tel que an6=0. Alors fest de degré n(on note
deg(f) = n), a0est le terme constant et anle coefficient de plus haut degré
(leading coefficient en anglais).
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
On peut définir la somme et le produit de deux polynômes f=Pn
i=0aixiet
g=Pm
i=0bixi(m≤n):
f(x) + g(x) =
n
X
i=0
(ai+bi)xi,
et
f(x)g(x) =
n+m
X
k=0
ckxk,où ck=X
i+j=k
aibj,
où 0 ≤i≤net 0 ≤j≤m.
L’ensemble des polynômes sur Amuni de ces deux opérations admet une
structure d’anneau noté A[x].
Pour tout f,g∈F[x](Fétant un corps)
deg(f+g)≤max{deg(f),deg(g)},et deg(fg) = deg(f) + deg(g).
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Le polynôme gdivise le polynôme fsi il existe un polynôme htel que
f=gh
Pour éviter tout problème, on ne considère ici que des polynômes à
coefficients dans un corps.
Exemple :
Dans F2[x], considérons les deux polynômes
f=x7+x6+x3+x2+x+1 et
g=x4+x3+x2+1.
Le polynôme gdivise fcar f=g(x3+x+1)
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Polynômes
PGCD de polynômes
Théorème
Soit gun polynôme non nul dans F[x]. Alors pour tout f∈F[x]il existe deux
polynômes qet rde F[x]tels que
f=qg +r,où deg(r)<deg(q).
Si d(unitaire) divise fet get si tout polynôme divisant fet gdivise aussi d,
alors dest le plus grand diviseur commun de fet g. On note
d=pgcd(f,g)
Si pgcd(f,g) = 1, on dit que fet gsont premiers entre eux.
Exercice : Dans F2[x]
f=x2+x+1 et g=x5−1 sont-ils premiers entre eux ?
Un polynôme unitaire a son coefficient de plus haut degré égal à 1
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