Anneaux factoriels, anneaux noethériens (TD7) FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Avril 2013 Exercice 1 Soit k un corps. Montrer que le sous-anneau de k[X, Y ] engendré par les X n Y pour n ≥ 1 n'est pas noethérien. Exercice 2 Soit k un corps. a) Montrer que le sous-anneau k[T 2 , T 3 ] de k[T ] n'est pas factoriel. b) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(X 2 − Y 3 ) est isomorphe à k[T 2 , T 3 ]. c) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(X 2 − Y ) est isomorphe à k[T ]. d) Montrer que la k-algèbre k[X, Y ]/(XY − 1) n'est pas isomorphe à k[T ]. Exercice 3 On rappelle qu'un nombre complexe x est un entier algébrique s'il existe un polynôme P ∈ Z[X] unitaire tel que l'on ait P (x) = 0. On note Q la clôture algébrique de Q dans C et Z son sous-anneau des entiers algébriques. a) Montrer que le corps des fractions de Z est Q. b) Montrer que Z n'est pas noethérien. Exercice 4 Soit A = {P ∈ Q[X] | P (0) ∈ Z}. a) Déterminer le corps des fractions de A. b) Montrer que A n'est pas factoriel. c) Montrer que A n'est pas noethérien. d) Montrer que A est de Bézout, c'est-à-dire que tout idéal de type ni de A est principal. Exercice 5 Soit A un anneau factoriel tel que tout idéal premier non nul est maximal. a) Soient x, y des éléments non nuls de A, que l'on suppose premiers entre eux. Montrer qu'il existe u, v ∈ A vériant ux + vy = 1. b) Soit I un idéal non nul de A. Montrer qu'il existe d ∈ A non nul qui est un pgcd de tous les éléments de I . c) Conclure que A est principal. Exercice 6 Soit A un anneau commutatif unitaire noethérien. a) En raisonnant par l'absurde, montrer que, pour tout idéal I de A, il existe des idéaux premiers Pi vériant P1 P2 · · · PnI ⊆ I . b) Montrer que l'on peut exiger I ⊆ Pi pour tout 1 ≤ i ≤ nI dans la question précédente. c) En déduire qu'il existe un nombre ni d'idéaux premiers minimaux. Exercice 7 Soient A un anneau commutatif unitaire et P un A-module. On dit que P est projectif si pour tout 1 surjectif de A-modules f : M 0 → M et pour tout morphisme g : P → M , il existe un morphisme h : P → M 0 tel que l'on ait g = f ◦ h. a) Montrer qu'un module est projectif si et seulement si il est facteur direct d'un module libre. b) Supposons que A est un corps. Montrer que tout A-module est projectif. c) Supposons A principal. Montrer que tout A-module projectif de type ni est libre. d) Supposons A local, c'est-à-dire qu'il possède un unique idéal maximal. En utilisant le lemme de Nakayama, montrer que tout A-module projectif de type ni est libre. Soient R1 et R2 deux anneaux commutatifs unitaires non nuls. On considère l'anneau produit R = R1 ⊕ R2 , sur lequel R1 et R2 sont des modules via les projections canoniques. e) Montrer que R1 et R2 sont des R-modules projectifs non libres. Soient Λ l'anneau des fonctions R → R continues 2π -périodiques et M le Λ-module des fonctions f : R → R continues et vériant f (x + 2π) = −f (x) pour tout x ∈ R. f) Montrer l'isomorphisme de Λ-modules ∼ Λ⊕Λ − → (f, g) 7→ f cos x 2 + g sin M ⊕ M x 2 , f sin x 2 − g cos x 2 . g) Montrer que M est un Λ-module projectif non libre. Exercice 8 Soient A un anneau commutatif unitaire et X un ensemble. Soit M un A-module. On note M X le A-module des fonctions de X dans M . On dit que M est de présentation nie s'il existe des entiers n et m tels que M s'insère dans une suite exacte Am → An → M → 0. a) Supposons A noethérien et M de type ni sur A. Montrer que M est de présentation nie. b) Supposons M de présentation nie. Montrer que l'application naturelle AX ⊗A M → M X est un isomorphisme. Supposons A noethérien. c) Montrer que AX est un A-module plat. d) Montrer que l'application canonique AX ⊗A M → M X est une injection dont l'image est le sous-A-module de M X formé des fonctions sur X à valeurs dans un sous-A-module de type ni de M . 2