Racines d`un polynôme

Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Dans ce chapitre, Kdésigne l’un des corps Rou C.
1 Multiplicité
On considère un polynôme P∈K[z] et un scalaire α∈K.
Définition 1 (Racine)
On dit que αest une racine de Psi P(α)=0.
Lemme 2 (CNS de factorisation)
Le scalaire αest racine de Psi, et seulement si, (z−α) divise P.
Autrement dit, les seuls polynômes qui s’annulent en αsont ceux de la
forme (z−α)Q(z), où Q∈K[z].
Exercice 1 (Démonstration de 2)
1. Traiter le cas P=0.
2. Dans cette question, on suppose que deg(P)Ê0 (i.e.P6=0).
(a) À l’aide de la DE, montrer qu’il existe Q∈K[z] tel que P(z)=(z−α)Q(z)+P(α).
(b) En déduire que : P(α)=0⇔(z−α) divise P(z).
(c) Quel-est le degré de Q?
äDémonstration de 2. On distingue deux cas :
(i) Si P=0 alors Ps’annulle en αet est divisible par (z−α).
(ii) Si P6=0, on note alors n:=deg(P)Ê0.
(⇒) Supposons d’abord que P(α)=0. La division euclidienne de Ppar z7→(z−α) donne
alors l’existence d’un unique couple de fonctions polynômes (Q,R) tel que,
∀z∈K,P(z)=(z−α)Q(z)+R(z) avec deg(R)<1.
En particulier, Rest une fonction constante. Or on a :
0=P(α)=(α−α)Q(α)+R(α) donc R(α)=0.
La fonction Rest donc la fonction nulle, ce qui prouve que P(z) se factorise par (z−α).
(⇐) Réciroquement, Si P(z) est divisible par (z−α) alors il existe g∈K[z] tel que, pour
tout réel x,P(z)=(z−α)g(z). Donc : P(α)=(α−α)g(α)=0. ä
Remarque 1 (Conséquence)
L’ensemble {k∈N: (z−α)kdivise f} est donc non vide et d’autre part majoré par deg(f).
Il admet donc un plus grand élément m. On peut donc poser :
Définition 3 (Multiplicité d’une racine)
On suppose que Pn’est pas identiquement nul.
Si αest une racine de Palors il existe un entier mÊ1 tel que :
(x−α)mdivise Pet (x−α)m+1ne divise pas P.
On dit que mest l’ordre de multiplicité de la racine αde P.
On note ordα(P)=m.
On convient que si αn’est pas racine de Palors ordα(P)=0.
Lorsque ordα(P)Ê1, on parle de racine multiple. Une racine d’ordre de
multiplicité 1 (resp. 2) est appelée racine simple (resp. double).
Exercice 2 (Illustration)
On pose θ(x)=2x3−9x2+15
2x+25 2. Montrer que 5 2est racine d’ordre 2.
En déduire la factorisation de θen produit de polynômes de degré 1.
Proposition 4 (Multiplicité et dérivation)
On suppose que Pn’est pas identiquement nul.
(i) Si αest une racine de Pde multiplicité mÊ1 alors αest une racine
de P0de multiplicité m−1.
(ii) αest une racine de Pde multiplicité mÊ1 si, et seulement si,
P(α)=P0(α)=···=P(m−1)(α)=0.
Exercice 3 (Illustration)
Retrouver le fait que θ(x)=2x3−9x2+15
2x+25 2admet 5 2comme racine d’ordre 2.
Hypokhâgne B/L — 2010/2011 1/7 Lycée Félix Éboué, le 25/02/11

Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Exercice 4 (Racines de l’unité)
Pour n∈N∗, on pose Φn(x)=zn−1. Montrer que Φn’admet que les racines simples.
2 Racines d’un trinôme du second degré
Lemme 5 (Racines carrées d’un nombre complexe)
Soit λun nombre complexe non nul.
L’équation Z2=λadmet exactement deux solutions dans C, opposées
l’une de l’autre.
Ces solutions sont appelées les racines carrées complexes de λ.
Exercice 5 (Deux méthodes usuelles)
1. Cas simples : Déterminer les racines carrées de :
• −2 ; ±i;±K i ;±K(∈R∗
+).
2. Avec la forme exponentielle
(a) Écrire p3−isous forme exponentielle.
(b) On considère Z2=p3−iet on pose Z=Reiθ.
Exprimer Ret θen fonction du module et de l’argument principal de p3−i.
(c) En déduire les racines carrées de p3−isous formes exponentielles et algé-
briques.
3. Avec la forme algébrique (rappel)
(a) Calculer le module de −11
2+15i.
(b) On considère Z2=−11
2+15iet on pose Z=X+i Y .
Exprimer Z2et |Z|2en fonction de Xet Y.
(c) En déduire les valeurs. de Xet Ypuis les racines carrées de −11
2+15i.
Exemple 1 (Calcul avec la forme algébrique et le module)
Pour obtenir les racines carrées de λ=5−12i,
on cherche Z=X+i Y ∈Ctel que Z2=5−12i.
Notons que : |Z|2=|5−12i|=p25 +144 =p169 =13. D’autre part :
Z2=(x2−y2)+2i x y, donc 
Z2=5−12i⇔
x2+y2=13
x2−y2=5
2x y = −12 
.
Or, en faisant 1
2(L1+L2)→L1 et 1 2(L1−L2)→L2, on obtient :
x2+y2=13
x2−y2=5
2x y = −12 ⇔
x2=9
y2=4
x y <0⇔½x=3 et y=−2
x=−3 et y=2.
Les racines carrées de 5−12isont donc : 3−2iet −3+2i.
L’équation générale de degré 2dans C
Soient a,bet ctrois nombres complexes, avec anon nul.
On cherche les racines du polynôme P:½C−→ C
z7→ az2+bz +c.
On procède comme sur R: comme a6=0, on peut écrire, pour tout z∈C,
az2+bz +c=aµz2+b
az+c a¶
=a·z2+2b
2az+µb 2a¶2
−µb
2a¶2
+c
a¸
=a·µz+b
2a¶2
−b2−4ac
4a2¸.
On obtient ainsi :
Lemme 6 (Forme canonique d’un trinôme)
Pour tout z∈C,
az2+bz +c=a·µz+b
2a¶2
−
∆
4a2¸,
où l’on a posé ∆=b2−4ac (appelé discriminant de P).
À l’aide du lemme 5et de la troisième identité remarquable, on en déduit :
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Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Théorème 7 (Équation du second degré dans C)
Le polynôme P:z7→ az2+bz +c=0 admet deux racines complexes.
Soit δune racine carrée complexe du discriminant ∆=b2−4ac.
Les racines de Psont alors : α1=−b−δ
2aet α2=−b+δ 2a.
Remarque 2 (Racines distinctes ou confondues)
•Les racines de Psont distinctes si, et seulement si, ∆6=0.
•Si ∆=0 alors Padmet une unique racine, dite double :α0=−b
2a.
Remarque 3 (Discriminant réduit)
On peut parfois simplifier les calculs en posant b0=b
2et ∆0=∆
4.
On cherche alors δ0∈Ctel que δ02=∆0et les racines de Psont
α1=−b0−δ0
aet α2=−b0+δ0 a.
Le nombre ∆0=b02−ac est applelé discriminant réduit de (E).
Exercice 6 (Application directe)
Résoudre dans Cles équations : −2z2+(4 +2i)z+6i−6=0 ; 2z2+i.
äDémonstration de 7. D’après le lemme 5, il existe δ∈Ctel que δ2=∆; alors :
az2+bz +c=a·µz+b
2a¶2
−µδ
2a¶2¸
=aµz+b
2a−δ 2a¶µz+b 2a+δ 2a¶
=aµz−−b+δ
2a¶µz−−b−δ 2a¶.
On en déduit que Padmet deux racines complexes :
α1=−b−δ
2aet α2=−b+δ 2a.
ä
Désormais, on note α1et α2les racines complexes de P:z7→az2+bz +c.
Corollaire 8 (Forme factorisée)
Pour tout z∈C,az2+bz +c=a(z−α1)(z−α2).
En particulier, si ∆=0, alors : az2+bz +c=aµz+b
2a¶2
.
Proposition 9 (Relations coefficients-racines)
Le couple (α1,α2)∈C2est solution du système ½z1+z2=−b/a
z1z2=c/a.
Voir l’exercice 12 du TD pour une démonstration.
Remarque 4 (Cas particulier : somme et produit des racines)
Soient s,p∈C.
Les solutions complexes de ½z1+z2=s
z1z2=p.sont les couples (α1,α2) et
(α2,α1) où α1et α2sont les solutions de l’équation z2−sz +p=0.
Exercice 7 (Application directe)
1. Développer l’expression (x−1)(x−4) en une seule étape.
2. Factoriser l’expression x2−3x+2 en une seule étape.
3. Résoudre dans Cle système suivant : ½x+y=2(1+i)
x y =10i.
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Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Corollaire 10 (Cas réel)
On suppose que a,b,c∈R(avec a6=0). Dans ce cas ∆=b2−4ac ∈R.
•Si ∆>0 alors Padmet deux racines réelles distinctes :
α1=−b−p∆
2aet α2=−b+p∆ 2a.
•Si ∆=0 alors Padmet une unique racine réelle : α0=−b
2a.
•Si ∆<0 alors (E) admet deux racines complexes conjuguées :
α1=−b−ip−∆
2aet α1.
Le corollaire 8et la proposition 9sont encore valables dans R.
Exercice 8 (Application directe)
Résoudre dans Cles équations :
z2+2z+1=0 ; z2−2z+4=0 ; z+1
z=p2 ; z4−z2−5
2=0 ; z2+z+1=0.
3 Factorisation
3.1 Le théorème de d’Alembert-Gauss
Le théorème suivant fut appelé théorème fondamental de l’algèbre par Gauss, qui en
donna la première démonstration en 1849. Nous l’admettons ici.
Théorème 11 (d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme complexe non constant admet une racine dans C.
Exercice 9 (Cas d’un polynôme réel : application du TVI)
Soit Pun polynôme réel de degré impair.
Exprimer les limites de Pen +∞et en −∞ en fonction du signe du coefficient dominant
de P. En déduire que l’équation P(x)=0 admet (au moins) une solution réelle.
3.2 Factorisation polynôme complexe
Soit Pune fonction polynôme de degré nÊ1 à coefficients dans C.
En appliquant nfois le théorème 11, on obtient l’existence de complexes
α0
1,··· ,α0
n,K∈C(distincts ou confondus) tels que
∀z∈C,P(z)=K(z−α0
1)···(z−α0
n)=K
n
Y
j=1
(z−α0
i).
En regroupant les α0j, on obtient :
Proposition 12 (Factorisation sur le corps C)
Il existe K∈Cet des complexes α1,··· ,αpdeux à deux distincts tels
que : ∀z∈C,P(z)=K(z−α1)m1···(z−αp)mp=KQp
i=1(z−αi)mi,
avec
p
X
i=1
mi=deg(P).
Les αisont les racines complexes de Pet les mileurs ordres de multi-
plicité respectifs.
On dit aussi que Padmet nracines complexes, comptées avec leur mul-
tiplicité.
Exercice 10 (Illustration)
On pose η(z)=z3+2z2+z+2. Montrer que −2 est racine de η.
En déduire la factorisation de ηen produit de polynômes complexes de degré 1.
3.3 Factorisation d’un polynôme réel
On considère un polynôme P∈R[x] de degré nÊ1.
Lemme 13 (Racine et conjugué)
Si αest une racine complexe de Palors αaussi, de même multiplicité.
Ce lemme, combiné à la proposition 12, permet d’obtenir :
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Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Proposition 14 (Factorisation sur le corps R)
Il existe :
•des réels α1,··· ,αpdeux à deux distincts,
•des trinômes réels aix2+bix+ci(1 ÉiÉ`) à discriminants négatifs
et un réel Ktels que, pour tout x∈R,
P(z)=(z−α1)m1···(z−αp)mp(a1x2+b1x+c1)n1···(a`x2+b`x+c`)n1,
avec
p
X
i=1
mi+2
p
X
i=1
ni=deg(P).
Les αisont les racines complexes de Pet les mileurs ordres de multi-
plicité respectifs.
En particulier, Padmet au plus nracines réelles.
Exercice 11 (Application directe)
Factoriser dans Cpuis dans R:x3−x2+x−6 ; x3−1 ; x4+1 ; x4−2x3−x+2.
Exercice 12 (Racines de l’unité)
1. Soit n∈N∗. Rappeler les racines n−ièmes de l’unité.
En déduire la factorisation dans Cdu polynôme Φn:z7→zn−1.
2. En régroupant les facteurs associés à des racines conjuguées, en déduire la factori-
sation de Φdans R.
Travaux dirigés
A Polynômes à coefficients réels
Exercice 1 (Factorisation)
Factoriser dans C, puis dans Rles expressions suivantes :
(a) f(x)=x3−2x2−11x+12 ;
(b) g(x)=x4−x3−7x2+x+6 ;
(c) u(x)=x6+1 ;
(d) v(x)=x5+1 ;
(e) w(x)=x8+1 ;
(f) ε(x)=x2+x4+1.
Exercice 2 (Polynôme de degré 4)
Soit le polynôme réel P:x7→3x4+12x3+13x2+4x+4.
Montrer que −2 est une racine double de Ppuis factoriser P(x).
Exercice 3 (Polynôme de degré 3paramétré)
Soient a∈Ret P(x)=x3+(2−2a)x2+a(a−4)x+2a2.
Montrer aest une racine de Pd’ordre de multiplicité au moins égale à 2
et factoriser P.
Exercice 4 (Polynôme de degré 4paramétré)
Soient aun nombre réel et Ple polynôme défini par
P(x)=x4−ax3−3x2+x(3a−2)+2a
1. Montrer que −1 est une racine de P.
2. On suppose dans cette question que a6=−1
(a) Déterminer l’ordre de multiplicité de −1.
(b) À l’aide d’une division euclidienne convenable, factoriser le poly-
nôme Pen produit de facteurs de degré 1.
3. On suppose dans cette question que a=−1.
(a) Expliciter Pet déterminer l’ordre de multiplicité de −1.
(b) Factoriser le polynôme Pen produit de facteurs de degré 1 (sans
effectuer de division euclidienne).
äUn corrigé de 4.
1. P(−1) =1+a−3−(3a−2)+2a=0.
(a) P(−1) =0 ; P0(−1) =0 ; P00(−1) =6(1 +a)6= 0 d’après l’énoncé ;
donc −1 est un zéro d’ordre 2.
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