Un peu de tout 4

Terminale S / Exponentielles
1. Relations différentielles :
Exercice 3340
6
Soit f une fonction définie sur R vérifiant la relation :
f ′ (x) = x pour tout x ∈ R
6
4
4
Cg
1. Donner au moins deux fonctions qui vérifie cette relation.
2. On propose le champs de tangentes représenté cidessous :
-2
Ch
2
2
~j
0 ~i
~j
0 ~i
5
-4
4
Justifier que, dans les deux cas, ces courbes ne vérifient pas
les conditions d’une fonction f telle que :
f (0) = 1
2
4
; f ′ (x) = f (x)
3
-6
-4
-2
2
pour tout x ∈ R
Exercice 3342
2
J
-4
-3
-2
-1
O
I
2
3
4
a. Vérifier que chaque tangente représentée sur la droite
d’équation x = 2 a pour coefficient directeur 2.
b. Vérifier que pour chaque tangente ayant pour origine
le point de coordonnée (x ; y), son coefficient directeur
est x.
Le nombre d’atomes d’une source radioactive a tendance à
diminuer dans le temps. On note N (t) le nombre de noyau
à l’instant t. En observant ce phénomène sur variation de
temps, ∆ t, on se rend compte que le nombre d’atomes a
connu une variation de ∆ N (t) et on a réussi à établir la
formule suivante :
∆ N (t)
= −λ·∆ t
N (t)
où λ est une constante dépendant uniquement de la nature
des noyaux observées.
1.
3. On considère maintenant la fonction f qui vérifie les deux
conditions suivantes :
3
; f ′ (x) = x pour tout x ∈ R
f (0) =
2
Tracer la courbe Cf représentative de la fonction f .
b. On part d’un échantillon contenant 238 g contenant
environ 6,02×1023 noyau d’uranium.
Déterminer le temps à attendre pour que la quantité
observée pèse :
119 g ; 59 g
Exercice 3580
2.
On considère deux fonctions g et h dont les représentations
graphiques sont données ci-dessous :
a. La durée de demi-vie du Radon-220 est de 56 s. Déterminer une valeur approchée de la constante λ dans
le cas du Radon-220.
a. Etablir l’égalité suivante :
∆ N (t)
= −λ·N (t)
∆t
b. En supposant que la fonction N , dépendant du temps
t, est dérivable, établir la formule suivante :
N ′ (t) = −λ·N (t)
2. Propriétés algébriques :
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net
b. e4 · e−4
a. e3 · e4
Exercice 3589
Simplifier les expressions suivantes :
a. exp(3) · exp(5)
1
c.
exp(−5)
b. exp(−2) · exp(4)
[
]3
d. exp(5)
c.
( 4 )3 4
e
·e
d.
e.
( 5
)2 (
)2
e − e4 − e5 + e4
f.
e5 · e−3
e−2
e6 − e3
e · e2
Exercice 3608
Exercice 3590
Simplifier les expressions suivantes :
Simplifier les expressions suivantes :
e6 · e−2
e−4
( 2
)(
)
d. e + e−2 · e2 − e−2
a. e5 · e6
c.
b.
( 3 )−2 5
e
·e
3. Equations et inéquations :
Exercice 3593
Résoudre les équations suivantes sur R :
a. exp(x) = e
b. exp(−x) = 1
c. exp(2x − 1) = e
e. ex − e−x = 0
d. ex
2
+x
f. ex
2
+5
a. ex + e−x = 0
b. e3x+1 = e−2x+3
c. e2x − 1 = 0
d. x·e2x − 2·e2x = 0
Exercice 3594
Résoudre les inéquations suivantes sur R :
=1
)2
(
= ex+2
Exercice 3616
a. exp(x) < e
b. exp(−x) ⩾ 1
c. e2x−1 > ex
d. ex + e−x < 2
(Pour la dernière inéquation, pensez à une factorisation)
Résoudre les équations suivantes :
4. Equations et inéquations avec changement de variables :
Exercice 5845
Exercice 5846
Résoudre les inéquations suivantes :
x
a.
e +3
>0
ex − 1
a. e2x + 2·ex − 3 = 0
b. e2x + ex − 2 < 0
b. −e2x − ex + 2 > 0
5. Limites aux bornes de la fonction exponentielle :
Exercice 3614
Déterminer les valeurs des limites suivantes :
a.
lim e−x+1
x7→+∞
b.
lim e2x+1
x7→−∞
1
d.
lim e x
x7→+∞
c.
1
e.
lim e x
x7→0−
lim e−x
2
+1
x7→+∞
1
f.
lim e− x
x7→0−
Exercice 5847
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs
en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente
cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
2 hauteur (en mètres)
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
40
60
temps t (en jours)
80 100 120 140 160 180 200 220
On décide de modéliser cette croissante par une fonction logistique du type :
a
h(t) =
1 + b·e−0,04·t
où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable
temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant,
exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et
que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net
6. Limites par comparaison de croissance :
Exercice 3661
Déterminer la valeur des limites suivantes :
a.
lim ex ·e−x
2
x7→+∞
ex + 1
c. lim −x
x7→+∞ e
−1
e.
lim e−x + 3x + 1
x7→−∞
b.
(
)
lim ex · x2 − x + 1
x7→−∞
e−3x
d. lim 2
x7→−∞ x + 1
f.
Le but de cet exercice est de déterminer les deux limites suivantes :
x+1
x+1
2
2
lim−
· e x−1 ; lim+
· e x−1
2
2
x7→1 (x − 1)
x7→1 (x − 1)
2
. Prouver l’égalité :
x−1
x+1
2
e
· e x−1 = · X 2 · eX
2
(x − 1)
2
1. Soit X =
lim e−2x − e−x
x7→−∞
2. En déduire la valeur des limites recherchées.
Exercice 3710
7. Limites par identification aux nombres dérivées :
e2x − 1
x7→0
x
( 1
)
c. lim x· e x − 1
Exercice 3662
e2x − ex
x7→0
x
( 3
)
d. lim x· e x − 1
a. lim
Déterminer la valeur des limites suivantes :
b. lim
x7→+∞
e.
x7→+∞
( 1
)
lim x3 · e x − 1
x7→−∞
8. Dérivées :
Déterminer l’expression des fonctions dérivées de chacune des
fonctions suivantes :
Exercice 3592
Déterminer l’expression des fonctions dérivées suivantes :
a. f (x) = e−x
c. h(x) = ex
2
+x
b. g(x) = x·ex
d. j(x) =
1
1 − ex
a. f (x) = x·ex+1
b. g(x) = ex
(
)
c. h(x) = x2 + 1 ·e3x+1
d. j(x) =
e. k(x) =
Exercice 3612
1 − e−2x
ex
2
+1
ex+1
2·x + 1
1 − e−2x
f. ℓ(x) =
1 + e2x
9. Etudes de fonctions :
-3
Exercice 3618
-1
4
3
2
1
~j
0
-1
-2
-3
-4
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
-2
On considère la fonction f définie par la relation :
1
f (x) = x
e −1
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f .
~i 1
2. Etablir le tableau de variation de la fonction f .
3. Préciser les différentes asymptotes de la courbe Cf .
2
4. Tracer la courbe Cf .
3
Exercice 3665
On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x
par :
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net
4·ex
+7
On note C la courbe représentative de la fonction f .
f (x) =
1. Vérifier que pour tout réel x :
2.
2
ex
f (x) =
4
1 + 7e−x
J
a. Démontrer que la courbe C admet deux asymptôtes
dont on précisera les équations.
b. Démontrer que la fonction f est strictement croissante
sur R.
c. Démontrer que pour tout réel x, 0<f (x)<4.
O
-1
2
I
3
Exercice 5851
[
]
Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1
par :
1
f (x) = 2x − 2e−x +
e
1.
a. Dresser le[ tableau
de variation de la fonction f sur
]
l’intervalle 0 ; 1 . On précisera les valeurs exactes de
f (0) et f (1).
b. Démontrer que la fonction
[
]f s’annule une fois et une
seule sur l’intervalle 0 ; 1 en un réel α. Donner la
valeur de α arrondie au centième.
[
]
2. Résoudre l’équation suivante dans l’intervalle 0 ; 1 :
x − e−x + 1 = e−x − x − e−1 + 1
9 −2x
·e
− 3·e−3x
2
On nomme Cf la courbe représentative de f dans un repère
(
−
→ −
→)
orthonormal O ; i ; j d’unité 1 cm.
f (x) =
1. Montrer que pour tout x de R, on a :
(3
)
f (x) = 3·e−2x ·
− e−x .
2
2. Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en
−∞.
3. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .
4.
Exercice 3643
]
[
On note f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; +∞ par :
1
1
f (x) = 2 · e x
x
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un
(
→
− −
→)
repère orthonormal O ; i ; j . L’unité graphique est 1 cm.
1. Etude des limites
a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend
vers 0.
b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend
vers +∞.
Exercice 3677
Soit f la fonction définie sur R par :
-1
a. Déterminer les coordonnées du point d’intersection
de la courbe Cf avec l’axe des ordonnées.
b. Justifier que la courbe Cf intercepte l’axe des abscisses
en un seul point.
Donner la valeur approchée des coordonnées de ce
point d’intersection.
5. Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe Cf dans le
repère ci-dessous :
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe C ?
2. Etude des variations de la fonction f .
a. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f
s’exprime, pour tout réel x strictement positif, par :
1 1
f ′ (x) = − 4 ·e x ·(2x + 1)
x
b. Déterminer le signe de f ′ et en
] déduire
[ le tableau de
variation de f sur l’intervalle 0 ; +∞ .
c. Démontrer que l’équation f (x) = 2 a une] unique [solution notée α appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ et
donner la valeur approchée de α arrondie au centième.
3. Tracer la courbe C
(
→
− −
→)
O; i ; j .
dans le repère orthonormal
7
6
5
4
3
2
J
O
I
2
3
4
5
6
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net
7
10. Problèmes et études de fonctions :
Partie B : étude d’un lieu géométrique
Exercice 5990
Soit les fonctions f et g définies sur
R par les relations :
e1+x + e1−x
f (x) =
2
1+x
e
− e1−x
g(x) =
2
Dans
un) repère orthonormal
(
O ; I ; J , on donne les courbes
C et C ′ respectivement représentative des fonctions f et g :
Soit a un nombre réel quelconque. On considère :
la tangente (T ) à la courbe C au point d’abscisse a ;
C
la tangente (T ′ ) à la courbe C ′ au point d’abscisse a ;
M
On admet que les droites (T ) et (T ′ ) ne sont jamais parallèles.
On note M leur point d’intersections.
2.
J
O
a. Donner l’expression de l’équation réduite de la tangente (T ) en fonction de a.
b. Donner l’expression de l’équation réduite de la tangente (T ′ ) en fonction de a.
I
3. Déterminer l’abscisse du point du point M .
Partie A : étude de la position
relative des deux courbes
4.
1. Démontrer que la courbe C se
situe toujours au dessus de la
courbe C ′ .
a. Déterminer les coordonnées du M .
b. Justifier que le point M appartient à la courbe d’une
des fonctions de références qu’on précisera.
C′
11. Etude de fonctions avec dérivée seconde ou sous-fonction :
g ′′ (x) = (2 + x)ex
Exercice 5235
[
[
2. En déduire les variations de la fonction g ′ sur 0 ; +∞ .
[
[
Soit g la fonction
( x définie
) sur 0 ; +∞ par :
g(x) = x· e − e + e − 2
1. Soit g ′ la fonction dérivée
de[la fonction g. Calculer g ′ (x)
[
pour tout réel x de 0 ; +∞ .
′′
Vérifier
[
[ que la fonction dérivée seconde g est définie sur
0 +∞ par :
3. Etablir que l’équation g[′ (x) = 0 [admet une solution
unique α dans l’intervalle 0 ; +∞ .
Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.
[
[
4. En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; +∞ .
12. Etudes de famille de fonctions :
1. Déterminer les limites de f1 (x) en +∞ et −∞ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 5848
Etant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk
définie sur R par :
1
fk (x) =
1 + e−k·x
(
→
− −
→)
Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; i ; j .
Partie A
Dans cette partie, on choisit k = 1. On a , pour tout réel x :
1
f1 (x) =
1 + e−x
La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le re(
−
→ −
→)
père O ; i ; j est donnée ci-dessous :
-4
-3
-2
-1
0
-1
f1 (x) =
ex
.
1+ex
3. On appelle f1′ la fonction dérivée de f1 sur R. Calculer,
pour tout réel x, f1′ (x).
En déduire les variations de la fonction f1 sur R.
Partie B
Dans cette partie, on choisit k = −1 et on souhaite tracer la
courbe C−1 représentant la fonction f−1 .
Pour tout réel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et
M le point de C−1 d’abscisse x.
On note K milieu du segment [M P ].
2
1
~j
2. Démontrer que, pour tout réel x :
1. Montrer que, pour tout réel x : f1 (x) + f−1 (x) = 1.
C1
~i 1
2
3
4
2. En déduire que le point K appartient à la droite d’équa1
tion y = .
2
3. Tracer la courbe C−1 sur le repère ci-dessous.
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net
-2
255. Exercices non-classés :
Exercice 5856
Partie A
( )
On considère la famille de fonctions fk définie pour k ∈ N
par : fk (x) = (x + k)·ex + x
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans
une repère orthonormé.
( )
Quelle fonction de la famille fk admet la droite (d) d’équation y = x−e−2 comme tangente au point d’abscisse −2.
Partie B
1. On considère la fonction g définie par :
g(x) = (x + 1)·ex + e−2 .
a. Déterminer l’expression de la fonction g ′ .
b. Dresser le tableau de variation de la fonction g.
2. Déduire des questions précédentes la position relative de
la courbe C1 et de la droite (d).
Terminale S - Exponentielles - http://chingatome.net