1 - Dunod

Maths
VISA POUR
LA PRÉPA
MPSI • PCSI • PTSI • BCPST • ECS
Guillaume Connan
Maths
3e édition
Conception et création de couverture : Atelier 3+
© Dunod, Paris, 2013
ISBN 978-2-10-059284-5
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Table des matières
1. Savez-vous calculer ?
1.1 De l’importance de savoir calculer
1
1.2 Formulaire de trigonométrie
1
1.3 Nombres complexes
2
1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions
11
1.5 Exercices
21
2. Savez-vous intégrer ?
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1
73
2.1 Mise en place d’une définition
73
2.2 Quelles sont les fonctions intégrables ?
77
2.3 Propriétés de l’intégrale
79
2.4 Valeur moyenne
80
2.5 Primitive et intégrale
82
2.6 Exercices
84
3. Savez-vous raisonner ?
95
3.1 Test préliminaire
95
3.2 Contexte
95
3.3 Syntaxe
96
V
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Table des matières
3.4 Sémantique
3.5 Approche formelle de la logique propositionnelle
102
3.6 Récurrence
106
3.7 Exercices
107
4. Savez-vous prévoir ?
117
4.1 Rappels de théorie des ensembles
117
4.2 Une dose d’algèbre générale
118
4.3 Quelques résultats sur les cardinaux
120
4.4 Dénombrement
121
4.5 Triangle de pascal – Binôme de Newton
123
4.6 Probabilités ?
124
4.7 Avant la formalisation
124
4.8 Espace probabilisable – Espace probabilisé
126
4.9 Probabilités conditionnelles
128
4.10 Variables aléatoires finies
131
4.11 Quelques lois discrètes classiques
137
4.12 Exercices
139
5. Savez-vous programmer ?
VI
98
163
5.1 Scilab
163
5.2 Python
176
5.3 Exercices
190
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Savez-vous calculer ?
CHAPITRE
1
1.1 De l'importance de savoir calculer...
On dispose certes d'ordinateurs pour effectuer les calculs (et nous verrons comment le faire)
mais avant, méditez cette pensée d'Alain CONNES, membre de l'Académie des sciences,
Professeur au Collège de France, à l'I.H.E.S. et à l'Université de Vanderbilt aux États-Unis. Il
a de plus reçu la Médaille Fields en 1982, le Prix Crafoord en 2001 et la Médaille d'or du
C.N.R.S. en 2004.
Quand on effectue un long calcul algébrique, la durée nécessaire est souvent très propice à l'élaboration dans le cerveau de la représentation mentale des concepts utilisés.
C'est pourquoi l'ordinateur, qui donne le résultat d'un tel calcul en supprimant la durée,
n'est pas nécessairement un progrès. On croit gagner du temps, mais le résultat brut
d'un calcul sans la représentation mentale de sa signification n'est pas un progrès.
Alain CONNES – Sciences et imaginaire
1.2 Formulaire de trigonométrie
Formules
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
•
•
•
•
sin2 x + cos 2 x = 1
• sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a
cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• tan (a + b) =
cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
π
+ kπ , k ∈ Z
2
tan a − tan b
• tan (a − b) =
, pour
1 + tan a tan b
π
a−b =
/
+ kπ , k ∈ Z
2
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan a + tan b
, pour
1 − tan a tan b
a+b =
/
Transformation de produits en somme
1
· (cos (a + b) + cos (a − b))
2
1
• sin a · sin b = · (cos (a − b) − cos (a + b))
2
1
• sin a · cos b = · (sin (a + b) + sin (a − b))
2
• cos a · cos b =
1
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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?
Transformation de sommes en produits
p+q
p−q
) · cos (
)
2
2
p−q
p+q
) · sin (
)
• cos p − cos q = −2 · sin (
2
2
p+q
p−q
) · cos (
)
• sin p + sin q = 2 · sin (
2
2
p−q
p+q
) · cos (
)
• sin p − sin q = 2 · sin (
2
2
• cos p + cos q = 2 · cos (
Formules de duplication
• cos (2x) = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x
• sin (2x) = 2 cos x sin x
2 tan x
π
π
+ k pour k ∈ Z
/
,x =
2
1 − tan x
4
2
x
Avec t = tan ( ), on a :
2
1 − t2
2t
2t
• sin x =
, cos x =
, tan x =
2
1 + t2
1+t
1 − t2
• tan (2x) =
1.3 Nombres complexes
Vocabulaire et premières propriétés
Théorème Ensemble C
On définit un ensemble C
– muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R
– contenant un nombre i vérifiant i2 = −1
– tel que chaque élément z de C peut s'écrire de manière unique sous la forme
z = a + ib avec a et b des nombres réels
Forme algébrique
Cette écriture unique est appelée forme algébrique du réel z.
Le nombre a est appellé partie réelle de z et notée e(z).
Le nombre b est appellé partie imaginaire de z et notée Jm(z).
Remarque
Jm(z) est un nombre réel.
Remarque : À quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?
Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat 2x + 3y − 5
+ i(7x − 32y + 1) = 0 avec x et y des réels. Et bien le membre de gauche est une forme
algébrique puisque de la forme réel + i· réel. Or la forme algébrique de 0 est 0 + i · 0.
2
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1.3 • Nombres complexes
Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles (bienvenue dans la deuxième
dimension... ) et donc
2x + 3y − 5 = 0
2x + 3y − 5 + i(7x − 32y + 1) = 0 ⇐⇒
7x − 32y + 1 = 0
axe imaginaire
M(a , b )
b
→
u
→
e2
O
→
a
e1
axe réel
Le plan complexe
Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit
→
→
e ,−
e ).
d'un repère (O,−
1
2
À tout nombre complexe z = a + ib on associe le point M de coordonnées (a,b) qu'on appelle image du complexe z = a + ib. On le note souvent M(z).
Inversement, à tout point M du plan de coordonnées (a,b), on associe son affixe z = a + ib
qu'on note souvent z M .
→
→
→
→
e ,−
e + b−
e de coordonnées (a,b) dans la base (−
e ) est assoEnfin, à tout vecteur u = a −
= a + ib
cié une affixe z −
→
u
1
2
1
2
Premiers calculs géométriques
– Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (a,b) et (a ,b ) dans la base
→
→
→
→
(−
e ,−
e ) , alors u + v = (a + a )−
e + (b + b )−
e , donc :
1
2
1
2
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théoreme : affixe d'une somme
z u+v = z u + z v
– De même, si λ est un nombre réel :
Théorème : affixe du produit par un réel
z λu = λz u
– Alors, si I est le milieu du segment [A,B], on a :
Théorème : affixe du milieu
zI =
1
(z A + z B )
2
– Pour tous points A et B :
3
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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?
Théorème : affixe d'un vecteur
z −→ = z B − z A
AB
Conjugué d'un complexe
Définition : conjugué
On appelle conjugué du nombre complexe z = a + ib le nombre
z = a − ib
Géométriquement cela donne :
axe imaginaire
M(z )
→
e2
O
→
axe réel
e1
M(z )
À titre d’exercice, prouvez les propriétés immédiates suivantes :
Théorème
→
e1 )
– M(z) et M (z) sont symétriques par rapport à l'axe (O,−
– z1 + z2 = z1 + z2
– z1 z2 = z1 z2
–z=z
– z ∈ R ⇐⇒ z = z
– z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
1
– e(z) = (z + z)
2
1
– Jm(z) = (z − z)
2
– Si z = a + ib, alors zz = a 2 + b2
À quoi servent les conjugués ?
• À montrer qu'un complexe est un réel
En effet, si on arrive à montrer que z = z, alors on en conclut que z est réel.
4
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1.3 • Nombres complexes
• À rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques
En effet,
z · z = (a + ib)(a − ib) = a 2 − (ib)2 = a 2 + b2
Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de 2 + i :
1
2−i
2+i
2 1
1
=
·
=
= + i
2+i
2+i 2−i
4+1
5 5
Conjugué de l'inverse
Sachant qu'un complexe non nul z admet une forme algébrique a + ib, on sait maintenant
trouver la forme algébrique de son inverse :
1
1
a − ib
a − ib
=
×
= 2
a + ib
a + ib a − ib
a + b2
donc
a + ib
1
1
1
a + ib
=
= 2
=
=
z
a + b2
(a + ib)(a − ib)
a − ib
z
Module d'un nombre complexe
Définition : module
Le module du complexe z est le réel positif noté |z| tel que
√
|z| = z z
Remarques
– Cette définition en est bien une car z z = a 2 + b2 d'après notre étude sur les conjugués.
√
√
√
– Si a est un réel, |a| = a a = aa = a 2 car a = a. Donc le module de a est bien la
valeur absolue de a et notre notation est cohérente.
La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Interprétation géométrique
axe imaginaire
M(a + i b )
b
√a 2 + b 2
e2
O
e1
a
axe réel
Nous venons de voir que, si z = a + ib, alors :
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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?
Théorème
|z| =
Or, qu'est-ce que
a 2 + b2
√
−→
a 2 + b2 si ce n'est la norme du vecteur OM ou encore la longueur OM.
Théorème
−→
|z M | = OM = OM
→
|z u | = −
u
Propriétés des modules
À titre d’exercice, prouvez les propriétés suivantes :
Théorème
– |z| = |z|
– |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
– |z 1 · z 2 ] = |z 1 · |z 2 |
z 1 |z 1 |
– =
z
|z |
2
2
– e(z) |z|
– Jm(z) |z|
La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration :
Théorème : inégalité triangulaire
|z 1 + z 2 | |z 1 | + |z 2 |
C'est-à-dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de
suivre la RN 137.
Pour les curieux, voici comment cela se démontre.
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de
chaque membre.
Or |z 1 + z 2 |2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = |z 1 |2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) + |z 2 |2
D'autre part (|z 1 | + |z 2 |)2 = |z 1 |2 + 2|z 1 z 2 | + |z 2 |2
Il s'agit donc de comparer les « doubles produits ».
Or z 1 z 2 + z 1 z 2 = z 1 z 2 + z 1 z 2 = 2e(z 1 z 2 ) 2|z 1 z 2 | = 2|z 1 z 2 | d'après une propriété cidessus. Donc
|z 1 + z 2 |2 = |z 1 |2 + (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) + |z 2 |2 |z 1 |2 + 2|z 1 z 2 | + |z 2 |2 = (|z 1 | + |z 2 |)2
Résolution d'équations du second degré
L'objet de cette section est de résoudre dans C l'équation z 2 = α.
Racine carrée d'un nombre réel
On suppose ici que α est un réel.
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1.3 • Nombres complexes
√
√
0 : alors z 2 = α ⇐⇒ z 2 − α = (z − α)(z + α) = 0 . Les solutions1 sont donc
– α√
± α.
Par exemple z 2 = 4 ⇐⇒ z = −2
√ ou z = 2.√
√
– α < 0 : alors z 2 = α ⇔ (z − i −α)(z + i −α) = 0 . Les solutions sont donc ±i −α.
C'est la nouveauté : z 2 = −4 ⇐⇒ z = −2i ou z = 2i.
Racine carrée d'un complexe non réel
Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur.
Cherchons les racines carrées de 4 + 3i , à savoir les nombres a + ib tels que
(a + ib)2 = a 2 − b2 + 2iab = 4 + 3i .
Par unicité de la forme algébrique on obtient
2
a − b2 = 4
a 2 + b2 = 5
2ab = 3
√
√
Ainsi a 2 = 9/2 et b2 = 1/2, donc a = ±3 2/2 et b = ± 2/2, or 2ab = 3 , donc a et b
sont de même signe.
√
√
2
2
(3 + i) et −
(3 + i) .
Les solutions sont donc
2
2
Résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a,b et c des réels
C'est comme en 1re :
b 2 b2 − 4ac ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a x +
=0
−
2a
4a 2
b 2 b2 − 4ac
=
⇐⇒ x +
2a
(2a)2
2
Tout dépend donc du signe de b − 4ac, puis on utilise les résultats de la section précédente.
Théorème : résolution de ax2 + bx + c = 0 avec a, b et c des réels
L'équation ax 2 + bx + c = 0 admet toujours des solutions sur C. Notons :
= b2 − 4ac
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
le discriminant de l'équation et δ un complexe vérifiant :
δ2 = b
2a
−b ± δ
– Si > 0, il existe deux solutions réelles x =
2a
– Si = 0, il existe une unique solution x = −
– Si < 0, il existe deux solutions complexes conjuguées x =
Dans tous les cas x =
−b ± δ
2a
−b ± δ
!
2a
LA solution si α = 0.
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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?
Forme trigonométrique
Forme trigonométrique
Vous vous souvenez de la correspondance entre C et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses coordonnées
polaires. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).
M(z )
r sin θ
r
→
e2
O
θ
→
e1
r cos θ
Ainsi, (r,θ) étant le couple de coordonnées polaires de l'image M du nombre complexe z , on a
z = r cos θ + ir sin θ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique
déguisée : on l'appelle forme trigonométrique du complexe z .
Définition : forme trigonométrique
z = r( cos θ + i sin θ)
Remarque (notation en électronique)
Les électroniciens notent souvent ce résultat sous la forme : z = [r,θ] .
Congruence
Vous rencontrerez souvent la notation x ≡ y[2π] qui se lit « x est congru à y modulo 2π ».
Elle veut simplement dire que x − y est un multiple de 2π, c'est-à-dire qu'il existe un entier
relatif k tel que x − y = k · 2π.
Remarque (congruence modulo 2π)
x ≡ y[2π] ⇐⇒ il existe k ∈ Z tel que x = y + 2kπ
Par exemple, vous savez que
7π
π
≡
[2π] : dessinez un cercle trigonométrique pour vous en
3
3
convaincre.
Mesure d'un angle de vecteurs
Nous n'avons pas les moyens de définir « proprement » les angles de vecteurs. Nous n'en
avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que θ est UNE mesure en radians
−→
→
e ,OM) . UNE mesure, car elle est définie modulo 2π. Et bien cette
de l'angle de vecteurs (−
1
mesure sera UN argument du complexe z , qu'on notera arg z. On retiendra :
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1.3 • Nombres complexes
Théorème : argument
arg z ≡ θ[2π]
Par exemple, arg 32 ≡ 0[2π], arg 32i ≡
π
[2π].
2
Des formes trigonométriques de référence
|1| = 1 et arg(1) ≡ 0[2π] – 1 = cos0 +i sin 0 donc
π
π
π
+ i sin
[2π]
donc |i| = 1 et arg(i) ≡
– i = cos
2
2
2
√
√
√
√
√
2
2
π
π
+i
= 2 cos
+ i sin
– |1 + i| = 2 et 1 + i = 2
2
2
4
4
π
[2π]
donc arg(1 + i) ≡
4
√
√
√
3 1
π
π
+ i = 2 cos
+ i sin
– | 3 + i| = 2 et 3 + i = 2
2
2
6
6
√
π
[2π]
donc arg( 3 + i) ≡
6
Correspondance forme algébrique - forme trigonométrique
Soit z ∈ C de forme algébrique a + ib et de forme trigonométrique r( cos θ + i sin θ) alors
on a d'une part :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Théorème : forme algébrique connaissant la forme trigonométrique
a = r cos θ
b = r sin θ
√
et d'autre part r = |z| = a 2 + b2 .
√
Si z est non nul, son module r = a 2 + b2 sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire
z sous la forme :
√
a
b
2
2
z =
a +b √
+ i√
a 2 + b2
a 2 + b2
a
b
= r √
+ i√
2
2
2
a +b
a + b2
= r(cos (θ) + i sin (θ))
Nous en déduisons que :
Théorème : forme trigonométrique en fonction de la forme algébrique
a
cos (θ) = √
2
a + b2
b
sin (θ) = √
2
a + b2
Ainsi, connaissant a et b, on peut obtenir le module et un argument de a + ib. On
√ obtiendra une
mesure exacte de θ si cos (θ) et sin (θ) sont des valeurs connues comme 1/2, 3/2, 1, etc.
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Chapitre 1 • Savez-vous calculer ?
Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l'aide des touches COS–1
encore avec
et
SIN–1 , ou
TAN–1 . En effet, cos (θ) étant non nul2,
Théorème : argument en fonction de la forme algébrique
b
√
2
sin (θ)
b
a + b2
tan (θ) =
=
=
a
cos (θ)
a
√
a 2 + b2
ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo π.
J
tan(θ)
θ
sin(θ)
− cos(θ)
0
cos(θ)
π +θ
I
− sin(θ)
Il suffira ensuite de considérer le signe de cos (θ) ou de sin (θ) pour savoir à qui on a affaire.
Opérations sur les formes trigonométriques
Soit z = r (cos θ + i sin θ) et z = r (cos θ + i sin θ ), alors
zz = rr [(cos θ cos θ − sin θ sin θ ) + i(sin θ cos θ + cos θ sin θ )]
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition, vous en déduisez que
zz = z = rr (cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ) )
Ainsi, nous arrivons au résultat capital
Théorème : argument d'un produit
arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π]
Cela permet de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience :
Théorème : propriétés algébriques des arguments
– arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π]
– arg(z n ) = n arg(z) [2π]
2. Sinon, on sait qui est θ...
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1.4 • Dérivation : la Foire Aux Questions
1
= − arg(z) [2π]
z
z
– arg = arg(z) − arg(z ) [2π]
z
– arg(z) = − arg(z) [2π]
– arg
– arg(−z) = π + arg(z) [2π]
En particulier, la formule concernant z n nous permet d'écrire :
Théorème : formule de Moivre
(cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ)
Nous nous rendons ainsi compte que :
Remarque
– Les formes trigonométriques sont adaptées aux produits de complexes ;
– Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.
1.4 Dérivation : la Foire Aux Questions
Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction en un point ?
Deux problèmes historiques, celui de la vitesse instantanée et celui de la tangente à une courbe,
mettent en évidence l'importance fondamentale en mathématiques et en physique de la limite
du taux d'accroissement d'une fonction. Il fallait absolument lui donner un nom et rendre la
notion rigoureuse. Voici une définition :
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, et soit a un élément I.
f (x) − f (a)
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement
admet une limite
x −a
finie quand x tend vers a. Cette limite est alors appelée dérivée de f en a, et est notée f (a) :
f (a) = lim
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
x→a
ou encore
f (a) = lim
h→0
f (x) − f (a)
.
x −a
f (a + h) − f (a)
h
Ainsi, la vitesse instantanée V(t) n'est autre que x (t), la dérivée en t de la fonction position x.
Et la pente de la tangente à la courbe d'équation y = f (x) au point d'abscisse a est égale à
f (a), la dérivée de f en a.
D'où vient la notation
dy
?
dx
En physique, vous employez plus volontiers la notation
privilégions la notation y (x) , pourquoi ?
dy
alors qu'en mathématiques, nous
dx
11