Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions E. Dostal septembre 2013 Table des matières 3 Compléments sur les fonctions 3.1 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Définitions et dérivabilité . . . . . . . . . . . 3.1.2 Fonctions trigonométriques sur [0; π] . . . . . 3.1.3 Parité, périodicité et courbes représentatives 3.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Théorèmes d’opérations et de compositions . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4 4 5 5 6 7 Chapitre 3 Compléments sur les fonctions Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur R ou une partie de R et sont à valeurs dans R. Les intervalles considérés sont non vides et non réduits à un point. 3.1 3.1.1 Fonctions trigonométriques Définitions et dérivabilité On considère le cercle trigonométrique dans le repère orthonormé (O;~i, ~j). −−→ Soit M un point du cercle tel que (~i, OM ) = α [2π]. On cherche à déterminer les coordonnées de M dans le repère en fonction de α. Soient A et B les projetés orthogonaux de M sur les axes. • Si M est dans le quart de plan positif : Dans le triangle OAM rectangle en A, on a : cos(α) = De même sin(α) = coté opposé AM OB = = = OB hypoténuse OM OM OA coté adjacent = = OA hypoténuse OM Ainsi dans ce quart de plan, M a pour coordonnées ( cos α , sin α ) • Cas général : On étend cette propriété à tout le plan afin de définir le cosinus et le sinus de n’importe quel angle en radians, donc de n’importe quel réel α. −−→ Soit α un nombre réel. Soit M le point du cercle trigonométrique tel que (~i, OM ) = α [2π], alors, on définit le cosinus de α noté cos(α) comme l’abscisse de M et le sinus de α noté sin(α) comme l’ordonnée de M 2 E. Dostal - 2013 CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Définition 1 La fonction cosinus, notée cos, est la fonction définie sur R par : x 7→ cos(x) La fonction sinus, notée sin, est la fonction définie sur R par : x 7→ sin(x) • A l’aide du cercle trigonométrique, on complète : x cos x sin x 0 2π π π 2 3π 2 − 6π 2 • Valeurs remarquables de cos et sin : (tableau à connaı̂tre par coeur) x cos x sin x 0 1 0 π 6 π 4 √ √ 3 2 2 2 √ 1 2 2 2 3 π 3 π 2 π 1 2 0 −1 √ 3 2 1 0 E. Dostal - 2013 CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Proposition 1 Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout x ∈ R : cos′ (x) = −sin(x) sin′ (x) = cos(x) Conséquence : Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. Proposition 2 sin(x) =1 x→0 x lim 3.1.2 Fonctions trigonométriques sur [0; π] x 0 1 π 2 cos(x) & 0 .8 .6 .4 .2 .2 .4 .6 .8 .0 3.1.3 π π π x 0 2 sin(x) 1 0% &0 & −1 .8 .6 .4 .2 .2 .4 .6 .8 .0 1.57 1.57 Parité, périodicité et courbes représentatives Définition 2 Soit f une fonction définie sur Df telle que : 1. Df est centré en 0. (symétrique par rapport à O) 2. pour tout x dans Df on a : f (−x) = f (x) alors f est paire sur Df . Proposition 3 Si f est paire sur Df alors sa courbe représentative Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Exemple : La fonction cosinus est paire. Définition 3 Soit f une fonction définie sur Df telle que : 1. Df est centré en 0. (symétrique par rapport à O) 2. pour tout x dans Df on a : f (−x) = −f (x) alors f est impaire sur Df . 4 E. Dostal - 2013 CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Proposition 4 Si f est impaire sur Df alors sa courbe représentative Cf est symétrique par rapport à l’origine. Exemple : La fonction sinus est impaire. Remarque : Si une fonction est paire ou impaire (ce qui n’est pas souvent le cas), on peut se contenter de l’étudier sur R+ puis trouver le reste par symétrie. Définition 4 Soit f une fonction définie sur R et T un réel tel que pour tout x on a f (x + T ) = f (x) alors f est périodique de période T . Exemples : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π Remarque : Si une fonction est périodique de période T , on peut se contenter de l’étudier sur [0; T ] puis trouver le reste par translations successives de vecteur T~i et −T~i. Application : Tracer les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [−2π; 2π] 3.2 Dérivation 3.2.1 Nombre dérivé Définition 5 Soit f une fonction définie sur Df et a dans Df . (a) On dit que f est dérivable en a si la quantité f (a+h)−f admet une limite finie quand h h tend vers zéro. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en a et se note f ′ (a). On note : f (a + h) − f (a) h→0 h f ′ (a) = lim Définition 6 Soit f une fonction dérivable en a. Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;~i, ~j). La droite passant par A(a, f (a)) et de pente f ′ (a) est appelée tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a. Remarque : Dans le cas ou f n’est pas dérivable en a, on peut avoir 1. limite infinie, on parle de tangente verticale 2. limites en a à gauche et à droite distinctes, on parle de demi-tangentes. 3. pas de limite en a (meme à droite, ou à gauche) (exemple : f définie par f (x) = x sin( x1 ) si x 6= 0 et f (0) = 0) Proposition 5 Si f est dérivable en a alors une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse a est : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) 5 E. Dostal - 2013 3.2.2 CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Fonction dérivée Définition 7 Soient f une fonction définie sur Df et I un intervalle inclus dans Df . On dit que f est dérivable sur I lorsqu’ elle est dérivable en tout a de I. On peut alors définir la fonction dérivée de f sur I, notée f ′ de la manière suivante : f ′ : x 7−→ f ′ (x) les physiciens notent dy = f ′ (x)dx Théorème 6 Dérivées des fonctions usuelles fonction f dérivée f ′ ensemble de dérivabilité f : x 7−→ k f ′ : x 7−→ 0 R f : x 7−→ ax + b f ′ : x 7−→ a R f : x 7−→ xn avec n ≥ 1 f ′ : x 7−→ nxn−1 R 1 xn n f ′ : x 7−→ − xn+1 ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ f : x 7−→ avec n ≥ 1 f : x 7−→ √ f ′ : x 7−→ x 1 √ 2 x ]0; +∞[ f : x 7−→ sin x f ′ : x 7−→ cos x R f : x 7−→ cos x f ′ : x 7−→ − sin x R f : x 7−→ tan x f ′ : x 7−→ 1 + tan x2 = 1 cos x2 ] − π2 ; π2 [ Les dérivées de sinus et cosinus sont admises et les autres sont démontrées en exercice. Ce tableau est à connaı̂tre par coeur ! ! ! ! Remarque : La fonction racine est la seule à ne pas être dérivable sur tout son ensemble de définition puisqu’elle n’est dérivable que sur ]0; +∞[ alors qu’elle est définie sur [0; +∞[. Il est à noter que cependant, même si elle n’est pas dérivable en 0, elle admet tout de même une tangente en son point d’abscisse 0 sauf que cette tangente étant verticale, elle n’a pas de pente. 6 E. Dostal - 2013 3.2.3 CHAPITRE 3. COMPLÉMENTS SUR LES FONCTIONS Théorèmes d’opérations et de compositions Théorème 7 Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors : f + g, kf (k ∈ R), f g le sont aussi f 1 sont dérivables sur I Si de plus g ne s’annule pas sur I, et g g (démonstration vue en première) Corollaire 8 Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies Proposition 9 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I √ 1 Alors f = u est dérivable sur I et f ′ = √ u′ 2 u Proposition 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I Alors g = un est dérivable sur I et g ′ = nun−1 u′ Théorème 11 u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J avec u(I) ⊂ J Alors f = vou est dérivable sur I et pour tout x de I, f ′ (x) = v ′ (u(x))u′ (x) (démonstration admise) 7