EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR

ETIENNE Sylvain
PLC 1, groupe 1
EXPOSE 73 : FORMULES DE TAYLOR. APPLICATIONS.
Niveau : Complémentaire.
Pré-requis : Intégrale, intégration par parties – Théorème de Rolle – Règle de L’Hôpital.
I. INTRODUCTION.
Etant donné un polynôme P de degré n, une formule permet de calculer P ( b ) quand la
valeur de P et de ses n premières dérivées en a est connue. Si P est, non plus un polynôme de
degré n, mais une fonction quelconque, ce résultat n’est plus exact. Nous avons toutefois une
formule analogue, avec un terme supplémentaire, appelée formule de Taylor.
II. FORMULE DE TAYLOR RESTE INTEGRAL.
Soit I = [ a, b ] un intervalle fermé, où a et b sont des réels tels que a < b.
A) ENONCE.
Théorème 1 :
Soit f : I → \ une fonction de classe C n +1 sur I, où n est un entier naturel.
Alors :
( b − a ) f ′′ a + ...
b−a
f (b ) = f ( a ) +
f ′(a) +
( )
1!
2!
2
( b − a ) f ( n) a + b ( b − t ) f ( n+1) t dt.
... +
( ) ∫a
()
n!
n!
n
n
(2.1)
Démonstration :
Nous allons faire une démonstration par récurrence sur n ≥ 0 . Soit Pn , la proposition :
( b − a ) f ( n) a + b ( b − t ) f ( n+1) t dt. ’’
b−a
f ′ ( a ) + ... +
‘‘ f ( b ) = f ( a ) +
( ) ∫a
()
1!
n!
n!
n
n
Pour n = 0, la formule (2.1) se réduit à :
b
f ( b ) = f ( a ) + ∫ f ′ ( t ) dt.
a
Or la dérivée de f est continue, donc P0 est vraie.
Soit n ≥ 0 . Supposons que Pn soit vraie, alors montrons que Pn +1 est vraie. Pour cela,
supposons que f admet des dérivées continues jusqu’à l’ordre n+2 sur I.
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Une intégration par parties donne :
∫
b
(b − t )
f
n!
a
b
n
( n +1)
n +1
 ( b − t )n +1 ( n +1) 
b
b − t )  ( n + 2)
(
f
f
( t ) dt =  −
( t )  − ∫a  −
( t ) dt ,

+
1
!
n
(
)
 ( n + 1) !
 a


(b − a )
=
( n + 1)!
n +1
f
( n +1)
(b − t )
( a ) + ∫a
( n + 1)!
b
n +1
f ( n + 2) ( t ) dt.
Ainsi, en remplaçant dans (2.1) le dernier terme par la valeur précédente, nous
obtenons la récurrence au rang n+1 et Pn +1 est vraie.
D’après le principe de récurrence, comme P0 est vraie, nous avons pour tout n ≥ 0 :
( b − a ) f ( n) a + b ( b − t ) f ( n+1) t dt.
b−a
f (b ) = f ( a ) +
f ′ ( a ) + ... +
( ) ∫a
()
1!
n!
n!
n
n
,
Corollaire 2 : Inégalité de Taylor-Lagrange.
Soit f : I → \ une fonction de classe C n +1 sur I, où n est un entier
naturel. Alors : si M = sup f (
n)
:
I
n +1
n


b − a ) ( n)
b−a
(
b−a
′
f (b ) −  f ( a ) +
f ( a ) + ... +
f ( a ) ≤ M
.
n!
1!
( n + 1)!


(2.2)
Démonstration :
Si a ≤ b , nous avons :
∫
b
a
(b − t )
n
f
n!
( n +1)
b
( t ) dt ≤ ∫a
≤∫
b
a
(b − t )
n
f ( n +1) ( t ) dt ,
n!
(b − t )
n!
n
Mdt ,
M  (b − t )
≤
−
n ! 
n +1
n +1
b
n +1

b − a)
(
.
 =M
( n + 1)!
 a
De même, si a ≥ b , il vient:
∫
b
a
(b − t )
n!
n
f
( n +1)
( t ) dt
( a − b)
≤M
( n + 1)!
n +1
.
,
En appliquant la formule (2.1), le corollaire 2 est montré.
Corollaire 3 : formule de Maclaurin.
Si f est de classe C n +1 sur un intervalle fermé d’extrémités 0 et x, en remplaçant
dans (2.1) a par 0, et b par x, nous obtenons :
x (x −t)
x
x2
xn (n)
n 1
′
′′
f ( x ) = f ( 0) + f (0) +
f ( 0 ) + ... +
f (0) + ∫
f ( + ) ( t ) dt.
0
1!
2!
n!
n!
n
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(2.3)
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B) APPLICATION.
Taylor-Reste Intégral est pratique dans le sens où il est plutôt aisé de majorer (et/ou
minorer) une intégrale.
Nous allons voir une démonstration de l’irrationalité de e.
Soit f : [ 0,1] → \,
x 6 ex
et n un entier naturel, n ≥ 2 . f est de classe C ∞ sur [ 0,1] , donc satisfait les hypothèses du
théorème. Soit x ∈ [ 0,1] . En appliquant la formule (2.3), nous avons :
x (x −t)
x x2
xn
e = 1 + + + ... + + ∫
et dt .
1! 2!
n! 0 n!
n
x
1 (1 − t )
1 1
1
Et pour x = 1 : e = 1 + + + ... + + ∫
et dt .
1! 2!
n! 0 n!
Ainsi, nous obtenons la majoration suivante :
1 1
1
1 1
1 1
1 + + + ... + < e < 1 + + + ... + + .
1! 2!
n!
1! 2!
n! n!
p
Supposons e rationnel, i.e. : e =
avec p ∧ q = 1 . En multipliant les trois membres de
q
l’inégalité par n ! , nous obtenons ∀n ≥ 2 :
1
p
1  n!
 1 1
 1 1
n ! 1 + + + ... +  < n ! < n ! 1 + + + ... +  + .
2!
n
!
q 2!
n
!  n!
 1!
 1!
n
un
un
Or un est un entier et il en est de même pour n !
un < n !
p
à partir d’un certain rang, d’où :
q
p
< un + 1 . Contradiction.
q
III. FORMULE DE TAYLOR-LAGRANGE.
A) ENONCE.
Théorème 4 :
Soit f : I → \ , de classe C n sur I, telle que la dérivée (n+1)-ième de f existe
sur ]a, b[ .
Alors, il existe c ∈ ]a, b[ tel que
( b − a ) f ( n) a + ( b − a ) f ( n+1) c
b−a
f (b ) = f ( a ) +
f ′ ( a ) + ... +
( )
( ).
1!
n!
( n + 1)!
n
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n +1
(3.1)
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Démonstration :
Nous allons utiliser le théorème de Rolle appliqué à la fonction suivante :
( b − x ) f ( n) x − A ( b − x ) et A tel que ϕ a = 0 .
b−x
ϕ ( x ) = f (b ) − f ( x ) −
f ′ ( x ) − ... −
( )
( )
n!
1!
( n + 1)!
n
n +1
Nous avons bien : ϕ ( a ) = ϕ ( b ) = 0 etϕ est de classe C n sur [ a, b ] , C n +1 sur ]a, b[ , donc
d’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que nous avons la formule (3.1).
,
Remarques :
• Si n = 0, nous retrouvons le théorème des accroissements finis.
• La formule reste vraie si a > b .
• La formule de Taylor-Lagrange fournit un résultat sur le comportement global de la
fonction.
Corollaire 5 : formule de Maclaurin.
Soit f : I → \ , de classe C n sur I, telle que la dérivée (n+1)-ième de f existe
sur ]a, b[ et supposons que 0 ∈ I .
Alors ∀x ∈ [ a, b ] , ∃θ ∈ ]0,1[ tel que :
f ( x ) = f ( 0) +
x
x n ( n)
x n +1
n +1
f ′ ( 0 ) + ... +
f ( 0) +
f ( ) (θ x ) .
1!
n!
( n + 1)!
Démonstration :
Il suffit de remplacer dans la formule (3.1) b par x, et a par 0. Et dans ce cas, nous
,
avons θ x ∈ ]0, x[ .
B) APPLICATIONS.
1) Comparaison exponentielle/polynôme.
ex
∀n ≥ 1 , nous avons lim n = +∞ .
x →+∞ x
En effet, soit n ≥ 1 , appliquons Taylor-lagrange à la fonction f : [ 0 ; x ] → \, x 6 e x ;
il vient : e x = 1 +
x
xn
x n +1
n 1
+ ... + +
f ( + ) ( c ) pour un certain c ∈ ]0, x[ et f ( n +1) ( c ) = ec .
1!
n ! ( n + 1) !
x n +1
( n + 1)! = +∞ , ce qui donne le résultat.
Or ec ≥ 1 sur \ + , et lim
x →+∞
xn
2) Autre exemple.
i
Si f est C 2 de \ dans \ , et avec M i pour i ∈ {0,1, 2} défini comme le sup de f ( ) ,
alors nous avons : M 1 ≤ 2 M 0 M 2 .
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En effet, par Taylor-Lagrange, nous avons f ( a + x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) x +
pour
un
f ′(a) ≤
certain
c ∈ ]a, a + x[ ,
f ′(a) =
d’où
f (a + x) − f (a) 1
− f ′′ ( c ) x ,
x
2
1
f ′′ ( c ) x 2
2
et
donc
2M 0 M 2 x
M0
+
, minimal pour x = 2
.
x
2
M2
IV. FORMULE DE TAYLOR-YOUNG.
A) ENONCE.
Théorème 6 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une dérivée n-ième en a. Alors :
f ( x) = f (a)
( x − a)
+
1!
où lim ε n ( x − a ) = 0 .
f ′ ( a ) + ... +
( x − a)
n
n!
f(
n)
(a) + ( x − a)
n
εn ( x − a) ,
(4.1)
x →a
Démonstration :
Démonstration par récurrence sur n ∈ `* .
Soit
Qn :
‘‘ f ( x ) = f ( a )
( x − a)
+
lim ε n ( x − a ) = 0 .’’
1!
f ′(a)
( x − a)
+ ... +
n!
n
f(
n)
(a) + ( x − a)
n
εn ( x − a) ,
où
x →a
Pour n = 1, nous retrouvons la formule de la dérivée de f en a, i.e. :
 f ( x) − f (a) 
lim 
 = f ′ ( a ) . Ainsi Q0 est vraie.
x →a
−
x
a


Soit n ≥ 1 . Supposons que Qn soit vraie, alors montrons que Qn +1 est vraie. Pour cela,
supposons que f admet une dérivée n + 1-ième en a.
L’existence de la dérivée de f d’ordre n + 1 en a, suppose l’existence d’un intervalle J
sur lequel f est n fois dérivable.
n +1
ϕ : x → f ( x) − ∑
Considérons les fonctions définies sur J :
( x − a)
k!
k =0
( x − a)
ψ :x→
( n + 1)!
k
f(
k)
(a),
n +1
et
•
.
ϕ (a) =ψ (a) = 0 .
ϕ et ψ sont dérivables sur J.
n
Sur J, nous avons : ϕ ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ∑
•
ψ ′ ne s’annule pas sur J \ {a} .
k =0
( x − a)
k!
k
f
( k +1)
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( a ) , et ψ ′ ( x )
( x − a)
=
n!
n
.
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En utilisant l’hypothèse de récurrence à l’ordre n pour la fonction f ′ , nous obtenons :
n
f ′( x) − ∑
( x − a)
k =0
k
k!
f(
k +1)
ε ( x − a ) = 0 .
( a ) = ( x − a ) ε ( x − a ) , avec lim
x →a
n
ϕ′( x)
=0.
x →a ψ ′ ( x )
Nous sommes dans les conditions d’application de la règle de L’Hôpital et ainsi :
ϕ ( x)
lim
= 0.
x →a ψ ( x )
•
Ce qui nous donne : lim
D’où nous déduisons l’existence de ε n +1 telle que :
f ( x) = f (a)
( x − a)
+
1!
( x − a)
f ′ ( a ) + ... +
( n + 1)!
n +1
f(
n +1)
(a) + ( x − a)
n +1
ε n +1 ( x − a ) ,
où lim ε n +1 ( x − a ) = 0 .
x →a
Qn +1 est ainsi démontrée.
Donc d’après le principe de récurrence, comme Q0 est vraie, alors ∀n ≥ 1 , nous avons :
f ( x) = f (a)
( x − a)
+
1!
f ′(a)
( x − a)
+ ... +
n!
n
f(
n)
(a) + ( x − a)
n
ε n ( x − a ) et lim ε n ( x − a ) = 0 . ,
x →a
Remarque :
• La formule de Taylor-Young fournit un résultat local sur la fonction f.
B) APPLICATIONS.
1) Approximation successive.
Avec la calculatrice, nous faisons des approximations successives de x 6 sin x à
l’ordre 1, 3, 5, 7 et 9.
Cela donne :
2) Lien avec les développements limités.
Si f est de classe C n en a, alors elle admet un développement limité d’ordre n en a.
La réciproque est fausse : contre-exemple :
1

2
3
1 + x + x + x sin si x ≠ 0,
f :x→
x
0
sinon.
f a un développement limité d’ordre 2 en 0, mais n’est pas deux fois dérivable en 0.
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3) Allure d’un graphe au voisinage d’un point.
Soit f, une fonction définie sur un intervalle ouvert I, et x0 un point de I. Nous
supposons que f est indéfiniment dérivable dans I, et que les nombres f ′′ ( x0 ) , f ′′′ ( x0 ) … ne
sont pas tous nuls. Soit n le plus petit entier ≥ 2 tel que f ( n ) ( x0 ) ≠ 0 (le plus souvent, n = 2).
En appliquant la formule, nous obtenons :
hn
n
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + hf ′ ( x0 ) +  f ( ) ( x0 ) + ε n ( h )  avec ε n ( h ) 
→0 .
h →0
n!
Soit
M 0 ( x0 , f ( x0 ) ) .
L’équation
de
la
tangente
en
x0 + h
est
g ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ′ ( x0 ) .
Nous avons donc :
hn  ( n)
f ( x0 ) + ε n ( h )  avec ε n ( h ) 
→0 .
h →0
n! 
Ainsi pour h suffisamment petit, f ( x0 + h ) − g ( x0 + h ) est du signe de h n f ( n ) ( x0 ) .
f ( x0 + h ) − g ( x0 + h ) =
Nous pouvons distinguer quatre cas :
n
Cas 1 a : n pair, f ( ) ( x0 ) > 0 . Alors
Cas 2 a : n impair, f (
f ( x0 + h ) ≥ g ( x0 + h ) pour h assez petit.
n)
( x0 ) > 0 .
Alors
f ( x0 + h ) − g ( x0 + h ) est du signe de h
pour h assez petit.
Cas 1 b : n pair,
f
( n)
( x0 ) < 0 .
Cas 2 b : n impair, f (
Alors
n)
( x0 ) > 0 .
Alors
f ( x0 + h ) − g ( x0 + h ) est du signe de -h
f ( x0 + h ) ≤ g ( x0 + h ) pour h assez petit.
pour h assez petit.
V. CONCLUSION.
Nous avons vu qu’il y avait trois formules de Taylor qui restent différentes quant à
leurs hypothèses et à leurs applications. Cette notion permet d’étudier « localement » des
fonctions ; elle s’utilise aussi dans le développement limité ou en théorie des séries entières.
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