Un peu de tout 4

Terminale S / Exponentielles
1. Relations différentielles :
Exercice 3340
Soit fune fonction définie sur Rvérifiant la relation :
f′(x) = xpour tout x∈R
1. Donner au moins deux fonctions qui vérifie cette relation.
2. On propose le champs de tangentes représenté ci-
dessous :
-4 -3 -2 -1 2 3 4
I
2
3
4
5
J
O
a. Vérifier que chaque tangente représentée sur la droite
d’équation x=2 a pour coefficient directeur 2.
b. Vérifier que pour chaque tangente ayant pour origine
le point de coordonnée (x;y), son coefficient directeur
est x.
3. On considère maintenant la fonction fqui vérifie les deux
conditions suivantes :
f(0) = 3
2;f′(x) = xpour tout x∈R
Tracer la courbe Cfreprésentative de la fonction f.
Exercice 3580
On considère deux fonctions get hdont les représentations
graphiques sont données ci-dessous :
-4 -2 02 4
2
4
6
~
i
~
j
Cg
-6 -4 -2 02
2
4
6
~
i
~
j
Ch
Justifier que, dans les deux cas, ces courbes ne vérifient pas
les conditions d’une fonction ftelle que :
f(0) = 1 ;f′(x) = f(x)pour tout x∈R
Exercice 3342
Le nombre d’atomes d’une source radioactive a tendance à
diminuer dans le temps. On note N(t)le nombre de noyau
à l’instant t. En observant ce phénomène sur variation de
temps, ∆t, on se rend compte que le nombre d’atomes a
connu une variation de ∆N(t)et on a réussi à établir la
formule suivante :
∆N(t)
N(t)=−λ·∆t
où λest une constante dépendant uniquement de la nature
des noyaux observées.
1. a. La durée de demi-vie du Radon-220 est de 56 s. Dé-
terminer une valeur approchée de la constante λdans
le cas du Radon-220.
b. On part d’un échantillon contenant 238 gcontenant
environ 6,02×1023 noyau d’uranium.
Déterminer le temps à attendre pour que la quantité
observée pèse :
119 g;59 g
2. a. Etablir l’égalité suivante :
∆N(t)
∆t=−λ·N(t)
b. En supposant que la fonction N, dépendant du temps
t, est dérivable, établir la formule suivante :
N′(t) = −λ·N(t)
2. Propriétés algébriques :
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net

Exercice 3589
Simplifier les expressions suivantes :
a. exp(3) ·exp(5) b. exp(−2) ·exp(4)
c. 1
exp(−5) d. exp(5)3
Exercice 3590
Simplifier les expressions suivantes :
a. e3·e4b. e4·e−4
c. e43·e4d. e5·e−3
e−2
e. e5−e42−e5+e42f. e6−e3
e·e2
Exercice 3608
Simplifier les expressions suivantes :
a. e5·e6b. e6·e−2
e−4
c. e3−2·e5d. e2+e−2·e2−e−2
3. Equations et inéquations :
Exercice 3593
Résoudre les équations suivantes sur R:
a. exp(x) = eb. exp(−x) = 1
c. exp(2x−1) = ed. ex2+x= 1
e. ex−e−x= 0 f. ex2+5 =ex+22
Exercice 3616
Résoudre les équations suivantes :
a. ex+e−x= 0 b. e3x+1 =e−2x+3
c. e2x−1 = 0 d. x·e2x−2·e2x= 0
Exercice 3594
Résoudre les inéquations suivantes sur R:
a. exp(x)< e b. exp(−x)⩾1
c. e2x−1> exd. ex+e−x<2
(Pour la dernière inéquation, pensez à une factorisation)
4. Equations et inéquations avec changement de variables :
Exercice 5845
Résoudre les inéquations suivantes :
a. ex+ 3
ex−1>0b. −e2x−ex+ 2 >0
Exercice 5846
a. e2x+ 2·ex−3 = 0 b. e2x+ex−2<0
5. Limites aux bornes de la fonction exponentielle :
Exercice 3614
Déterminer les valeurs des limites suivantes :
a. lim
x7→+∞
e−x+1 b. lim
x7→−∞
e2x+1 c. lim
x7→+∞
e−x2+1
d. lim
x7→+∞
e
1
xe. lim
x7→0−
e
1
xf. lim
x7→0−
e−1
x
Exercice 5847
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs
en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente
cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
temps t(en jours)
020 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
hauteur (en m`etres)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
On décide de modéliser cette croissante par une fonction lo-
gistique du type :
h(t) = a
1 + b·e−0,04·t
où aet bsont des constantes réelles positives, test la variable
temps exprimée en jours et h(t)désigne la hauteur du plant,
exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t=0, le plant mesure 0,1met
que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2m.
Déterminer les constantes aet bafin que la fonction hcorres-
ponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net

6. Limites par comparaison de croissance :
Exercice 3661
Déterminer la valeur des limites suivantes :
a. lim
x7→+∞
ex2 ·e−xb. lim
x7→−∞
ex·x2−x+ 1
c. lim
x7→+∞
ex+ 1
e−x−1d. lim
x7→−∞
e−3x
x2+ 1
e. lim
x7→−∞
e−x+ 3x+ 1 f. lim
x7→−∞
e−2x−e−x
Exercice 3710
Le but de cet exercice est de déterminer les deux limites sui-
vantes :
lim
x7→1−
2
(x−1)2·e
x+1
x−1;lim
x7→1+
2
(x−1)2·e
x+1
x−1
1. Soit X=2
x−1. Prouver l’égalité :
2
(x−1)2·e
x+1
x−1=e
2·X2·eX
2. En déduire la valeur des limites recherchées.
7. Limites par identification aux nombres dérivées :
Exercice 3662
Déterminer la valeur des limites suivantes :
a. lim
x7→0
e2x−1
xb. lim
x7→0
e2x−ex
x
c. lim
x7→+∞
x·e
1
x−1d. lim
x7→+∞
x·e
3
x−1
e. lim
x7→−∞
x3·e
1
x−1
8. Dérivées :
Exercice 3592
Déterminer l’expression des fonctions dérivées suivantes :
a. f(x) = e−xb. g(x) = x·ex
c. h(x) = ex2+xd. j(x) = 1
1−ex
Exercice 3612
Déterminer l’expression des fonctions dérivées de chacune des
fonctions suivantes :
a. f(x) = x·ex+1 b. g(x) = ex2+1
c. h(x) = x2+ 1·e3x+1 d. j(x) = ex+1
2·x+ 1
e. k(x) = 1−e−2x
exf. ℓ(x) = 1−e−2x 1 + e2x
9. Etudes de fonctions :
Exercice 3618
On considère la fonction fdéfinie par la relation :
f(x) = 1
ex−1
On appelle Cfla courbe représentative de la fonction f.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f.
2. Etablir le tableau de variation de la fonction f.
3. Préciser les différentes asymptotes de la courbe Cf.
4. Tracer la courbe Cf.
-3 -2 -1 01 2 3
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
~
i
~
j
Exercice 3665
On considère la fonction fdéfinie pour tout nombre réel x
par :
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net

f(x) = 4·ex
ex+ 7
On note Cla courbe représentative de la fonction f.
1. Vérifier que pour tout réel x:f(x) = 4
1+7e−x
2. a. Démontrer que la courbe Cadmet deux asymptôtes
dont on précisera les équations.
b. Démontrer que la fonction fest strictement croissante
sur R.
c. Démontrer que pour tout réel x,0<f(x)<4.
Exercice 5851
Soit fla fonction définie pour tout réel xde l’intervalle 0 ; 1
par :
f(x) = 2x−2e−x+1
e
1. a. Dresser le tableau de variation de la fonction fsur
l’intervalle 0 ; 1. On précisera les valeurs exactes de
f(0) et f(1).
b. Démontrer que la fonction fs’annule une fois et une
seule sur l’intervalle 0;1en un réel α. Donner la
valeur de αarrondie au centième.
2. Résoudre l’équation suivante dans l’intervalle 0 ; 1:
x−e−x+ 1 = e−x−x−e−1+ 1
Exercice 3677
Soit fla fonction définie sur Rpar : f(x) = 9
2·e−2x−3·e−3x
On nomme Cfla courbe représentative de fdans un repère
orthonormal O;−→ i;−→ jd’unité 1cm.
1. Montrer que pour tout xde R,ona:
f(x) = 3·e−2x·3
2−e−x.
2. Déterminer la limite de fen +∞puis la limite de fen
−∞.
3. Etudier les variations de la fonction fet dresser le ta-
bleau de variations de f.
4. a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection
de la courbe Cfavec l’axe des ordonnées.
b. Justifier que la courbe Cfintercepte l’axe des abscisses
en un seul point.
Donner la valeur approchée des coordonnées de ce
point d’intersection.
5. Calculer f(1) et tracer l’allure de la courbe Cfdans le
repère ci-dessous :
-1 2 3
I
-1
2
J
O
Exercice 3643
On note fla fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞par :
f(x) = 1
x2·e
1
x
On note Cla courbe représentative de la fonction fdans un
repère orthonormal O;−→ i;−→ j. L’unité graphique est 1cm.
1. Etude des limites
a. Déterminer la limite de la fonction fquand xtend
vers 0.
b. Déterminer la limite de la fonction fquand xtend
vers +∞.
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux ré-
sultats, pour la courbe C?
2. Etude des variations de la fonction f.
a. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f
s’exprime, pour tout réel xstrictement positif, par :
f′(x) = −1
x4·e
1
x·(2x+ 1)
b. Déterminer le signe de f′et en déduire le tableau de
variation de fsur l’intervalle 0 ; +∞.
c. Démontrer que l’équation f(x) = 2 a une unique so-
lution notée αappartenant à l’intervalle 0 ; +∞et
donner la valeur approchée de αarrondie au centième.
3. Tracer la courbe Cdans le repère orthonormal
O;−→
i;−→ j.
234567
I
2
3
4
5
6
7
J
O
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net

10. Problèmes et études de fonctions :
Exercice 5990
Soit les fonctions fet gdéfinies sur
Rpar les relations :
f(x) = e1+x+e1−x
2
g(x) = e1+x−e1−x
2
Dans un repère orthonormal
O;I;J, on donne les courbes
Cet C′respectivement représen-
tative des fonctions fet g:
Partie A : étude de la position
relative des deux courbes
1. Démontrer que la courbe Cse
situe toujours au dessus de la
courbe C′.
I
J
O
C
C′
M
Partie B : étude d’un lieu géométrique
Soit aun nombre réel quelconque. On considère :
la tangente (T)à la courbe Cau point d’abscisse a;
la tangente (T′)à la courbe C′au point d’abscisse a;
On admet que les droites (T)et (T′)ne sont jamais parallèles.
On note Mleur point d’intersections.
2. a. Donner l’expression de l’équation réduite de la tan-
gente (T)en fonction de a.
b. Donner l’expression de l’équation réduite de la tan-
gente (T′)en fonction de a.
3. Déterminer l’abscisse du point du point M.
4. a. Déterminer les coordonnées du M.
b. Justifier que le point Mappartient à la courbe d’une
des fonctions de références qu’on précisera.
11. Etude de fonctions avec dérivée seconde ou sous-fonction :
Exercice 5235
Soit gla fonction définie sur 0 ; +∞par :
g(x) = x·ex−e+e−2
1. Soit g′la fonction dérivée de la fonction g. Calculer g′(x)
pour tout réel xde 0 ; +∞.
Vérifier que la fonction dérivée seconde g′′ est définie sur
0 +∞par :
g′′(x) = (2 + x)ex
2. En déduire les variations de la fonction g′sur 0 ; +∞.
3. Etablir que l’équation g′(x) = 0 admet une solution
unique αdans l’intervalle 0 ; +∞.
Déterminer une valeur approchée de αà10−1près.
4. En déduire les variations de la fonction gsur 0 ; +∞.
12. Etudes de famille de fonctions :
Exercice 5848
Etant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk
définie sur Rpar :
fk(x) = 1
1 + e−k·x
Le plan est muni d’un repère orthonormé O;−→ i;−→ j.
Partie A
Dans cette partie, on choisit k=1. On a , pour tout réel x:
f1(x) = 1
1 + e−x
La représentation graphique C1de la fonction f1dans le re-
père O;−→ i;−→ jest donnée ci-dessous :
-4 -3 -2 -1 01234
-2
-1
1
2
~
i
~
j
C1
1. Déterminer les limites de f1(x)en +∞et −∞ et inter-
préter graphiquement les résultats obtenus.
2. Démontrer que, pour tout réel x:f1(x)= ex
1+ex.
3. On appelle f′
1la fonction dérivée de f1sur R. Calculer,
pour tout réel x,f′
1(x).
En déduire les variations de la fonction f1sur R.
Partie B
Dans cette partie, on choisit k=−1et on souhaite tracer la
courbe C−1représentant la fonction f−1.
Pour tout réel x, on appelle Ple point de C1d’abscisse xet
Mle point de C−1d’abscisse x.
On note Kmilieu du segment [MP ].
1. Montrer que, pour tout réel x:f1(x) + f−1(x) = 1.
2. En déduire que le point Kappartient à la droite d’équa-
tion y=1
2.
3. Tracer la courbe C−1sur le repère ci-dessous.
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net