Fonctions Affines Problèmes du premier degré

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Fonctions Affines
Problèmes du premier degré
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2016/2017
Table des matières
1 Fonctions Affines
2
1.1
Définition – Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Proportionnalité des accroissements
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Détermination graphique d’une fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Sens de variation d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5
Signe de mx + p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Résolution d’inéquations
6
2.1
Équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Équations produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Premières résolutions d’inéquations plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Table des figures
1
Détermination graphique d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Premier exemple de détermination graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3
Deuxième exemple de détermination graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
Signe d’une fonction affine – cas m > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
Signe d’une fonction affine – cas m < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
∗ Ce
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1
1
1
FONCTIONS AFFINES
Fonctions Affines
1.1
Définition – Représentation graphique
Définition : Soient m et p deux réels.
La fonction f définie sur R par f (x) = mx + p est une fonction affine.
Le coefficient m est appelé coefficient directeur.
Le coefficient p est appelé ordonnée à l’origine.
Remarques : 1. Le nombre p est appelé ordonnée à l’origine car f (0) = p.
2. — Si m = 0 : f (x) = p, on obtient une fonction constante ;
— Si p = 0 : f (x) = mx, on obtient une fonction linéaire.
Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = mx + p est la
droite D d’équation y = mx + p.
Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
Remarque : Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux points. On peut donc limiter, pour une fonction
affine, le tableau de valeurs à deux (ou trois) pour tracer la droite représentant une fonction affine. Très
souvent, un de ces points sera le point de coordonnées (0 ; p).
Cas particuliers : — Si f (x) = p (fonction constante), on obtient une droite parallèle à l’axe des abscisses
et passant par l’ordonnée p ;
— Si f (x) = mx (fonction linéaire), on obtient une droite passant par l’origine du repère.
Exercices : 22, 23, 24 page 61 1 [TransMath]
1.2
Proportionnalité des accroissements
Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p.
Soient aet b2 deux nombres réels distincts (a 6= b). On a :
m=
f (b) − f (a)
b−a
Remarques : 1. Ce résultat a déjà été montré dans le chapitre « Repérage du plan – Équations de droites ».
2. Ceci peut se lire :
différence des ordonnées
∆y
m=
=
différence des abscisses
∆x
3. Ce quotient étant indépendant des valeurs choisies pour a et b, on vient de montrer que pour une
fonction affine, l’accroissement des images est proportionnel à l’accroissement de la variable.
4. Cette égalité est en fait une caractérisation des fonctions affines.
Exemple d’utilisation : Détermination de la fonction affine f telle que f (−2) = 1 et f (6) = 5.
On a f (x) = mx + p.
f (6) − f (−2)
5−1
4
1
m=
=
= =
6 − (−2)
6+2
8
2
Par suite, f (x) = 12 x + p. Pour déterminer l’ordonnée à l’origine p, il suffit de remarquer que f (−2) = 1.
On a donc :
f (−2) = 1
1
× (−2) + p = 1
2
−1 + p = 1
p
On obtient donc f (x) = 21 x + 2.
1. Premières fonctions affines.
2
=
2
1.3
Détermination graphique d’une fonction affine.
1
FONCTIONS AFFINES
Exercices : 28, 29, 30, 31 page 61 2 – 19 page 59 et 33, 34, 35, 37, 38 page 61 3 [TransMath]
1.3
Lecture graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine
La méthode est basée sur les deux remarques suivantes :
1. la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p) ;
2. le coefficient directeur est donné par la formule : m =
différence des ordonnées
différence des abscisses
=
∆y
∆x .
Méthode : (voir figure 1)
— Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur :
— on part d’un point de la droite (ici A) ;
— on avance de ∆x unités (horizontalement) et on monte de ∆y unités (verticalement) pour se
trouver sur un autre point de la droite (ici B).
Le coefficient directeur est alors :
m=
différence des ordonnées
∆y
=
∆x
différence des abscisses
— L’ordonnée à l’origine p est l’ordonnée du point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées.
Figure 1 – Détermination graphique d’une fonction affine
Exemples : 1. Voir figure 2.
On pose f (x) = mx + p.
La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; −1) donc p = −1.
Partant de ce point, il faut avancer de 1 unité (∆x = 1) et monter de 2 unités (∆y = 2) pour se
∆y
trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = ∆x
= 21 = 2.
La fonction affine tracée est donc : f (x) = 2x − 1.
2. Voir figure 3.
On pose f (x) = mx + p.
La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) donc p = 2.
Partant de ce point, il faut avancer de 2 unités (∆x = 2) et descendre de 1 unité (∆y = −1) pour se
∆y
1
trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = ∆x
= −1
2 = −2.
1
La fonction affine tracée est donc : f (x) = − 2 x + 2.
Remarques : 1. Cette méthode permet aussi de tracer rapidement la représentation graphique d’une fonction affine connue.
2. Dans certains cas, on ne peut pas déterminer graphiquement l’ordonnée à l’origine. Il est alors nécessaire d’en revenir à la méthode du 1.2 (voir exercices).
Exercices : 42, 43 page 62 4 – 20 page 59 ; 60, 61, 62, 64 page 63 et 70, 71 page 64 5 [TransMath]
2.
3.
4.
5.
Déterminer une fonction affine.
Affine ou pas ?
Détermination graphique d’une fonction affine.
Fonctions affines par intervalles.
3
1.3
Détermination graphique d’une fonction affine.
1
Figure 2 – Premier exemple de détermination graphique.
Figure 3 – Deuxième exemple de détermination graphique.
4
FONCTIONS AFFINES
1.4
Sens de variation d’une fonction affine
1.4
1
FONCTIONS AFFINES
Sens de variation d’une fonction affine
Propriété : Soit f (x) = mx + p une fonction affine.
— Si m > 0 alors la fonction f est strictement croissante.
— Si m = 0 alors la fonction f est constante.
— Si m < 0 alors la fonction f est strictement décroissante.
Démonstration (partielle)
Si m = 0 alors f (x) = p est une fonction constante.
Si m < 0 :
Soit a et b deux réels tels que a<b.
Comme m < 0, la multiplication par m inverse l’ordre donc : ma > mb.
Comme additionner un nombre ne change pas l’ordre, on a : ma + p > mb + p.
On obtient donc : f (a) >f (b). Globalement, l’ordre a été inversé. La fonction f est
donc strictement décroissante.
Exercice : Rependre la démonstration précédente dans le cas où m > 0.
Exercices : 48, 49, 50 page 62 6 [TransMath]
1.5
Signe de mx + p
Étude préliminaire : Résolution de l’équation mx + p = 0 (avec m 6= 0)
mx + p
mx
x
=
0
= −p
p
= −
m
Cas 1 : Si m > 0
La fonction affine f (x) = mx + p est strictement croissante et la droite la représentant coupe l’axe des
p
abscisses en x = − m
(voir figure 4).
Figure 4 – Signe d’une fonction affine – cas m > 0
Le tableau de signes de la fonction f est donc le suivant :
x
Signe de mx + p
−∞
−
p
−m
0
+∞
+
Cas 2 : Si m < 0
La fonction affine f (x) = mx + p est strictement décroissante et la droite la représentant coupe l’axe des
p
abscisses en x = − m
(voir figure 5).
Le tableau de signes de la fonction f est donc le suivant :
6. Sens de variations d’une fonction affine.
5
2
RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS
Figure 5 – Signe d’une fonction affine – cas m < 0
p
−m
0
−∞
x
Signe de mx + p
+
+∞
−
Exemples : 1. Signe de (2x + 3)
Il faut d’abord déterminer la valeur pour laquelle le signe change :
2x + 3 = 0
2x = −3
3
x = −
2
Comme le coefficient directeur est positif, on obtient le tableau de signes suivant :
x
Signe de 2x + 3
−∞
−
− 23
0
+∞
+
2. Signe de (1 − 3x)
Il faut d’abord déterminer la valeur pour laquelle le signe change :
1 − 3x =
−3x =
x =
0
−1
−1
1
=
−3
3
Comme le coefficient directeur est négatif , on obtient le tableau de signes suivant :
x
Signe de 2x + 3
1
3
−∞
+
0
+∞
-
Exercices : 7, 8, 9 page 56 et 51, 52, 53 page 62 7 [TransMath]
2
Problèmes du premier degré
2.1
Équations du premier degré
Propriété : 1. Si l’on ajoute ou on retranche le même nombre au deux membres d’une équation, on ne
change pas l’ensemble solution.
2. Si l’on multiplie ou on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul, on ne
change pas l’ensemble solution.
7. Signe d’une fonction affine.
6
2.2
Équations produit
2
RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS
Méthode : 1. En utilisant la propriété 1, regrouper les termes en « x » dans le premier membre et les
autres dans le second membre.
2. En utilisant la propriété 2, déterminer x.
3. Conclure.
Exemples : 1. Résolution de −2x + 22 = 0
−2x + 22
=
0
−2x + 22−22 = 0−22
(règle 1)
−2x = −22
−22
−2x
=
(règle 2)
−2
−2
−22
x =
= 11
−2
S = {11}
2. Résolution de 3x + 2 = 8 − 2x
3x + 2
=
3x + 2x =
8−2
5x =
6
6
5
6
5
x =
S
3. Résolution de 32 x − 1 = 14 x −
=
1
3
3
x−1
2
3
1
x− x
2
4
1
6
x− x
4
4
5
x
4
=
=
=
=
x =
S
2.2
8 − 2x
1
1
x−
4
3
1
− +1
3
1 3
− +
3 3
2
3
2
2 4
8
3
5 = 3 × 5 = 15
4
8
=
15
Équations produit
Théorème : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins des facteurs est nul.
Exemples : 1. Résoudre (3x + 1) (x − 5) = 0.
3x + 1 = 0
1
x=−
3
x−5=0
ou
x=5
S = − 31 ; 5
7
2.3
Inéquations du premier degré
2
RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS
2. Résoudre x2 = 5x.
x2
=
5x
x − 5x
=
0
x (x − 5)
=
0
x=0
ou
x−5=0
2
x=5
S = {0 ; 5}
2.3
Inéquations du premier degré
Opérations portant sur une inégalité : a, b, c et k désignent quatre nombres réels.
1. Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c
Ajouter (ou soustraire) un nombre ne change pas l’ordre.
2. Si a ≤ b et k > 0 alors k × a ≤ k × b
Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif ne change pas l’ordre.
3. Si a ≤ b et k < 0 alors k × a ≥ k × b
Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l’ordre.
Application : On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations « simples »
4x − 5
< 5x − 1
4x − 5+5 < 5x − 1+5
4x
<
5x + 4
4x−5x
<
5x + 4−5x
−x < 4
4
−x
>
−1
−1
x > −4
(régle 1)
(régle 1)
(régle 3)
On a donc ici : S = ]−4 ; +∞[
Exercices : 1, 2, 3, 4 page 55 et 45, 46, 47 page 62 8 – 67, 69 page 64 9 – 73 page 65 10 [TransMath]
2.4
Premières résolutions d’inéquations plus complexes
On utilisant astucieusement les tableaux de signes du 1.5, on va pouvoir résoudre des inéquations plus complexes.
Exemple : Résoudre l’inéquation (2x + 3) (1 − 3x) ≥ 0
On a déjà étudié au 1.5 les signes de 2x + 3 et de 1 − 3x. Il va suffire de regrouper ces résultats dans un
même tableau et de déduire le signe du produit (2x + 3) (1 − 3x) grâce à la règle des signes :
1
x
−∞
− 32
+∞
3
Signe de 2x + 3
−
0
+
+
Signe de 1 − 3x
+
+ 0
−
Signe de (2x + 3) (1 − 3x)
−
0
+ 0
−
Comme l’inéquation à résoudre est (2x + 3) (1 − 3x) ≥ 0, il faut chercher les signes « + » dans la dernière
ligne du tableau pour conclure :
3 1
S= − ;
2 3
Exercices : 11, 13 page 57 et 54, 55, 57 page 63 11 [TransMath]
8.
9.
10.
11.
Résolution d’inéquations du premier degré – Applications.
Mise en inéquation.
Avec une fonction affine par intervalles.
Signe d’un produit.
8
RÉFÉRENCES
RÉFÉRENCES
Remarque : Pour pouvoir utiliser un tableau de signe, il faut que :
— le premier membre soit un produit entièrement factorisé ;
— le second membre soit zéro.
2
Exemple : Résoudre l’inéquation (3x + 5) > 1.
2
> 1
(3x + 5) − 1
> 0
(3x + 5)
2
2
2
> 0
[(3x + 5) + 1] [(3x + 5) − 1]
> 0
(3x + 6) (3x + 4)
> 0
(3x + 5) − 1
Pour résoudre cette inéquation, on va étudier le signe de (3x + 6) (3x + 4) :
3x + 6 = 0
donne
3x = 4 = 0
donne
x
3x + 6
3x + 4
(3x + 6) (3x + 4)
−∞
−
−
+
−2
0
0
x = −2
4
x=−
3
− 43
+
−
−
0
0
+∞
+
+
+
Comme l’inéquation à résoudre est (3x + 6) (3x + 4) > 0, il faut chercher les signes « + » dans la dernière
ligne du tableau pour conclure :
4
S = ]−∞ ; −2[ ∪ − ; +∞
3
Méthode : 1. Se ramener à un second membre nul pour pouvoir faire un tableau de signes.
(en regroupant tous les termes dans le premier membre)
2. Factoriser le premier membre.
3. Conclure en utilisant un tableau de signes.
Exercices : 14 page 57 et 58, 59 page 63 12 [TransMath]
Références
[TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010).
2, 3, 5, 6, 8, 9
12. Inéquations nécessitant une factorisation.
9
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