notes du professeur

Ces notes pour le cours aux agrégatifs de Nantes sont un guide pour l’enseignant. Elles
ne prennent leur sens qu’à l’aide de figures illustrant les notes du cours oral (si vous avez
java, cliquez quand c’est bleu). Consultez le site :
http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/∼franjou/Agregation.html,
en attendant l’ouverture du site de l’Agrégation sur moodle.
1. Géométrie projective élémentaire
On fixe un corps commutatif K.
1.1. L’espace projectif comme vision monoculaire. — Perspective : point de fuite,
ligne d’horizon.
Parallélogramme et configuration du quadrilatère complet.
1.2. Le birapport en affine. — Un rapport de rapport de mesures algébriques est
invariant par perspective.
1.3. Homographies entre droites dans le plan projectif. —
Exercice 1 (Perspectives ou projections). — Dans un plan projectif réel, on considère une droite d et un point S n’appartenant pas à d. Soit f la fonction qui associe à
un point M du plan le point d’intersection de d et de SM .
Etant donné une droite d0 distincte de d et ne passant pas par S, soit p la restriction de
f à d0 . Montrer que p est une homographie de d0 sur d. On appelle p la perspective de
centre S de d0 sur d.
Soit A le point d’intersection des droites d et d0 . Montrer que le point A est invariant par
la perspective p. Réciproquement, montrer que toute homographie f de d sur d0 qui laisse
invariant le point A est une perspective.
Indication : étant donnés deux points B et C de d, distincts et distincts de A, justifier que
(A, f (B), f (C)) est un repère de d0 , puis considérer la perspective p telle que p(B) = f (B)
et p(C) = f (C).
Exercice 2 (Axe d’une homographie entre deux droites projectives du plan)
Cet exercice utilise les deux propriétés suivantes :
– Une perspective est une homographie;
– une homographie est déterminée par l’image de trois points distincts.
Soit d et d0 deux droites distinctes d’un plan projectif, se coupant en un point A, et f
une homographie de d sur d0 . On veut montrer : quels que soient les points M et N de
d, d’images respectives M 0 = f (M ) et N 0 = f (N ), le point d’intersection de M N 0 et de
M 0 N appartient à une droite fixe.
1. Analyser le cas où f (A) = A (cas d’une perspective).
2. On suppose maintenant que f (A) est distinct de A. On note : I = f (A), J = f −1 (A),
et ∆ la droite IJ. Décomposer f en produit de deux perspectives de centres M 0 et
M , de d sur ∆ et de ∆ sur d0 .
3. Conclure.
On a aussi obtenu, au cours de la démonstration, que toute homographie entre deux
droites du plan projectif se décompose en produit d’au plus deux perspectives.
Le résultat précédent généralise le théorème de Pappus.
1
2
Exercice 3 (Théorème de Pappus). — Si les sommets d’un hexagone AB 0 CA0 BC 0
sont alternativement situés sur 2 droites d et d0 , ses côtés opposés se coupent en des
points alignés.
Si on prend 3 points A, B, C sur une droite d, et trois points A0 , B 0 , C 0 sur une droite
d0 , alors les points BC 0 ∩ CB 0 , CA0 ∩ AC 0 et AB 0 ∩ A0 B sont alignés.
Exercice 4 (Construction de la troisième concourante)
Tracer à la règle la droite, passant par un point donné, concourante à deux droites tracées
sur votre feuille.
Exercice 5 (Théorème de Desargues). — On considère deux triangles du plan projectif tels que les points suivants soient bien définis:
A” = BC ∩ B 0 C 0
B” = AC ∩ A0 C 0
C” = AB ∩ A0 B
Montrer que si les droites AA0 , BB 0 et CC 0 sont concourantes, les points A”, B”, C” sont
alignés.
Indication : considérer les perspectives de centres C et B, envoyant respectivement A0 C 0
sur AA0 et AA0 sur A0 B 0 .
Énoncer une réciproque et la démontrer. Comme souvent en géométrie, on pourra raisonner en utilisant le sens direct.
1.4. Abscisse projective sur une droite. —
1.5. L’espace projectif. —
1.6. Homographies. — Une homographie est une application entre espaces projectifs
obtenue par passage au quotient d’un isomorphisme linéaire. Dans l’espace vectoriel K2 ,
les applications linéaires sont données par des matrices (2, 2). Pour la droite projective
P1 (K) := P (K2 ), les homographies sont donc données par une formule :
(1)
(x : y) 7→
αx + βy
γx + δy
avec αδ − βγ 6= 0. Dans la formule (1) ci-dessus, les coefficients sont bien déterminés à un
facteur de proportionnalité près. Plus généralement :
Proposition 1.1. — Soient E et E 0 deux K-vectoriels de dimension finie. Deux applications linéaires injectives E → E 0 induisent la même application projective P (E) → P (E 0 )
si, et seulement si, elles sont proportionnelles.
Toute application linéaire injective définit une application projective, et deux applications
linéaires proportionnelle donnent la même application projective. La proposition dit que
c’est le seul cas d’égalité possible. Autre paraphrase :
Corollaire 1.2. — Pour un K-vectoriel de dimension finie E, la suite de groupes
0 → K× → GL(E) → P GL(E) → 1
(où le premier morphisme est donné par l’inclusion des homothéties) est exacte.
Exercice 6. — Montrer ces énoncés.
3
Cela permet de calculer aussi les birapports. Raisonnons sur les abscisses projectives. Par
définition, h(x) = [a, b, c, x] est une homographie, telle que h(a) = ∞ et h(b) = 0. D’où
une formule :
x−b
h(x) = λ
x−a
ajustée par h(c) = 1. Si la formule convient aux trois points du repère, c’est la bonne.
Retenir :
Une homographie est entièrement déterminée par ses valeurs sur un repère.
1.7. Birapport. — Il est commode, vu l’importance de la chose, d’appeler birapport
de quatre points A, B, C et D d’une droite, et de noter [A, B, C, D], le nombre (ou ∞)
abscisse projective de D quand on choisit (A, B, C) comme repère projectif (A, B, C sont
donc supposés distincts).
Exercice 7. — Sur une droite projective, rapportée à un repère projectif, on considère 4
points A, B, C, D de coordonnées homogènes respectives :
(1 : 0) , (0 : 1) , (2 : 1) et (−4 : 2).
Calculer le birapport [A, B, C, D].
Exercice 8. — Montrer que le birapport est invariant par toute homographie. Donner
une formule.
Exercice 9 (Birapport et théorème de Thalès). — Exprimer un birapport en termes de mesures algébriques et faire le lien entre conservation du birapport et théorème de
Thalès.
Comment mesurer un haut mélèze sur une pente alpine ?
Exercice 10. — Dans le plan projectif, rapporté à un repère projectif, on considère 4
points alignés A, B, C, D de coordonnées homogènes respectives :
(1 : −2 : 0) , (3 : −1 : −1) , (x : 0 : −2) , (y : −4 : 2).
Calculer le birapport [A, B, C, D].
On dit que les quatre points sont en division harmonique si leur birapport est égal à −1.
Exercice 11 (Propriété du quadrilatère complet). — Soit A,B,C,D un repère projectif du plan. Soit E (respectivement F) le point d’intersection des droites AB et CD
(respectivement AD et BC). Soit I (respectivement J) le point d’intersection de AC et
BD (respectivement AC et EF). Montrer que les points A,C,I,J forment une division harmonique.
1.8. Sous-espaces projectifs. —
Définition 1.3. — Un sous-espace d’un espace projectif P (E) est un espace projectif
P (F ) pour un sous-espace vectoriel F de E.
On parle de droite, de plan, d’hyperplan projectif quand le sous-espace vectoriel F est,
respectivement, de dimension 2, de dimension 3, un hyperplan vectoriel. On parle de
sous-espace projectif engendré par une partie (en donner la définition). La formule des
dimensions dans le cas vectoriel entraı̂ne :
4
Théorème 1.4. — Soient P1 et P2 deux sous-espaces de dimension finie d’un espace
projectif, et P l’espace engendré par leur réunion. L’espace P est de dimension finie,
l’intersection P1 ∩ P2 est un sous-espace projectif de dimension finie, et :
dim P1 + dim P2 = dim P + dim(P1 ∩ P2 ).
En particulier, deux droites distinctes du plan projectif se coupent toujours en un point
et un seul. Les parallèles ont disparu des énoncés. Il a suffit pour cela d’adjoindre aux
droites affines un point supplémentaire portant l’information de leur direction (point à
l’infini, qui se matérialise en point de fuite dans le dessin en perspective). Noter aussi que
cet énoncé est formellement similaire à l’énoncé : par deux points distincts passent une
droite et une seule (voir le chapitre sur la dualité).
Exercice 12. — Toute droite projective rencontre un hyperplan projectif en un point et
un seul.
Exercice 13. — On prend pour K le corps premier à p éléments. Combien l’espace projectif de dimension n contient-il de droites projectives ?
Exercice 14. — Une compagnie organise des croisières d’un mois en été; elle promet,
entre autres choses, à chaque passager de pouvoir partager un dı̂ner avec le commandant.
Comme, jour après jour, l’invité, esseulé, s’ennuie à la table des officiers, le commandant
décide pour le second mois de faire en sorte que chaque couple de passagers se rencontre
une fois à sa table. Le chef des cuisines, qui sait compter, prend ce changement assez
mal et prévient qu’il refuse de servir plus de six invités à chaque dı̂ner. Le commandant,
qui compte encore mieux, réplique que c’est exactement ce qu’il lui faut. Cette discussion
a-t-elle lieu le 29 juillet ou le 26 août ? Le commandant a-t-il raison ?
1.9. Coordonnées projectives. — Pour repérer les points d’un espace projectif P (E),
le plus simple est d’utiliser les coordonnées d’un vecteur directeur dans une base de l’espace
vectoriel E. Elles ne sont bien définies qu’à un coefficient de proportionnalité près; on les
nomme coordonnées homogènes.
Si on se donne les coordonnées homogènes de deux points d’une droite, disons (1 : 0) et
(0 : 1) pour fixer les idées, les coordonnées homogènes des autres points ne sont pas pour
autant déterminées. Les coordonnées d’un troisième point sont nécessaires.
Définition 1.5. — Soit n un entier positif ou nul, et soit P (E) un espace projectif de
dimension n. Un repère projectif de P (E) est un (n + 2)-plet de points (M0 , . . . , Mn+1 )
tel qu’il existe une base de l’espace vectoriel E, (e0 , . . . , en ), tel que le vecteur ei dirige
Mi , et la somme e0 + · · · + en dirige Mn+1 .
Proposition 1.6. — Dans les notations ci-dessus, un repère (M0 , . . . , Mn+1 ) détermine
la base (e0 , . . . , en ) à un coefficient de proportionalité près.
Exercice 15. — Utiliser ce résultat pour démontrer que deux applications linéaires induisent la même homographie si et seulement si elles sont proportionnelles.
Démonstration. Soient (e0 , . . . , en ) et (e00 , . . . , e0n ) deux bases qui conviennent. On a donc,
pour chaque i, e0i = ai ei pour un scalaire ai . La condition sur le dernier point nous dit
Pi=n 0
Pi=n
qu’il existe un scalaire, non nul, a tel que :
e
=
a
i
i=0
i=0 ei . Cette somme vaut
Pi=n
par ailleurs
i=0 ai ei , et comme la famille (e0 , . . . , en ) est libre, c’est que tous les ai
égalent a. On peut se demander quels points peuvent compléter une suite de points en un
repère projectif. Pour la droite projective, tout triplet de points distincts est un repère;
5
en général, la réponse est donné par la caractérisation intrinsèque (qui ne dépend que de
l’espace projectif, sans référence à l’espace vectoriel) suivante.
Proposition 1.7. — Dans un espace projectif de dimension n, n + 2 points forment un
repère projectif si, et seulement si, aucun hyperplan projectif ne contient n + 1 de ces
points.
Démonstration. Comme n+1 points d’un repère projectif proviennent toujours d’une base
vectorielle, la condition est nécessaire. Réciproquement, la condition impose que les n + 1
premiers points sont dirigés par des vecteurs qui forment une base. Notons la (e0 , . . . , en ).
Pi=n
Le dernier point est dirigé par un vecteur i=0
ai ei , et la condition dit qu’aucun des
scalaires ai n’est nul. La base (a0 e0 , . . . , an en ) montre que l’on a bien affaire à un repère
projectif au sens de la définition.
Les repères projectifs ressemblent aux repères affines. Il est bon cependant de noter une
différence technique qui rend leur maniement moins aisé. Un choix de points d’un repère
ne fournit jamais un repère d’un sous-espace.
Exercice 16. — Deux repères projectifs d’un espace projectif étant donnés, il existe une
et une seule homographie envoyant un repère sur l’autre.
1.10. L’affine à partir du projectif. — Ce passage est assez facile : il nous suffit
de retirer les points à l’infini. Encore faut-il s’entendre sur ce qu’est l’infini. La question
inverse, qui est étudiée au paragraphe suivant, nous guide sur la nature de cet infini. En
effet, si l’on part d’un espace affine, on a besoin de compter un point à l’infini pour chaque
direction de droite affine, c’est-à-dire un point pour chaque droite vectorielle de l’espace
vectoriel sous-jacent à l’espace affine. Voilà qui semble nous indiquer que les points à
l’infini forment un hyperplan projectif.
Proposition 1.8. — Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et H un hyperplan
vectoriel de E. Il existe sur le complémentaire P (E) \ P (H) de l’hyperplan projectif P (H)
une structure d’espace affine, déterminée, à isomorphisme affine près, par la propriété
suivante : pour tout hyperplan affine H dans E, dirigé par H, et ne contenant pas 0, la
projection de H vers P (E) \ P (H) est un isomorphisme affine.
La proposition est presque tautologique : une fois vérifiée que la projection met H en
bijection avec P (E) \ P (H), il suffit de transporter la structure. Il est vivement conseillé
de faire le dessin habituel, où H est la droite affine d’équation y = 1 de K2 .
On parle d’hyperplan à l’infini pour P (H), et de carte affine pour P (E) \ P (H) (ou plus
précisément pour la bijection de P (E) \ P (H) vers H).
Exercice 17. — Donner la carte affine quand H est l’hyperplan de dernière coordonnée
nulle dans Kn+1 .
Exercice 18. — La restriction à une carte affine définit un isomorphisme de groupes,
du groupe des homographies laissant l’hyperplan à l’infini globalement invariant, vers le
groupe affine de la carte affine. Préciser l’isomorphisme réciproque (c’est-à-dire : prolonger une application affine en une homographie).
6
1.11. Le complété vectoriel d’un espace affine. — Nous étudions maintenant le
problème réciproque, à la lumière de ce que le problème direct nous a appris. Partant
→
−
d’un espace affine A, non vide, dirigé par un espace vectoriel A , on cherche d’abord à
trouver un espace vectoriel dont A serait un hyperplan affine pour reproduire la situation
précédente.
1.11.1. construction naı̈ve. — La réponse la plus simple consiste à ajouter la dernière
→
−
→
−
coordonnée et considérer l’espace vectoriel A ⊕ K. Pour voir A dans A ⊕ K, on choisit
−−→
un point O dans A, et on fait correspondre à un point M de A le vecteur (OM , 1). Ceci
définit un isomorphisme affine de A vers un hyperplan affine de E. Cet isomorphisme,
cependant, dépend du choix du point O.
1.11.2. construction intrinsèque. — On considère l’ensemble E constitué des vecteurs de
→
−
A et des points pondérés. Pour chaque choix d’un point O dans A, il y a une bijection
→
−
→
−
→
−
de E = A t A × K× vers A ⊕ K qui associe le vecteur (x, 0) à un vecteur x de A , et
−−→
le vecteur (µOM , µ) au point pondéré (M, µ). On munit alors E de la structure d’espace
vectoriel qui fait de cette bijection un isomorphisme linéaire.
Exercice 19. — Décrire la loi additive de l’espace vectoriel E.
Il résulte de la théorie classique des barycentres que la structure ainsi définie est indépendante
du choix du point O dans A. Les points de poids 1 forment un hyperplan affine de E,
auquel s’identifie l’espace affine A. On appelle l’espace vectoriel ainsi obtenu le complété
vectoriel de l’espace affine A.
Remarque. Cette construction justifie complètement l’usage des sommes de points pondérés
et de vecteurs en géométrie affine. En particulier, toute formule ainsi constituée, qui est
formellement vraie, est vraie, car elle est vraie dans le complété vectoriel E. Par exemple :
(A + x) + B
A+B x
=
+ .
2
2
2
1.11.3. Naturalité de la complétion vectorielle. —
Proposition 1.9. — Toute application affine se prolonge en une unique application linéaire
entre les complétés vectoriels. La correspondance qui associe à une application affine
l’application linéaire qui la prolonge respecte la composition des applications.
1.12. Le complété projectif d’un espace affine. — Soit A un espace affine dirigé
→
−
par A , et soit E son complété vectoriel. L’oubli du poids induit un isomorphisme affine
→
−
du complémentaire de l’hyperplan P ( A ) sur l’espace affine A. L’espace projectif P (E)
est de ce fait appelé complété projectif de l’espace affine A.
1.12.1. Prolongement. —
1.12.2. Coordonnées affines, projectives et barycentriques. —
Exercice 20. — En interprétant un espace affine comme l’hyperplan de dernière coordonnée égale à 1 dans un espace vectoriel E, interpréter les coordonnées dans un repère
barycentrique comme des coordonnées de vecteurs dans E. Cela justifie déjà les sommes
de points en affine.
Interprétant l’espace affine comme un morceau du projectif de E, donner l’interprétation
des coordonnées barycentriques en coordonnées homogènes (on précisera le point manquant pour faire un repère projectif ).
7
1.13. Envoi de points à l’infini. — Le quadrilatère complet; théorème de Pappus,
de Desargues et autres exemples.
1.14. Homographies de la droite projective. — Points fixes. Involutions.
1.15. Dualité dans le plan projectif. —
1.15.1. dualité dans les espaces vectoriels. — Le dual d’un espace vectoriel E est l’espace
vectoriel des formes linéaires, c’est-à-dire des applications linéaires de E vers le corps K.
Souvent, pour une forme linéaire f , on note par un crochet < x, f > la valeur de f sur
un vecteur x. Si on se donne une base e, les formes coordonnées sont un exemple typique
de forme linéaire. En fait, pour une base finie e = (e1 , . . . , en ), les formes coordonnées
constituent une base de l’espace vectoriel dual E ∗ . La base ainsi formée est appelée base
duale, on peut la noter e∗ = (e∗1 , . . . , e∗n ), où e∗i est la i-ème forme coordonnée. On a
donc :
i=n
X
x=
< x, e∗i > ei .
i=1
Pour se convaincre que la famille e∗ est bien génératrice, il suffit de se rappeler qu’une
forme est déterminée par ses valeurs sur la base par la formule :
f=
i=n
X
< ei , f > e∗i .
i=1
Il en résulte que si E est de dimension finie, son dual est aussi de dimension finie et a
même dimension. Ces deux espaces vectoriels sont donc isomorphes, mais (on le verra plus
bas) aucun isomorphisme ne s’impose plutôt qu’un autre.
Exercice 21. — Montrer que l’application x 7→< x, − > est une injection linéaire de E
vers son bidual. Quand est-elle un isomorphisme ?
L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de E est l’espace vectoriel des formes qui s’annulent
sur tous les vecteurs de ce sous-espace vectoriel. De même, l’orthogonal d’un sous-espace
vectoriel de E ∗ est l’espace vectoriel des vecteurs qui annulent toutes les formes de ce
sous-espace vectoriel. Cette notion d’orthogonalité n’est pas une notion interne, elle fait
passer d’un espace à son dual et réciproquement.
Regardons plus en détail le cas d’un espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base.
L’équation d’un plan vectoriel s’écrit : ax+by +cz = 0. Ici, x, y et z sont des coordonnées;
si l’on interprète ax + by + cz comme la valeur d’une forme linéaire, les coefficients a, b,
c sont ses coordonnées dans la base duale. Le plan vectoriel en question en est le noyau.
Les formes de même noyau sont proportionnelles, les coefficients de l’équation sont donc
bien déterminés à un facteur multiplicatif près.
1.15.2. Dualité dans le plan projectif. — Le plan projectif dual du plan projectif P (E) est
par définition le plan projectif P (E ∗ ). L’application qui à une forme linéaire associe son
noyau induit une application de P (E ∗ ) vers l’ensemble des droites projectives de P (E).
Cette application est bijective. Une base étant choisie, cette bijection associe simplement
la droite d’équation ax + by + cz = 0 au point de P (E ∗ ) de coordonnées homogènes
(a : b : c) (pour la base duale du dual, bien sûr).
Sous cette correspondance, une droite projective dans le plan projectif dual P (E ∗ ) peut
être vue comme un ensemble de droites projectives dans P (E). Un tel ensemble s’appelle
un faisceau de droites.
8
Proposition 1.10. — les droites passant par un point donnée forment un faisceau. Tout
faisceau de droites est l’ensemble des droites qui passent par un point.
Le point en question s’obtient simplement en associant, comme ci-desus, à la droite de
P (E ∗ ) un point de P (E ∗∗ ) (vérifiez).
Cette correspondance permet de définir le birapport de quatre droites concourantes du
plan comme étant le birapport des quatre points de la droite du plan projectif dual
qui correspond au faisceau qui contient ces droites. On parle par exemple de faisceau
harmonique.
Il vous reste à vous convaincre que la correspondance en question réalise la dualité qui
échange droites et points, alignement et concourance.
Figures et énoncés duaux. Exemple : la configuration de Desargues
1.15.3. Incidence. — Un calcul permet de vérifier la propriéte fondamentale suivante :
Proposition 1.11. — Soit A un point du plan et D une droite qui ne passe pas par
A. L’application de D sur le faisceau passant par A, qui associe à un point M la droite
(AM ), est une homographie entre droites projectives.
En particulier, le birapport de quatre droites concourantes est égal au birapport des quatre
points d’incidence sur une sécante quelconque.
Applications : construction du quatrième harmonique, une perspective est une homographie.
Exercice 22. — Exprimer le birapport de quatre droites du plan euclidien en fonction
du sinus de leurs angles.
2. Les coniques par la géométrie projective
2.1. Formes quadratiques. — classification
2.2. Quadriques. —
2.2.1. Quadrique et image d’une quadrique. —
Proposition 2.1. — Sur le corps des complexes, deux formes quadratiques s’annulent
sur les mêmes vecteurs si, et seulement si, elles sont proportionnelles.
Démonstration. — Soient q et q 0 deux formes quadratiques, et x0 un vecteur qui n’annule
pas q. Pour chaque vecteur x, la quantité q(x0 + tx) est un polynôme en t, de degré deux
au plus. Il en est de même de q 0 (x0 + tx). Si les formes q et q 0 s’annulent sur les mêmes
vecteurs, alors ces deux polynômes ont mêmes racines. Comme le corps est algébriquement
clos, et que le degré des polynômes est deux au plus, cela entraı̂ne que ces polynômes sont
proportionnels : q(x0 + tx) = λx q 0 (x0 + tx). En faisant t = 0, on constate que la constante
λx ne dépend pas de x. Les formes q et q 0 sont donc proportionnelles.
2.2.2. Intersection droite/conique. —
2.3. Polarité. —
2.4. Problèmes de construction à la règle. —
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2.5. Paramétrisation des coniques. — Une conique comme droite projective : la
correspondance [u, v] 7→ [u2 , v 2 , uv] paramètre la conique d’équation XY = Z 2 .
Exercice 23. — Une conique est une homographie entre deux faisceaux de droites (Théorème
de Chasles-Steiner)
Soient A, B, C, D, E, F six points distincts d’un plan projectif P .
1. On suppose que ces six points sont inscrits sur un même cercle dans une carte affine
euclidienne E.
(a) Chasles-Steiner, partie directe
Montrer qu’il existe une homographie h du faisceau FA des droites passant par
A sur le faisceau FC des droites passant par C et telle que :
h(AB) = CB,
h(AF ) = CF,
h(AE) = CE,
h(AD) = CD
(b) Hexagramme mystique de Pascal.
On note : P = AB ∩ DE, Q = AF ∩ DE, R = BC ∩ EF , T = CD ∩ EF .
Montrer que :
[P, Q, E, D] = [R, F, E, T ].
En déduire que les droites P R, QF et CD sont concourantes.
(c) généralisation : le cercle est remplacé par une conique non-dégénérée, ou dégénérée.
2. Chasles-Steiner, partie réciproque
On suppose qu’il existe une homographie h : FA → FC satisfaisant aux conditions
précédentes. Montrer que les points A, B, C, D, E et F sont situés sur une même
conique.
2.6. Paramétrisation des coniques. —
2.7. Centre. —
3. Le complété projectif complexe d’un espace euclidien
3.1. Complexification. —
3.2. Forme bilinéaire non dégénérée et dualité. —
3.3. — Points cycliques, formule de Laguerre, perpendicularité, bissectrices
3.4. Étude métrique des coniques. — cercles, foyers, directrices, excentricité.
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Références
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Harold Scott MacDonald ”Donald” Coxeter, the Real projective plane, Springer 1993.
H. S. M. Coxeter, Projective geometry, Springer 1987.
Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie, Actualités scientifiques et industrielles 1437,
Hermann 1996.
Yves Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques, Ellipses 2002.
Daniel Lehmann & Rudolphe Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF 1988.
Rached Mneimné, Éléments de géométrie, Cassini, 1997.
Pierre Samuel, Géométrie projective, PUF 1986.
Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, Interédition, Paris, 1993.
Claude Tisseron, Géométrie affine, projective et euclidienne, Hermann 1983.
Bernard Truffault, Géométrie projective, IREM Pays de la Loire, Nantes, 2nde éd., 1999.