Fonctions Affines Problèmes du premier degré

Fonctions Affines
Problèmes du premier degré
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2016/2017
Table des matières
1 Fonctions Affines 2
1.1 Définition – Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Proportionnalité des accroissements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Détermination graphique d’une fonction affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Sens de variation d’une fonction affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Signe de mx +p............................................. 5
2 Résolution d’inéquations 6
2.1 Équationsdupremierdegré....................................... 6
2.2 Équationsproduit ............................................ 7
2.3 Inéquationsdupremierdegré ...................................... 8
2.4 Premières résolutions d’inéquations plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Table des figures
1Détermination graphique d’une fonction affine ............................... 3
2Premier exemple de détermination graphique. ............................... 4
3Deuxième exemple de détermination graphique. .............................. 4
4 Signe d’une fonction affine – cas m > 0................................. 5
5 Signe d’une fonction affine – cas m < 0................................. 6
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1 FONCTIONS AFFINES
1 Fonctions Affines
1.1 Définition – Représentation graphique
Définition : Soient met pdeux réels.
La fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = mx +pest une fonction affine.
Le coefficient mest appelé coefficient directeur.
Le coefficient pest appelé ordonnée à l’origine.
Remarques : 1. Le nombre pest appelé ordonnée à l’origine car f(0) = p.
2. — Si m= 0 :f(x) = p, on obtient une fonction constante ;
— Si p= 0 :f(x) = mx, on obtient une fonction linéaire.
Propriété : La représentation graphique de la fonction affine fdéfinie sur Rpar f(x) = mx +pest la
droite Dd’équation y=mx +p.
Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).
Remarque : Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux points. On peut donc limiter, pour une fonction
affine, le tableau de valeurs à deux (ou trois) pour tracer la droite représentant une fonction affine. Très
souvent, un de ces points sera le point de coordonnées (0 ; p).
Cas particuliers : — Si f(x) = p(fonction constante), on obtient une droite parallèle à l’axe des abscisses
et passant par l’ordonnée p;
— Si f(x) = mx (fonction linéaire), on obtient une droite passant par l’origine du repère.
Exercices : 22, 23, 24 page 61 1[TransMath]
1.2 Proportionnalité des accroissements
Soit fla fonction affine définie sur Rpar f(x) = mx +p.
Soient aet b2deux nombres réels distincts (a6=b). On a :
m=f(b)−f(a)
b−a
Remarques : 1. Ce résultat a déjà été montré dans le chapitre « Repérage du plan – Équations de droites ».
2. Ceci peut se lire :
m=différence des ordonnées
différence des abscisses =∆y ∆x
3. Ce quotient étant indépendant des valeurs choisies pour aet b, on vient de montrer que pour une
fonction affine, l’accroissement des images est proportionnel à l’accroissement de la variable.
4. Cette égalité est en fait une caractérisation des fonctions affines.
Exemple d’utilisation : Détermination de la fonction affine ftelle que f(−2) = 1 et f(6) = 5.
On a f(x) = mx +p.
m=f(6) −f(−2)
6−(−2) =5−1 6+2 =4 8=1 2
Par suite, f(x) = 1
2x+p. Pour déterminer l’ordonnée à l’origine p, il suffit de remarquer que f(−2) = 1.
On a donc :
f(−2) = 1
1
2×(−2) + p= 1
−1 + p= 1
p= 2
On obtient donc f(x) = 1
2x+ 2.
1. Premières fonctions affines.
2

1.3 Détermination graphique d’une fonction affine. 1 FONCTIONS AFFINES
Exercices : 28, 29, 30, 31 page 61 2– 19 page 59 et 33, 34, 35, 37, 38 page 61 3[TransMath]
1.3 Lecture graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine
La méthode est basée sur les deux remarques suivantes :
1. la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p);
2. le coefficient directeur est donné par la formule : m=différence des ordonnées
différence des abscisses =∆y ∆x.
Méthode : (voir figure 1)
— Pour déterminer graphiquement le coefficient directeur :
— on part d’un point de la droite (ici A) ;
— on avance de ∆xunités (horizontalement) et on monte de ∆yunités (verticalement) pour se
trouver sur un autre point de la droite (ici B).
Le coefficient directeur est alors :
m=∆y
∆x=différence des ordonnées différence des abscisses
— L’ordonnée à l’origine pest l’ordonnée du point d’intersection entre la droite et l’axe des ordonnées.
Figure 1 – Détermination graphique d’une fonction affine
Exemples : 1. Voir figure 2.
On pose f(x) = mx +p.
La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; −1) donc p=−1.
Partant de ce point, il faut avancer de 1 unité (∆x= 1) et monter de 2 unités (∆y= 2) pour se
trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m=∆y
∆x=2 1= 2.
La fonction affine tracée est donc : f(x)=2x−1.
2. Voir figure 3.
On pose f(x) = mx +p.
La droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) donc p= 2.
Partant de ce point, il faut avancer de 2 unités (∆x= 2) et descendre de 1 unité (∆y=−1) pour se
trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m=∆y
∆x=−1 2=−1 2.
La fonction affine tracée est donc : f(x) = −1
2x+ 2.
Remarques : 1. Cette méthode permet aussi de tracer rapidement la représentation graphique d’une fonc-
tion affine connue.
2. Dans certains cas, on ne peut pas déterminer graphiquement l’ordonnée à l’origine. Il est alors néces-
saire d’en revenir à la méthode du 1.2 (voir exercices).
Exercices : 42, 43 page 62 4– 20 page 59 ; 60, 61, 62, 64 page 63 et 70, 71 page 64 5[TransMath]
2. Déterminer une fonction affine.
3. Affine ou pas ?
4. Détermination graphique d’une fonction affine.
5. Fonctions affines par intervalles.
3

1.3 Détermination graphique d’une fonction affine. 1 FONCTIONS AFFINES
Figure 2 – Premier exemple de détermination graphique.
Figure 3 – Deuxième exemple de détermination graphique.
4

1.4 Sens de variation d’une fonction affine 1 FONCTIONS AFFINES
1.4 Sens de variation d’une fonction affine
Propriété : Soit f(x) = mx +pune fonction affine.
— Si m > 0alors la fonction fest strictement croissante.
— Si m= 0 alors la fonction fest constante.
— Si m < 0alors la fonction fest strictement décroissante.
Démonstration (partielle)
Si m= 0 alors f(x) = pest une fonction constante.
Si m < 0:
Soit aet bdeux réels tels que a<b.
Comme m < 0, la multiplication par minverse l’ordre donc : ma > mb.
Comme additionner un nombre ne change pas l’ordre, on a : ma +p > mb +p.
On obtient donc : f(a)>f (b). Globalement, l’ordre a été inversé. La fonction fest
donc strictement décroissante.
Exercice : Rependre la démonstration précédente dans le cas où m > 0.
Exercices : 48, 49, 50 page 62 6[TransMath]
1.5 Signe de mx +p
Étude préliminaire : Résolution de l’équation mx +p= 0 (avec m6= 0)
mx +p= 0
mx =−p
x=−p
m
Cas 1 : Si m > 0
La fonction affine f(x) = mx +pest strictement croissante et la droite la représentant coupe l’axe des
abscisses en x=−p
m(voir figure 4).
Figure 4 – Signe d’une fonction affine – cas m > 0
Le tableau de signes de la fonction fest donc le suivant :
x−∞ −p
m+∞
Signe de mx +p−0 +
Cas 2 : Si m < 0
La fonction affine f(x) = mx +pest strictement décroissante et la droite la représentant coupe l’axe des
abscisses en x=−p
m(voir figure 5).
Le tableau de signes de la fonction fest donc le suivant :
6. Sens de variations d’une fonction affine.
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