Problème 1

DM 8 pour le 7 mai 2012
MÉCANIQUE – ÉLECTRICITÉ – ÉLECTROMAGNÉTISME – CHIMIE
Problème 1
On étudie le choc de deux protons (masse m, charge q) dans le référentiel
du laboratoire lié au repère (O, ex,ey,ez) supposé galiléen. On suppose que
ces deux protons ne sont soumis à aucune force exceptée la force d’interac-
tion électrostatique dont on rappelle la forme : la force ressentie par q1en P1
ayant pour origine la présence de q2en P2est :
f2→1=q1q2
4πε0
u
r2=Ku r2pour r=°
°
°P2P1°
°
°et u=P2P1
r
À l’état initial, on suppose que les deux protons sont très éloignés l’un de
l’autre, P2est fixe et P1est animé d’une vitesse initiale v01 = −v0ex. Il se
dirige vers P2avec un paramètre d’impact b=3×10−12 m.
On rappelle que m=1,67 ×10−27 kg, q=1, 6 ×10−19 C, ε0=8,85 ×10−12 F.m−1.
La vitesse initiale dans le référentiel du laboratoire du proton P1est v0=
3×105m.s−1.
Partie I : réduction du problème à deux
corps
On note G le barycentre du système P1, P2.
1. Définir le référentiel de centre de masse du système P1, P2.
2. On pose le point M tel que GM =P2P1=r. Montrer dans le référentiel du
centre de masse (que l’on notera désormais RCM), que l’étude du système se
réduit à l’étude du point M, dont on donnera la masse et le système de forces
qui est appliqué.
Dans toute la suite, on notera µla masse et vla vitesse du point M.
On travaille désormais dans le Référentiel du Centre de Masse.
3. Exprimer les quantités de mouvement p∗
1et p∗ 2des deux protons en fonc-
tion de µet de v.
4. Exprimer le moment cinétique σ∗
Gdu système en G en fonction de µ,vet
ret l’énergie cinétique totale du système E∗
cen fonction de µet de v, module
de v.
5. Montrer que le mouvement des particules est plan. On considérera que ce
plan est le plan xGyet on travaillera désormais en coordonnées cylindriques
(er,eθ,ez) dans ce plan.
On désigne par θl’angle de Oxavec er, ce dernier étant le vecteur unitaire
tel que r=r er=P2P1
Calculer la norme du moment cinétique initial : on pose °
°σ∗
G°
°=µC, exprimer
Cen fonction de bet de v0.
6. Donner les expressions de l’énergie potentielle Epd’interaction électrosta-
tique du système et de l’énergie mécanique totale Etdu système.
Montrer que l’énergie mécanique est constante, et calculer sa valeur en fonc-
tion de µet v0.
Partie II : Étude de la trajectoire du mobile
réduit dans le RCM
7. On pose u=1
r. Soit (er,eθ) la base locale des coordonnées polaires.
Exprimer la vitesse vde M en fonction de C,uet du
dθdans la base (er,eθ).
De même, exprimer l’accélération ade l’objet en fonction de C,u,du
dθet d2u dθ2
dans la base (er,eθ).
8. En déduire que la trajectoire en polaires se met sous la forme : r=
p
−1+ecos(θ−θ0)
En déduire une relation simple entre ple paramètre de la conique, Kla
constante de la force électrostatique, µla masse du point M, et la constante
C.
9. Exprimer l’énergie mécanique en fonction de µ,C,u,du
dθ,K.
Que peut-on dire de µdu
dθ¶(r=rmin)? En déduire la distance minimale d’ap-
proche rmin en fonction de C,Ket v0.
Calculer numériquement rmin, commenter.

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10. Le vecteur position initial GMiest colinéaire à l’axe Gx:G Mi=Xiex+b ey,
avec Xi≫b, l’angle θiest donc nul.
Déterminer u(0) et µdu
dθ¶(0) en fonction de e,b,K,µ,v0,θ0.
En déduire l’excentricité de la trajectoire eet l’angle θ0en fonction de b,µ,
v0et K.
Calculer numériquement eet θ0.
Que représente l’angle θ0?
11. Déterminer l’angle θfentre l’axe Gxet le vecteur position final GMfinal
du point M dans le référentiel du centre de masse RCM.
12. Déterminer les vitesses v∗
1final et v∗ 2final de P1et de P2après le choc,
lorsque l’interaction est négligeable : on déterminera les normes de ces vi-
tesses et les angles ϕ∗
1=(−ex,v∗
1final)et ϕ∗
2=(−ex,v∗
2final).
Quelle relation simple existe-t-il entre ϕ∗
1et ϕ∗ 2? Aurait-on pu la prévoir ?
On fera un schéma respectant ces valeurs numériques.
Partie III : Passage dans le référentiel du
laboratoire
13. En utilisant la loi de la composition des vitesses, déterminer les vitesses
finales v1final et v1final de P1et de P2après le choc dans le référentiel du labo-
ratoire : on déterminera leur norme ainsi que les angles ϕ1=(−ex,v1final)et
ϕ2=(−ex,v2final).
Faire un schéma respectant les valeurs numériques, Commentaires.
14. Existe-t-il une relation simple entre les quantités de mouvement des pro-
tons avant l’interaction et après l’interaction? Si oui, aurait-on pu la prévoir ?
De même, y-a-t-il d’autres relations simples entre grandeurs physiques
avant l’interaction et après l’interaction ?
Problème 2
1. Étude électrique du moteur
Du point de vue électrique, le moteur peut être modélisé par un dipôle R,L
série.
1 : Alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz et de valeur ef-
ficace 220 V, le moteur consomme une puissance de 1 kW pour une intensité
efficace de 7 A.
1-1 : Calculer le facteur de puissance cos ϕdu moteur, ϕreprésentant le dé-
phasage courant-tension dans le moteur. Décrire un montage permettant de
déterminer expérimentalement ϕet cos ϕ.
1-2 : Calculer Ret L.
2 : On ajoute un condensateur de capacité Cen parallèle avec le moteur (Fi-
gure 7).
2-1 : Calculer Cpour que le facteur de puissance de l’ensemble moteur-
condensateur soit égal à 1.
2-2 : Le fonctionnement du moteur est-il modifié ? Quel est l’intérêt de rame-
ner le facteur de puissance à la valeur 1 ?
2. Vibrations du moteur
Lorsque le moteur fonctionne, un balourd provoque des vibrations du châs-
sis. Il est nécessaire de prévoir un système de suspension.
Le moteur est assimilé à un point matériel de masse m.
La suspension peut être modélisée par un ressort de longueur à vide ℓ0et de
raideur k, placé en parallèle avec un amortisseur qui exerce sur le moteur
une force de freinage f=−αdz
dt uz(Figure 8).
1 : Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile. Déterminer la longueur
ℓdu ressort. La position du moteur dans ce cas est prise comme origine de
l’axe Oz.
2 : Le moteur étant toujours arrêté, on écarte le moteur de sa position d’équi-
libre puis on le 1aisse évoluer librement.
2-1 : Établir avec soin l’équation différentielle vérifiée par z(t).
2-2 : on pose λ=α
2m,ω2
0=k
m, et on suppose λ<ω0.

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Donner la forme générale de la solution z(t)en fonction des paramètres λet
ω0.
Comment appelle-t-on ce type de régime ?
2-3 : Écrire l’énergie mécanique EMdu système en fonction de zet d z
dt .
Le système est-il conservatif ?
Que vaut dEM
dt ? Retrouver ainsi l’équation du mouvement obtenu en 2-l.
3 : Le moteur fonctionne, tout se passe alors comme s’il apparaissait une
force supplémentaire de la forme : F=F0cos(ωt)uZ
3-1 : Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t).
3-2 : En régime sinusoïdal établi on recherche des solutions de la forme :
z(t)=Z0cos(ωt+ϕ)et v(t)=dz
dt =V0cos(ωt+ψ).
Donner l’équation vérifiée par la grandeur complexe V=V0ejψ
3-3 : Exprimer V0en fonction de ωet des paramètres λ,ω0et F0
m.
Donner l’allure de V0(ω).
3-4 : La pulsation ωvaut 628 rad.s−1. Le moteur a une masse m=10 kg et on
dispose de deux ressorts de raideur k1=4.106N.m−1et k2=106N.m−1. Lequel
faut-il choisir pour réaliser la suspension ?
Problème 3
1 Magnétostatique et régimes quasi-stationnaires.
Quelles sont les lois qui régissent le champ magnétique dans l’approxima-
tion des états quasi-stationnaires ? On pourra écrire ces lois sous leur forme
intégrale. Quelle condition doivent remplir les courants qui produisent ce
champ ?
2 Champ magnétique créé par une bobine.
On considèrera qu’une bobine est formée de Nspires circulaires très proches
les unes des autres.
2-1. Champ sur l’axe.
On donne une spire circulaire de rayon R, de centre O, d’axe Oz. Cette spire
est parcourue par un courant électrique d’intensité Iconstante.
Montrer par des arguments de symétrie que, sur l’axe, le vecteur champ ma-
gnétique Best porté par l’axe et prend donc la forme B=B(z)ez.
Calculer le champ magnétique créé en un point M de l’axe, tel que OM =z.
On donnera le résultat en fonction de α(voir figure), puis de z.
Tracer le graphe représentant les variations de la fonction B(z). On posera
dans la suite : B(O)=B0;B(z)=B0.F(z/R).
2-2 Champ au voisinage de l’axe.
On s’intéresse maintenant au champ magnétique au voisinage de l’axe. On
calcule donc ce champ en un point M’ défini par ses coordonnées cylindriques
(r,θ,z).
2.2.a. Montrer par des arguments de symétrie très précis, qu’en M’, Bn’a
pas de composante orthoradiale Bθ. Montrer également que le module de B
ne dépend que de ret de z.
2.2.b. Montrer qu’on peut considérer qu’au voisinage de l’axe, le flux de Bet
sa circulation sont conservatifs.
2.2.c. Calculer le flux de Bà travers une surface fermée cylindrique d’axe Oz
de rayon rfaible, dont les bases sont dans des plans de cotes zet z+d z (Voir
figure ci-dessus). En déduire que :
Br=−r
2
dB
d z (z)
2.2.d. De même, calculer la circulation de Ble long d’un rectangle de hauteur

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d z et largeur r(voir figure ci-dessus). En déduire que :
Bz(r,z)=B(z)−r2
4
d2B
d z2(z)
2.2.e. Calculer explicitement Bz(r,z)à cette approximation.
Application :
On se place au voisinage du centre O d’une spire de rayon R. De combien
peut-on s’écarter dans le plan de la spire pour que la composante axiale du
champ magnétique diffère du champ B0au centre de moins de 1% ?
Problème 4
Champ magnétique créé par une nappe plane de
courant
On envisage une distribution de courant volumique uniforme et constante
de densité de courant J=J0exentre les plans z= −a
2et z= +a 2et nulle pour
|z|>a
2(figure 1).
1 ) Par une analyse des symétries, déterminer la direction du champ magné-
tique B. Justifier que le champ Bne dépend que de z. Montrer, également
par un argument de symétrie, que B(z=0) =0.
2 ) Déterminer Bpour |z|<a
2. Montrer que Best uniforme pour z< −a 2et
z>+a
2.
3 ) Justifier que le champ est continu au passage par les interfaces z=−a
2et
z=+a
2et en déduire les expressions de Bpour z<−a 2et z>+a 2.
4 ) On suppose désormais que atend vers 0, le produit J0arestant égal à une
constante Js(appelée densité de courants surfaçiques).
Déterminer les expressions de Ben fonction de µ0et Jspour z>0et pour
z<0.
Etablir la relation de passage donnant B(z=0+)−B(z=0−).
Attention !
Pour le Problème suivant, on ne traitera
pas les parties I et II
Problème 5
Autour du soufre
Le problème comporte trois parties indépendantes :
La partie Iporte sur l’architecture de la matière ;
La partie II porte sur la thermodynamique chimique ;
La partie III porte sur les solutions aqueuses et la cinétique.

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Données à T = 298 K :
* Eléments :
OZ=8M=16 g.mol−1
SZ=16 M=32 g.mol−1
Zn Z=30 M=64 g.mol−1
* Nombre d’AVOGADRO :NA=6,02.1023 mol−1
* On note :
Co
p: capacité thermique molaire standard
∆fHo: enthalpie standard de formation molaire
SO2(g)O2(g)SO3(g)N2(g)
∆fHo(kJ.mol−1) -297 -396
Co
p(J.K−1.mol−1) 39.9 29,4 50,7 29,1
* H2S/HS−pK1= 7
HS−/S2−pK2= 13
* S2O2−
8/ SO2− 4Eo 1= 2,01 V
I2/I−Eo
2= 0,62 V
Fe3+/Fe2+Eo
3= 0,77 V
*RT
Fln10 =0,06 V
I - ARCHITECTURE DE LA MATIERE
I-1 : Donner la structure électronique de l’oxygène et du soufre. Comparer
leur électronégativité.
I-2 : Ecrire la formule de LEWIS, prévoir la géométrie et représenter les es-
pèces suivantes : H2S, SO2, SO3.
On donnera une valeur approximative des angles entre liaisons.
I-3 : Pour chacune des molécules précédentes, discuter l’existence d’un mo-
ment dipolaire.
Préciser son orientation sur un schéma .
II - THERMODYNAMIQUE CHIMIQUE
Une étape importante de la synthèse industrielle de l’acide sulfurique est
l’oxydation du dioxyde de soufre en trioxyde de soufre par l’oxygène de l’air.
Cette réaction se fait vers T=700 K sous une pression de l bar .
II-1 : Ecrire la réaction rapportée à une mole de dioxygène.
II-2 : Calculer à T=298 K, l’enthalpie standard de réaction ∆rHo(298).
Calculer à T=700 K, ∆rHo(700).
Quelle remarque peut-on faire ?
II-3 : On part de 10 moles de SO2, 10 moles de O2, 40 moles de N2.
AT=700 K on obtient à l’équilibre 9 moles de SO3.
II-3-1 : Donner l’avancement de la réaction et la composition du système à
l’équilibre.
II-3-2 : En supposant que la réaction se déroule dans un réacteur adiaba-
tique, déterminer la température finale du système.
III - SOLUTIONS AQUEUSES - CINETIQUE
On considère ici des solutions aqueuses à T=298 K ; à cette température , le
produit ionique de l’eau vaut Ke=10−14.
III-1 : L’acide sulfhydrique H2S est un diacide.
III-1-1 : Donner le diagramme de prédominance des espèces en fonction du
pH.
III-1-2 : On dissout 0,1 mol de H2S dans 2 litres d’eau. A l’équilibre, le pH
vaut 4,2.
Calculer, à l’équilibre, la concentration des différentes espèces présentes en
solution.
Expliquer en quelques lignes le principe d’une mesure de pH.
III-2 : Le persulfate S2O2−
8est un oxydant puissant qui peut être réduit en
sulfate SO2−
4.
III-2-l : Sur un même diagramme, faire apparaître les domaines de prédomi-
nance des espèces S2O2−
8, SO2− 4, I2et I−en fonction du potentiel de la solution,
et commenter.
III-2-2 : Ecrire la réaction qui se produit entre S2O2−
8et I−.
Calculer sa constante d’équilibre.
Cette réaction peut-elle servir pour effectuer un dosage ?