Racines d`un polynôme

Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Dans ce chapitre, K désigne l’un des corps R ou C.
(⇐) Réciroquement, Si P (z) est divisible par (z − α) alors il existe g ∈ K[z] tel que, pour
tout réel x, P (z) = (z − α)g (z). Donc : P (α) = (α − α)g (α) = 0.
1 Multiplicité
ä
Remarque 1 (Conséquence)
L’ensemble {k ∈ N : (z−α)k divise f } est donc non vide et d’autre part majoré par deg( f ).
Il admet donc un plus grand élément m. On peut donc poser :
On considère un polynôme P ∈ K[z] et un scalaire α ∈ K.
Définition 1 (Racine)
Définition 3 (Multiplicité d’une racine)
On dit que α est une racine de P si P (α) = 0.
On suppose que P n’est pas identiquement nul.
Si α est une racine de P alors il existe un entier m Ê 1 tel que :
Lemme 2 (CNS de factorisation)
Le scalaire α est racine de P si, et seulement si, (z − α) divise P .
(x − α)m divise P et (x − α)m+1 ne divise pas P.
Autrement dit, les seuls polynômes qui s’annulent en α sont ceux de la
forme (z − α)Q(z), où Q ∈ K[z].
Exercice 1 (Démonstration de 2)
1. Traiter le cas P = 0.
2. Dans cette question, on suppose que deg(P ) Ê 0 (i.e. P 6= 0).
(a) À l’aide de la DE, montrer qu’il existe Q ∈ K[z] tel que P (z) = (z − α)Q(z) + P (α).
On dit que m est l’ordre de multiplicité de la racine α de P .
On note ordα (P ) = m.
On convient que si α n’est pas racine de P alors ordα (P ) = 0.
Lorsque ordα (P ) Ê 1, on parle de racine multiple. Une racine d’ordre de
multiplicité 1 (resp. 2) est appelée racine simple (resp. double).
(b) En déduire que : P (α) = 0 ⇔ (z − α) divise P (z).
Exercice 2 (Illustration)
25
5
On pose θ(x) = 2x 3 − 9x 2 + 15
2 x + 2 . Montrer que 2 est racine d’ordre 2.
En déduire la factorisation de θ en produit de polynômes de degré 1.
(c) Quel-est le degré de Q ?
ä Démonstration de 2. On distingue deux cas :
(i) Si P = 0 alors P s’annulle en α et est divisible par (z − α).
Proposition 4 (Multiplicité et dérivation)
(ii) Si P 6= 0, on note alors n := deg(P ) Ê 0.
On suppose que P n’est pas identiquement nul.
(⇒) Supposons d’abord que P (α) = 0. La division euclidienne de P par z 7→ (z−α) donne
alors l’existence d’un unique couple de fonctions polynômes (Q, R) tel que,
∀ z ∈ K,
(i) Si α est une racine de P de multiplicité m Ê 1 alors α est une racine
de P 0 de multiplicité m − 1.
P (z) = (z − α)Q(z) + R(z) avec deg(R) < 1.
(ii) α est une racine de P de multiplicité m Ê 1 si, et seulement si,
P (α) = P 0 (α) = · · · = P (m−1) (α) = 0.
En particulier, R est une fonction constante. Or on a :
0 = P (α) = (α − α)Q(α) + R(α) donc R(α) = 0.
La fonction R est donc la fonction nulle, ce qui prouve que P (z) se factorise par (z − α).
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Exercice 3 (Illustration)
25
Retrouver le fait que θ(x) = 2x 3 − 9x 2 + 15
2 x + 2 admet
1/7
5
2
comme racine d’ordre 2.
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Exercice 4 (Racines de l’unité)
Pour n ∈ N∗ , on pose Φn (x) = z n − 1. Montrer que Φ n’admet que les racines simples.
Or, en faisant 12 (L 1 + L 2 ) → L1 et 12 (L 1 − L 2 ) → L2, on obtient :
2 Racines d’un trinôme du second degré
Lemme 5 (Racines carrées d’un nombre complexe)
(∈ R∗+ ).
On procède comme sur R : comme a 6= 0, on peut écrire, pour tout z ∈ C,
az 2 + bz + c
Z = X +iY .
Exprimer Z et |Z | en fonction de X et Y .
=
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µ
¶
b
c
a z2 + z +
a
a
·
µ ¶2 µ ¶2
¸
b
b
b
c
a z2 + 2
z+
−
+
2a
2a
2a
a
¶
¸
·µ
b 2 b 2 − 4ac
a z+
−
.
2a
4a 2
On obtient ainsi :
Lemme 6 (Forme canonique d’un trinôme)
(c) En déduire les valeurs. de X et Y puis les racines carrées de − 11
2 + 15i .
Exemple 1 (Calcul avec la forme algébrique et le module)
Pour obtenir les racines carrées de λ = 5 − 12 i ,
on cherche Z = X + i Y ∈ C tel p
que Z 2 = 5 −p
12 i .
2
Notons que : |Z | = |5 − 12i | = 25 + 144 = 169 = 13. D’autre part :
 2


2
 x + y = 13
2
2
2
2
2
2
x − y = 5 .
Z = (x − y ) + 2i x y, donc  Z = 5 − 12 i ⇔

2x y = −12
=
=
3. Avec la forme algébrique (rappel)
(b)
x = 3 et y = −2
x = −3 et y = 2.
Soient a, b et c trois nombres complexes, avec a non nul.
½
C −→ C
On cherche les racines du polynôme P :
z 7→ az 2 + bz + c.
2. Avec la forme exponentielle
p
(a) Écrire 3 − i sous forme exponentielle.
p
(b) On considère Z 2 = 3 − i et on pose Z = Rei θ .
p
Exprimer R et θ en fonction du module et de l’argument principal de 3 − i .
p
(c) En déduire les racines carrées de 3 − i sous formes exponentielles et algébriques.
(a)
⇔
L’équation générale de degré 2 dans C
Exercice 5 (Deux méthodes usuelles)
1. Cas simples : Déterminer les racines carrées de :
Calculer le module de − 11
2 + 15i .
11
2
On considère Z = − 2 + 15i et on pose
2
2
½
Les racines carrées de 5 − 12 i sont donc : 3 − 2i et − 3 + 2i .
Soit λ un nombre complexe non nul.
L’équation Z 2 = λ admet exactement deux solutions dans C, opposées
l’une de l’autre.
Ces solutions sont appelées les racines carrées complexes de λ.
• −2 ; ± i ; ± K i ; ± K
 2
 x =9
y2 = 4
⇔

xy < 0
 2
2
 x + y = 13
x2 − y 2 = 5

2x y = −12
Pour tout z ∈ C,
2
az + bz + c = a
·µ
b
z+
2a
¶2
¸
∆
− 2 ,
4a
où l’on a posé ∆ = b 2 − 4ac (appelé discriminant de P ).
À l’aide du lemme 5 et de la troisième identité remarquable, on en déduit :
2/7
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Désormais, on note α1 et α2 les racines complexes de P : z 7→ az 2 +bz +c.
Théorème 7 (Équation du second degré dans C)
Le polynôme P : z 7→ az 2 + bz + c = 0 admet deux racines complexes.
Corollaire 8 (Forme factorisée)
Soit δ une racine carrée complexe du discriminant ∆ = b 2 − 4ac.
−b + δ
−b − δ
et α2 =
.
Les racines de P sont alors : α1 =
2a
2a
Pour tout z ∈ C,
az 2 + bz + c = a (z − α1 )(z − α2 ).
¶
µ
b 2
2
.
En particulier, si ∆ = 0, alors : az + bz + c = a z +
2a
Remarque 2 (Racines distinctes ou confondues)
• Les racines de P sont distinctes si, et seulement si, ∆ 6= 0.
• Si ∆ = 0 alors P admet une unique racine, dite double : α0 =
½
Proposition 9 (Relations coefficients-racines)
−b
.
2a
Le couple (α1 , α2 ) ∈ C2 est solution du système
Remarque 3 (Discriminant réduit)
b
On peut parfois simplifier les calculs en posant b 0 =
et ∆0 = ∆4 .
2
On cherche alors δ0 ∈ C tel que δ02 = ∆0 et les racines de P sont
α1 =
z 1 + z 2 = −b/a
z 1 z 2 = c/a.
Voir l’exercice 12 du TD pour une démonstration.
−b 0 − δ0
−b 0 + δ0
et α2 =
.
a
a
Le nombre ∆0 = b 02 − ac est applelé discriminant réduit de (E ).
Remarque 4 (Cas particulier : somme et produit des racines)
Soient s, p ∈ C.
½
z1 + z2 = s
Les solutions complexes de
sont les couples (α1 , α2 ) et
z 1 z 2 = p.
(α2 , α1 ) où α1 et α2 sont les solutions de l’équation z 2 − sz + p = 0.
Exercice 6 (Application directe)
Résoudre dans C les équations : −2z 2 + (4 + 2i )z + 6i − 6 = 0 ; 2z 2 + i .
ä Démonstration de 7. D’après le lemme 5, il existe δ ∈ C tel que δ2 = ∆ ; alors :
·µ
¶ µ ¶2 ¸
b 2
δ
az 2 + bz + c = a z +
−
2a
2a
µ
¶µ
¶
b
δ
b
δ
= a z+
−
z+
+
2a 2a
2a 2a
µ
¶µ
¶
−b + δ
−b − δ
= a z−
z−
.
2a
2a
Exercice 7 (Application directe)
1. Développer l’expression (x − 1)(x − 4) en une seule étape.
On en déduit que P admet deux racines complexes :
2. Factoriser l’expression x 2 − 3x + 2 en une seule étape.
−b + δ
−b − δ
et α2 =
.
α1 =
2a
2a
ä
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3. Résoudre dans C le système suivant :
3/7
½
x + y = 2(1 + i )
x y = 10i .
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Corollaire 10 (Cas réel)
de P . En déduire que l’équation P (x) = 0 admet (au moins) une solution réelle.
On suppose que a, b, c ∈ R (avec a 6= 0). Dans ce cas ∆ = b − 4ac ∈ R.
2
• Si ∆ > 0 alors P admet deux racines réelles distinctes :
p
p
−b + ∆
−b − ∆
et α2 =
.
α1 =
2a
2a
3.2 Factorisation polynôme complexe
Soit P une fonction polynôme de degré n Ê 1 à coefficients dans C.
En appliquant n fois le théorème 11, on obtient l’existence de complexes
α01 , · · · , α0n , K ∈ C (distincts ou confondus) tels que
−b
.
2a
• Si ∆ < 0 alors (E ) admet deux racines complexes conjuguées :
• Si ∆ = 0 alors P admet une unique racine réelle : α0 =
∀ z ∈ C,
(z − α0i ).
En regroupant les α0j , on obtient :
Proposition 12 (Factorisation sur le corps C)
Il existe K ∈ C et des complexes α1 , · · · , αp deux à deux distincts tels
Qp
que : ∀ z ∈ C, P (z) = K (z − α1 )m1 · · · (z − αp )m p = K i =1 (z − αi )mi ,
p
X
avec
m i = deg(P ).
Le corollaire 8 et la proposition 9 sont encore valables dans R.
z 2 + 2z + 1 = 0 ; z 2 − 2z + 4 = 0 ; z + 1z =
n
Y
j =1
p
−b − i −∆
α1 =
et α1 .
2a
Exercice 8 (Application directe)
Résoudre dans C les équations :
P (z) = K (z − α01 ) · · · (z − α0n ) = K
i =1
Les αi sont les racines complexes de P et les m i leurs ordres de multiplicité respectifs.
p
5
2 ; z 4 − z 2 − = 0 ; z 2 + z + 1 = 0.
2
On dit aussi que P admet n racines complexes, comptées avec leur multiplicité.
3 Factorisation
3.1 Le théorème de d’Alembert-Gauss
Le théorème suivant fut appelé théorème fondamental de l’algèbre par Gauss, qui en
donna la première démonstration en 1849. Nous l’admettons ici.
Exercice 10 (Illustration)
On pose η(z) = z 3 + 2z 2 + z + 2. Montrer que −2 est racine de η.
En déduire la factorisation de η en produit de polynômes complexes de degré 1.
3.3 Factorisation d’un polynôme réel
Théorème 11 (d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme complexe non constant admet une racine dans C.
On considère un polynôme P ∈ R[x] de degré n Ê 1.
Lemme 13 (Racine et conjugué)
Exercice 9 (Cas d’un polynôme réel : application du TVI)
Soit P un polynôme réel de degré impair.
Exprimer les limites de P en +∞ et en −∞ en fonction du signe du coefficient dominant
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Si α est une racine complexe de P alors α aussi, de même multiplicité.
Ce lemme, combiné à la proposition 12, permet d’obtenir :
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Exercice 2 (Polynôme de degré 4)
Soit le polynôme réel P : x 7→ 3x 4 + 12x 3 + 13x 2 + 4x + 4.
Proposition 14 (Factorisation sur le corps R)
Il existe :
• des réels α1 , · · · , αp deux à deux distincts,
• des trinômes réels a i x 2 + b i x + c i (1 É i É `) à discriminants négatifs
et un réel K tels que, pour tout x ∈ R,
P (z) = (z − α1 )m1 · · · (z − αp )m p (a 1 x 2 + b 1 x + c 1 )n1 · · · (a ` x 2 + b ` x + c ` )n1 ,
p
p
X
X
avec
mi + 2
n i = deg(P ).
i =1
Montrer que −2 est une racine double de P puis factoriser P (x).
Exercice 3 (Polynôme de degré 3 paramétré)
Soient a ∈ R et P (x) = x 3 + (2 − 2a)x 2 + a(a − 4)x + 2a 2 .
Montrer a est une racine de P d’ordre de multiplicité au moins égale à 2
et factoriser P .
i =1
Les αi sont les racines complexes de P et les m i leurs ordres de multiplicité respectifs.
Exercice 4 (Polynôme de degré 4 paramétré)
Soient a un nombre réel et P le polynôme défini par
En particulier, P admet au plus n racines réelles.
Exercice 11 (Application directe)
Factoriser dans C puis dans R : x 3 − x 2 + x − 6 ; x 3 − 1 ; x 4 + 1 ; x 4 − 2x 3 − x + 2.
P (x) = x 4 − ax 3 − 3x 2 + x (3a − 2) + 2a
1. Montrer que −1 est une racine de P .
Exercice 12 (Racines de l’unité)
1. Soit n ∈ N∗ . Rappeler les racines n−ièmes de l’unité.
En déduire la factorisation dans C du polynôme Φn : z 7→ z n − 1.
2. On suppose dans cette question que a 6= −1
(a) Déterminer l’ordre de multiplicité de −1.
2. En régroupant les facteurs associés à des racines conjuguées, en déduire la factorisation de Φ dans R.
Travaux dirigés
(b) À l’aide d’une division euclidienne convenable, factoriser le polynôme P en produit de facteurs de degré 1.
3. On suppose dans cette question que a = −1.
(a) Expliciter P et déterminer l’ordre de multiplicité de −1.
A Polynômes à coefficients réels
(b) Factoriser le polynôme P en produit de facteurs de degré 1 (sans
effectuer de division euclidienne).
Exercice 1 (Factorisation)
Factoriser dans C, puis dans R les expressions suivantes :
(a) f (x) = x 3 − 2x 2 − 11x + 12
(b) g (x) = x 4 − x 3 − 7x 2 + x + 6
6
(c) u(x) = x + 1
;
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(d) v(x) = x 5 + 1
;
;
(e) w(x) = x 8 + 1
ä Un corrigé de 4.
;
;
1. P (−1) = 1 + a − 3 − (3a − 2) + 2a = 0.
(a) P (−1) = 0 ; P 0 (−1) = 0 ; P 00 (−1) = 6(1 + a) 6= 0 d’après l’énoncé ;
donc −1 est un zéro d’ordre 2.
(f ) ε(x) = x + x + 1.
2
4
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Exercice 7 (Équations du second degré)
Résoudre dans C les équations suivantes :
(b) Le polynôme P est divisible par (x + 1)2 .
La division de P par (x + 1)2 nous fournie l’égalité suivante
P (x) = (x + 1)2 (x 2 − x (a + 2) + 2a).
Calculons le discriminant du trinôme x 2 − x (a + 2) + 2a :
∆ = (a + 2)2 − 4 × 2a = a 2 − 4a + 4 = (a − 2)2 .
Les racines du trinôme sont 2 et −a d’où x 2 − x (a + 2) + 2a = (x − 2) (x − a).
Par suite : P (x) = (x + 1)2 (x − 2) (x − a).
•
z 2 + (1 + 2i )z − 1 + i = 0
•
•
z 2 + (1 + 2i )z + i = 0
•
•
z 2 + (1 + 2i )z + 3 − i = 0
1
z2 + i z + − i = 0
2
•
•
2. (a) P (x) = x 4 + x 3 − 3x 2 − 5x − 2.
P (−1) = 0 ; P 0 (−1) = 0 ; P 00 (−1) = 0 ; P (3) (−1) = −18 ;
donc −1 est une racine d’ordre 3.
(b) P (x) = (x + 1)3 S(x) avec deg(S) = 1 donc S(x) = ax + b. Le coefficient dominant (resp. constant) de (x + 1)3 (ax +b) est 1 ×1 × 1 × a = a (resp. a) et celui de P
est 1 (resp. −2) donc a = 1 et b = −2.
On obtient ainsi la factorisation de P : P (x) = (x − 2) (x + 1)3
•
Ã
p !
1
3
i =0
z 2 + (1 + 2i )z − + 1 −
2
4
z −2
= iz
z −1
7
z 2 + (4 + 3i )z − + 11i = 0
2
2
z + i z + 2 = 0.
Exercice 8 (Systèmes non linéaires)
Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (z 1 , z 2 ) ∈ C2 :
½
z1 z2
z 1 + 2z 2
=
=
1
−3
½
;
z1 z2
z 1 /2 + z 2
=
=
p
2 − 2i 3
p
3
(
;
z1 z2
=
z 1 + 2z 2
=
1
p2 .
3
ä
Exercice 5
Résoudre dans C les équations
z 3 − z 2 + 2 z + 4 = 0 et z 3 − 7z 2 + 19z − 13 = 0.
Pour chacune d’elle, on pourra chercher une racine évidente réelle.
Exercice 9 (Equation bi-carré)
p
p
1. Déterminer les racines carrées complexes de 1 + i 3 et 1 − i 3.
2. En déduire les solutions complexes de z 4 − 2z 2 + 4 = 0.
3. Résoudre de même les équations z 4 + z 2 + 1 = 0 et z 4 = 1.
Exercice 10 (Polynômes de degré supérieur)
1. Pour z ∈ C, on pose : P (z) = z 3 − (2 + i )z 2 + (2 + 2i )z − 2i .
(a) Montrer que P admet une seule racine imaginaire pure z 0 que l’on
calculera.
B Polynômes à coefficients complexes
(b) Factoriser P (z) par (z − z 0 ).
Exercice 6 (Racine carrée d’un complexe)
Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :
p
5
−1 ; i ; 4 + 3i ; 1 − i ; 5 + 5 i ; 2 3 − 2i ; − 3 i .
4
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(c) Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.
2. Résoudre de même C l’équation
z 3 − (7 + 3i )z 2 + (16 + 15i )z + 2 − 36i = 0.
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Chapitre no 10. Polynômes
Thème 10B. Racines d’un polynôme
Exercice 11
Pour z ∈ C, on note Φ(z) = z 3 − (8 − i )z 2 + (46 − 6i )z − 68 + 34i .
Exercice 13 (Calculs de cosinus)
1. Écrire les racines cinquièmes de l’unité sous forme exponentielle.
1. Calculer Φ(2 − i ).
2. (a) Déterminer le polynôme ϕ ∈ R[z] tel que,
2. Factoriser Φ(z) par (z − 2 + i ).
z 5 − 1 = (z − 1)ϕ(z).
∀ z ∈ C,
3. Résoudre l’équation P (z) = 0 dans C.
1
(b) On pose u = z + . Déterminer Θ ∈ C[z] tel que
z
C Applications diverses
∀ z ∈ C,
ϕ(z) = z 2 Θ(u).
Exercice 12 (Relations coefficients racines)
(c) En déduire les racines de ϕ sous forme algébrique.
I. Cas du degré 2
2
Soit P (x) = ax + bx + c un polynôme de degré 2 à coefficients dans K, 3. En déduire des expressions algébriques pour :
possédant deux racines α et β dans K.
4π
π
π
2π
; cos
; cos
et sin .
cos
1. Donner l’expression factorisée de P puis exprimer (α + β) et (α β) en
5
5
5
5
fonction de a, b et c.
½
Exercice 14 (Utilisation d’une transformation)
S = γ+δ
2. Réciproquement, soient γ et δ deux scalaires. On pose :
1. Montrer que, pour tout k ∈ N, il existe P ∈ R[x] tel que
P = γ δ.
Montrer que γ et δ sont les racines du polynôme P (x) = x 2 − Sx + P.
¶
1
.
x + k =P x+
x
x
k
1
µ
II. Cas du degré 3
Soit P (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 un polynôme de degré 3 à coefficients
1
dans K et possédant trois racines α1 , α2 , α3 ∈ K.
2. En posant y = x + , décomposer sur R les polynômes suivants :
Exprimer a 0 , a 1 , a 2 , a 3 en fonction de α1 , α2 et α3 .
x
4
3
2
• x + 4x + 8x + 4x + 1 ; x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 3x + 1 ; x 4 + 4x 3 + 4x + 1.
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