Cours de Terminale S / Compléments sur les fonctions

Cours de Terminale S / Compl´ements sur les fonctions
E. Dostal
septembre 2013

Table des mati`eres
3 Compl´ements sur les fonctions 2
3.1 Fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1.1 D´efinitions et d´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1.2 Fonctions trigonom´etriques sur [0; π].......................... 4
3.1.3 Parit´e, p´eriodicit´e et courbes repr´esentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 D´erivation............................................. 5
3.2.1 Nombre d´eriv´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2.2 Fonction d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.3 Th´eor`emes d’op´erations et de compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1

Chapitre 3
Compl´ements sur les fonctions
Toutes les fonctions consid´er´ees dans ce chapitre sont d´efinies sur Rou une partie de Ret sont `a
valeurs dans R. Les intervalles consid´er´es sont non vides et non r´eduits `a un point.
3.1 Fonctions trigonom´etriques
3.1.1 D´efinitions et d´erivabilit´e
On consid`ere le cercle trigonom´etrique dans le rep`ere orthonorm´e (O;~ i,~ j).
Soit Mun point du cercle tel que (
~
i, −−→ OM) = α[2π]. On cherche `a d´eterminer les coordonn´ees de
Mdans le rep`ere en fonction de α.
Soient Aet Bles projet´es orthogonaux de Msur les axes.
•Si Mest dans le quart de plan positif :
Dans le triangle OAM rectangle en A, on a : cos(α) = cot´e adjacent
hypot´enuse =OA OM =OA
De mˆeme sin(α) = cot´e oppos´e
hypot´enuse =AM OM =OB OM =OB
Ainsi dans ce quart de plan, Ma pour coordonn´ees ( cos α , sin α)
•Cas g´en´eral : On ´etend cette propri´et´e `a tout le plan afin de d´efinir le cosinus et le sinus de
n’importe quel angle en radians, donc de n’importe quel r´eel α.
Soit αun nombre r´eel. Soit Mle point du cercle trigonom´etrique tel que (
~
i, −−→ OM ) = α[2π], alors,
on d´efinit le cosinus de αnot´e cos(α) comme l’abscisse de Met le sinus de αnot´e sin(α) comme
l’ordonn´ee de M
2

E. Dostal - 2013 CHAPITRE 3. COMPL ´ EMENTS SUR LES FONCTIONS
D´efinition 1
La fonction cosinus, not´ee cos, est la fonction d´efinie sur Rpar : x7→ cos(x)
La fonction sinus, not´ee sin, est la fonction d´efinie sur Rpar : x7→ sin(x)
•A l’aide du cercle trigonom´etrique, on compl`ete :
x0π2ππ
2
3π
2−6π 2
cos x
sin x
•Valeurs remarquables de cos et sin : (tableau `a connaˆıtre par coeur)
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos x1√3
2
√2
2
1
20−1
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
3

E. Dostal - 2013 CHAPITRE 3. COMPL ´ EMENTS SUR LES FONCTIONS
Proposition 1
Les fonctions cosinus et sinus sont d´erivables sur Ret pour tout x∈R:
cos′(x) = −sin(x)
sin′(x) = cos(x)
Cons´equence : Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
Proposition 2
lim
x→0
sin(x)
x= 1
3.1.2 Fonctions trigonom´etriques sur [0; π]
x0π
2π
cos(x)
1&0&−1
.2
.4
.6
.8
.2
.4
.6
.8
.0
1.57
x0π
2π
sin(x)
0%1&0
.2
.4
.6
.8
.2
.4
.6
.8
.0
1.57
3.1.3 Parit´e, p´eriodicit´e et courbes repr´esentatives
D´efinition 2 Soit fune fonction d´efinie sur Dftelle que :
1. Dfest centr´e en 0. (sym´etrique par rapport `a O)
2. pour tout xdans Dfon a : f(−x) = f(x)
alors fest paire sur Df.
Proposition 3 Si fest paire sur Dfalors sa courbe repr´esentative Cfest sym´etrique par
rapport `a l’axe des ordonn´ees.
Exemple : La fonction cosinus est paire.
D´efinition 3 Soit fune fonction d´efinie sur Dftelle que :
1. Dfest centr´e en 0. (sym´etrique par rapport `a O)
2. pour tout xdans Dfon a : f(−x) = −f(x)
alors fest impaire sur Df.
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