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Thème 10B. Racines d’un polynôme Chapitre no10. Polynômes
Dans ce chapitre, Kdésigne l’un des corps Rou C.
1 Multiplicité
On considère un polynôme P∈K[z] et un scalaire α∈K.
Définition 1 (Racine)
On dit que αest une racine de Psi P(α)=0.
Lemme 2 (CNS de factorisation)
Le scalaire αest racine de Psi, et seulement si, (z−α) divise P.
Autrement dit, les seuls polynômes qui s’annulent en αsont ceux de la
forme (z−α)Q(z), où Q∈K[z].
Exercice 1 (Démonstration de 2)
1. Traiter le cas P=0.
2. Dans cette question, on suppose que deg(P)Ê0 (i.e.P6=0).
(a) À l’aide de la DE, montrer qu’il existe Q∈K[z] tel que P(z)=(z−α)Q(z)+P(α).
(b) En déduire que : P(α)=0⇔(z−α) divise P(z).
(c) Quel-est le degré de Q?
äDémonstration de 2. On distingue deux cas :
(i) Si P=0 alors Ps’annulle en αet est divisible par (z−α).
(ii) Si P6=0, on note alors n:=deg(P)Ê0.
(⇒) Supposons d’abord que P(α)=0. La division euclidienne de Ppar z7→(z−α) donne
alors l’existence d’un unique couple de fonctions polynômes (Q,R) tel que,
∀z∈K,P(z)=(z−α)Q(z)+R(z) avec deg(R)<1.
En particulier, Rest une fonction constante. Or on a :
0=P(α)=(α−α)Q(α)+R(α) donc R(α)=0.
La fonction Rest donc la fonction nulle, ce qui prouve que P(z) se factorise par (z−α).
(⇐) Réciroquement, Si P(z) est divisible par (z−α) alors il existe g∈K[z] tel que, pour
tout réel x,P(z)=(z−α)g(z). Donc : P(α)=(α−α)g(α)=0. ä
Remarque 1 (Conséquence)
L’ensemble {k∈N: (z−α)kdivise f} est donc non vide et d’autre part majoré par deg(f).
Il admet donc un plus grand élément m. On peut donc poser :
Définition 3 (Multiplicité d’une racine)
On suppose que Pn’est pas identiquement nul.
Si αest une racine de Palors il existe un entier mÊ1 tel que :
(x−α)mdivise Pet (x−α)m+1ne divise pas P.
On dit que mest l’ordre de multiplicité de la racine αde P.
On note ordα(P)=m.
On convient que si αn’est pas racine de Palors ordα(P)=0.
Lorsque ordα(P)Ê1, on parle de racine multiple. Une racine d’ordre de
multiplicité 1 (resp. 2) est appelée racine simple (resp. double).
Exercice 2 (Illustration)
On pose θ(x)=2x3−9x2+15
2x+25
2. Montrer que 5
2est racine d’ordre 2.
En déduire la factorisation de θen produit de polynômes de degré 1.
Proposition 4 (Multiplicité et dérivation)
On suppose que Pn’est pas identiquement nul.
(i) Si αest une racine de Pde multiplicité mÊ1 alors αest une racine
de P0de multiplicité m−1.
(ii) αest une racine de Pde multiplicité mÊ1 si, et seulement si,
P(α)=P0(α)=···=P(m−1)(α)=0.
Exercice 3 (Illustration)
Retrouver le fait que θ(x)=2x3−9x2+15
2x+25
2admet 5
2comme racine d’ordre 2.
Hypokhâgne B/L — 2010/2011 1/7 Lycée Félix Éboué, le 25/02/11