notes du professeur

Ces notes pour le cours aux agr´egatifs de Nantes sont un guide pour l’enseignant. Elles
ne prennent leur sens qu’`a l’aide de figures illustrant les notes du cours oral (si vous avez
java, cliquez quand c’est bleu). Consultez le site :
http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/∼franjou/Agregation.html,
en attendant l’ouverture du site de l’Agr´egation sur moodle.
1. G´eom´etrie projective ´el´ementaire
On fixe un corps commutatif K.
1.1. L’espace projectif comme vision monoculaire. — Perspective : point de fuite,
ligne d’horizon.
Parall´elogramme et configuration du quadrilat`ere complet.
1.2. Le birapport en affine. — Un rapport de rapport de mesures alg´ebriques est
invariant par perspective.
1.3. Homographies entre droites dans le plan projectif. —
Exercice 1 (Perspectives ou projections). — Dans un plan projectif r´eel, on con-
sid`ere une droite det un point Sn’appartenant pas `a d. Soit fla fonction qui associe `a
un point Mdu plan le point d’intersection de det de SM.
Etant donn´e une droite d0distincte de det ne passant pas par S, soit pla restriction de
f `a d0. Montrer que pest une homographie de d0sur d. On appelle pla perspective de
centre Sde d0sur d.
Soit Ale point d’intersection des droites det d0. Montrer que le point Aest invariant par
la perspective p. R´eciproquement, montrer que toute homographie fde dsur d0qui laisse
invariant le point Aest une perspective.
Indication : ´etant donn´es deux points Bet Cde d, distincts et distincts de A, justifier que
(A, f(B), f(C)) est un rep`ere de d0, puis consid´erer la perspective ptelle que p(B) = f(B)
et p(C) = f(C).
Exercice 2 (Axe d’une homographie entre deux droites projectives du plan)
Cet exercice utilise les deux propri´et´es suivantes :
–Une perspective est une homographie;
–une homographie est d´etermin´ee par l’image de trois points distincts.
Soit det d0deux droites distinctes d’un plan projectif, se coupant en un point A, et f
une homographie de dsur d0. On veut montrer : quels que soient les points Met Nde
d, d’images respectives M0=f(M)et N0=f(N), le point d’intersection de MN0et de
M0Nappartient `a une droite fixe.
1. Analyser le cas o`u f(A) = A(cas d’une perspective).
2. On suppose maintenant que f(A)est distinct de A. On note : I=f(A),J=f−1(A),
et ∆la droite IJ. D´ecomposer fen produit de deux perspectives de centres M0et
M, de dsur ∆et de ∆sur d0.
3. Conclure.
On a aussi obtenu, au cours de la d´emonstration, que toute homographie entre deux
droites du plan projectif se d´ecompose en produit d’au plus deux perspectives.
Le r´esultat pr´ec´edent g´en´eralise le th´eor`eme de Pappus.
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Exercice 3 (Th´eor`eme de Pappus). — Si les sommets d’un hexagone AB0CA0BC0
sont alternativement situ´es sur 2 droites det d0, ses cˆot´es oppos´es se coupent en des
points align´es.
Si on prend 3 points A,B,Csur une droite d, et trois points A0,B0,C0sur une droite
d0, alors les points BC0∩CB0,CA0∩AC0et AB0∩A0Bsont align´es.
Exercice 4 (Construction de la troisi`eme concourante)
Tracer `a la r`egle la droite, passant par un point donn´e, concourante `a deux droites trac´ees
sur votre feuille.
Exercice 5 (Th´eor`eme de Desargues). — On consid`ere deux triangles du plan pro-
jectif tels que les points suivants soient bien d´efinis:
A” = BC ∩B0C0B” = AC ∩A0C0C” = AB ∩A0B
Montrer que si les droites AA0,BB0et CC0sont concourantes, les points A”,B”,C”sont
align´es.
Indication : consid´erer les perspectives de centres Cet B, envoyant respectivement A0C0
sur AA0et AA0sur A0B0.
´
Enoncer une r´eciproque et la d´emontrer. Comme souvent en g´eom´etrie, on pourra raison-
ner en utilisant le sens direct.
1.4. Abscisse projective sur une droite. —
1.5. L’espace projectif. —
1.6. Homographies. — Une homographie est une application entre espaces projectifs
obtenue par passage au quotient d’un isomorphisme lin´eaire. Dans l’espace vectoriel K2,
les applications lin´eaires sont donn´ees par des matrices (2,2). Pour la droite projective
P1(K) := P(K2), les homographies sont donc donn´ees par une formule :
(1) (x:y)7→ αx +βy
γx +δy
avec αδ −βγ 6= 0. Dans la formule (1) ci-dessus, les coefficients sont bien d´etermin´es `a un
facteur de proportionnalit´e pr`es. Plus g´en´eralement :
Proposition 1.1. — Soient Eet E0deux K-vectoriels de dimension finie. Deux applica-
tions lin´eaires injectives E→E0induisent la mˆeme application projective P(E)→P(E0)
si, et seulement si, elles sont proportionnelles.
Toute application lin´eaire injective d´efinit une application projective, et deux applications
lin´eaires proportionnelle donnent la mˆeme application projective. La proposition dit que
c’est le seul cas d’´egalit´e possible. Autre paraphrase :
Corollaire 1.2. — Pour un K-vectoriel de dimension finie E, la suite de groupes
0→K×→GL(E)→P GL(E)→1
(o`u le premier morphisme est donn´e par l’inclusion des homoth´eties) est exacte.
Exercice 6. — Montrer ces ´enonc´es.

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Cela permet de calculer aussi les birapports. Raisonnons sur les abscisses projectives. Par
d´efinition, h(x)=[a, b, c, x] est une homographie, telle que h(a) = ∞et h(b) = 0. D’o`u
une formule :
h(x) = λx−b
x−a
ajust´ee par h(c) = 1. Si la formule convient aux trois points du rep`ere, c’est la bonne.
Retenir :
Une homographie est enti`erement d´etermin´ee par ses valeurs sur un rep`ere.
1.7. Birapport. — Il est commode, vu l’importance de la chose, d’appeler birapport
de quatre points A,B,Cet Dd’une droite, et de noter [A, B, C, D], le nombre (ou ∞)
abscisse projective de D quand on choisit (A, B, C) comme rep`ere projectif (A,B,Csont
donc suppos´es distincts).
Exercice 7. — Sur une droite projective, rapport´ee `a un rep`ere projectif, on consid`ere 4
points A, B, C, D de coordonn´ees homog`enes respectives :
(1 : 0) ,(0 : 1) ,(2 : 1) et (−4 : 2).
Calculer le birapport [A, B, C, D].
Exercice 8. — Montrer que le birapport est invariant par toute homographie. Donner
une formule.
Exercice 9 (Birapport et th´eor`eme de Thal`es). — Exprimer un birapport en ter-
mes de mesures alg´ebriques et faire le lien entre conservation du birapport et th´eor`eme de
Thal`es.
Comment mesurer un haut m´el`eze sur une pente alpine ?
Exercice 10. — Dans le plan projectif, rapport´e `a un rep`ere projectif, on consid`ere 4
points align´es A, B, C, D de coordonn´ees homog`enes respectives :
(1 : −2 : 0) ,(3 : −1 : −1) ,(x: 0 : −2) ,(y:−4 : 2).
Calculer le birapport [A, B, C, D].
On dit que les quatre points sont en division harmonique si leur birapport est ´egal `a −1.
Exercice 11 (Propri´et´e du quadrilat`ere complet). — Soit A,B,C,D un rep`ere pro-
jectif du plan. Soit E (respectivement F) le point d’intersection des droites AB et CD
(respectivement AD et BC). Soit I (respectivement J) le point d’intersection de AC et
BD (respectivement AC et EF). Montrer que les points A,C,I,J forment une division har-
monique.
1.8. Sous-espaces projectifs. —
D´efinition 1.3. — Un sous-espace d’un espace projectif P(E) est un espace projectif
P(F) pour un sous-espace vectoriel Fde E.
On parle de droite, de plan, d’hyperplan projectif quand le sous-espace vectoriel Fest,
respectivement, de dimension 2, de dimension 3, un hyperplan vectoriel. On parle de
sous-espace projectif engendr´e par une partie (en donner la d´efinition). La formule des
dimensions dans le cas vectoriel entraˆıne :

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Th´eor`eme 1.4. — Soient P1et P2deux sous-espaces de dimension finie d’un espace
projectif, et Pl’espace engendr´e par leur r´eunion. L’espace Pest de dimension finie,
l’intersection P1∩P2est un sous-espace projectif de dimension finie, et :
dim P1+ dim P2= dim P+ dim(P1∩P2).
En particulier, deux droites distinctes du plan projectif se coupent toujours en un point
et un seul. Les parall`eles ont disparu des ´enonc´es. Il a suffit pour cela d’adjoindre aux
droites affines un point suppl´ementaire portant l’information de leur direction (point `a
l’infini, qui se mat´erialise en point de fuite dans le dessin en perspective). Noter aussi que
cet ´enonc´e est formellement similaire `a l’´enonc´e : par deux points distincts passent une
droite et une seule (voir le chapitre sur la dualit´e).
Exercice 12. — Toute droite projective rencontre un hyperplan projectif en un point et
un seul.
Exercice 13. — On prend pour Kle corps premier `a p´el´ements. Combien l’espace pro-
jectif de dimension ncontient-il de droites projectives ?
Exercice 14. — Une compagnie organise des croisi`eres d’un mois en ´et´e; elle promet,
entre autres choses, `a chaque passager de pouvoir partager un dˆıner avec le commandant.
Comme, jour apr`es jour, l’invit´e, esseul´e, s’ennuie `a la table des officiers, le commandant
d´ecide pour le second mois de faire en sorte que chaque couple de passagers se rencontre
une fois `a sa table. Le chef des cuisines, qui sait compter, prend ce changement assez
mal et pr´evient qu’il refuse de servir plus de six invit´es `a chaque dˆıner. Le commandant,
qui compte encore mieux, r´eplique que c’est exactement ce qu’il lui faut. Cette discussion
a-t-elle lieu le 29 juillet ou le 26 aoˆut ? Le commandant a-t-il raison ?
1.9. Coordonn´ees projectives. — Pour rep´erer les points d’un espace projectif P(E),
le plus simple est d’utiliser les coordonn´ees d’un vecteur directeur dans une base de l’espace
vectoriel E. Elles ne sont bien d´efinies qu’`a un coefficient de proportionnalit´e pr`es; on les
nomme coordonn´ees homog`enes.
Si on se donne les coordonn´ees homog`enes de deux points d’une droite, disons (1 : 0) et
(0 : 1) pour fixer les id´ees, les coordonn´ees homog`enes des autres points ne sont pas pour
autant d´etermin´ees. Les coordonn´ees d’un troisi`eme point sont n´ecessaires.
D´efinition 1.5. — Soit nun entier positif ou nul, et soit P(E) un espace projectif de
dimension n. Un rep`ere projectif de P(E) est un (n+ 2)-plet de points (M0, . . . , Mn+1)
tel qu’il existe une base de l’espace vectoriel E, (e0, . . . , en), tel que le vecteur eidirige
Mi, et la somme e0+· · · +endirige Mn+1.
Proposition 1.6. — Dans les notations ci-dessus, un rep`ere (M0, . . . , Mn+1)d´etermine
la base (e0, . . . , en)`a un coefficient de proportionalit´e pr`es.
Exercice 15. — Utiliser ce r´esultat pour d´emontrer que deux applications lin´eaires in-
duisent la mˆeme homographie si et seulement si elles sont proportionnelles.
D´emonstration. Soient (e0, . . . , en) et (e0
0, . . . , e0
n) deux bases qui conviennent. On a donc,
pour chaque i,e0
i=aieipour un scalaire ai. La condition sur le dernier point nous dit
qu’il existe un scalaire, non nul, atel que : Pi=n
i=0 e0
i=aPi=n
i=0 ei. Cette somme vaut
par ailleurs Pi=n
i=0 aiei, et comme la famille (e0, . . . , en) est libre, c’est que tous les ai
´egalent a. On peut se demander quels points peuvent compl´eter une suite de points en un
rep`ere projectif. Pour la droite projective, tout triplet de points distincts est un rep`ere;

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en g´en´eral, la r´eponse est donn´e par la caract´erisation intrins`eque (qui ne d´epend que de
l’espace projectif, sans r´ef´erence `a l’espace vectoriel) suivante.
Proposition 1.7. — Dans un espace projectif de dimension n,n+ 2 points forment un
rep`ere projectif si, et seulement si, aucun hyperplan projectif ne contient n+ 1 de ces
points.
D´emonstration. Comme n+1 points d’un rep`ere projectif proviennent toujours d’une base
vectorielle, la condition est n´ecessaire. R´eciproquement, la condition impose que les n+ 1
premiers points sont dirig´es par des vecteurs qui forment une base. Notons la (e0, . . . , en).
Le dernier point est dirig´e par un vecteur Pi=n
i=0 aiei, et la condition dit qu’aucun des
scalaires ain’est nul. La base (a0e0, . . . , anen) montre que l’on a bien affaire `a un rep`ere
projectif au sens de la d´efinition.
Les rep`eres projectifs ressemblent aux rep`eres affines. Il est bon cependant de noter une
diff´erence technique qui rend leur maniement moins ais´e. Un choix de points d’un rep`ere
ne fournit jamais un rep`ere d’un sous-espace.
Exercice 16. — Deux rep`eres projectifs d’un espace projectif ´etant donn´es, il existe une
et une seule homographie envoyant un rep`ere sur l’autre.
1.10. L’affine `a partir du projectif. — Ce passage est assez facile : il nous suffit
de retirer les points `a l’infini. Encore faut-il s’entendre sur ce qu’est l’infini. La question
inverse, qui est ´etudi´ee au paragraphe suivant, nous guide sur la nature de cet infini. En
effet, si l’on part d’un espace affine, on a besoin de compter un point `a l’infini pour chaque
direction de droite affine, c’est-`a-dire un point pour chaque droite vectorielle de l’espace
vectoriel sous-jacent `a l’espace affine. Voil`a qui semble nous indiquer que les points `a
l’infini forment un hyperplan projectif.
Proposition 1.8. — Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, et Hun hyperplan
vectoriel de E. Il existe sur le compl´ementaire P(E)\P(H)de l’hyperplan projectif P(H)
une structure d’espace affine, d´etermin´ee, `a isomorphisme affine pr`es, par la propri´et´e
suivante : pour tout hyperplan affine Hdans E, dirig´e par H, et ne contenant pas 0, la
projection de Hvers P(E)\P(H)est un isomorphisme affine.
La proposition est presque tautologique : une fois v´erifi´ee que la projection met Hen
bijection avec P(E)\P(H), il suffit de transporter la structure. Il est vivement conseill´e
de faire le dessin habituel, o`u Hest la droite affine d’´equation y= 1 de K2.
On parle d’hyperplan `a l’infini pour P(H), et de carte affine pour P(E)\P(H) (ou plus
pr´ecis´ement pour la bijection de P(E)\P(H) vers H).
Exercice 17. — Donner la carte affine quand Hest l’hyperplan de derni`ere coordonn´ee
nulle dans Kn+1.
Exercice 18. — La restriction `a une carte affine d´efinit un isomorphisme de groupes,
du groupe des homographies laissant l’hyperplan `a l’infini globalement invariant, vers le
groupe affine de la carte affine. Pr´eciser l’isomorphisme r´eciproque (c’est-`a-dire : pro-
longer une application affine en une homographie).