Calculs avec les nombres complexes

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Calculs avec les nombres complexes
I Questions de cours
1. Un nombre complexe est un nombre de la forme z=...? , avec xet yr´eels, et avec
iv´erifiant i2=...? Tout nombre complexe admet une ´ecriture unique sous cette
forme. Cette ´ecriture s’appelle la forme ...? du nombre complexe.
L’ensemble des nombres complexes se note ...?
xs’appelle la partie ...? de z,ys’appelle la partie ...? de z.
On note x=...? (z) et y=...? (z)
Dire que zest r´eel ´equivaut `a dire que y=...?
Dire que zest imaginaire pur ´equivaut `a dire que ...?
2. Les r`egles de calcul dans Cpour les op´erations +,×,−, / sont les mˆemes que dans
...? mais la notion de signe n’est pas d´efinie dans C(donc pas d’in´egalit´es) et les
puissances znne peuvent avoir que des exposants nentiers pour znon r´eel.
3. Principe d’identification (´egalit´e de deux nombres complexes) : deux nombres com-
plexes sont ´egaux si et seulement si ils ont mˆeme partie ...? et mˆeme partie ...?
Cette propri´et´e permet de traduire une ´egalit´e entre deux nombres complexes par
un syst`eme de deux ´equations entre nombres r´eels.
4. Soit zde forme alg´ebrique x+iy et z0de forme alg´ebrique x0+iy0
Re(zz0) = ...? ; Im(zz0) = ...? ; Re(z+z0) = ...? ; Im(z+z0) = ...?
5. Soit zde forme alg´ebrique x+iy.
On appelle conjugu´e de zle nombre not´e z=...?
Le conjugu´e du conjugu´e de zest z=...? ;zz =...? ;z+z=...?
Dire que zest r´eel ´equivaut `a dire que z=...?
Dire que zest imaginaire pur ´equivaut `a dire que z=...?
6. Inverse : pour z /=0, 1
z=...? (utiliser le conjugu´e de z).
7. Pour chacune des op´erations +,−,×, /, puissance le conjugu´e du r´esultat de
l’op´eration appliqu´ee `a deux nombres complexes est le r´esultat de l’op´eration ap-
pliqu´ee aux conjugu´es des deux nombres. Traduire cette propri´et´e par quatre formules.
II Exemples
1. D´eterminer la partie r´eelle de z2en fonction de la partie r´eelle et de la partie imaginaire
de z. En d´eduire les solutions de l’´equation z2= 2i
Notons xla partie r´eelle de z:x= Re(z) et ysa partie imaginaire y= Im(z).
Autrement dit z=x+iy avec xet yr´eels. Alors z2= (x+iy)2=x2+ 2ixy + (iy)2
(les r´egles habituelles de calcul s’appliquent). Donc z2=x2+ 2ixy −y2(puisque
i2=−1).
z2= (x2−y2) + (2xy)iavec x2−y2r´eel et 2xy r´eel.
Donc d’apr`es l’unicit´e de la d´ecomposition d’un nombre complexe sous sa forme
alg´ebrique, Re(z2) = x2−y2et Im(z2) = 2xy.
L’´equation z2= 2i´equivaut `a (x2−y2) + (2xy)i= 2i. Donc, d’apr`es le principe
d’identification des parties r´eelles et des parties imaginaires, x2−y2= 0
2xy = 2 .
On r´esout ce syst`eme : la premi`ere ´equation ´equivaut `a x=you x=−y. En
rempla¸cant dans le deuxi`eme, on obtient 2x2= 2 ou −2x2= 2. Seule la premi`ere
de ces ´equations a des solutions r´eelles : x= 1 ou x=−1. Donc finalement les
solutions sont (x, y) = (1,1) ou (x, y)=(−1,−1), soit z= 1 + iou z=−1−i.
V´erifions : (1 + i)2= 1 + 2i+i2= 1 + 2i−1=2i.
2. Calculer la partie r´eelle et la partie imaginaire de iz en fonction de celles de z. Pour
quels zde Ca-t-on iz imaginaire pur ?
Soit z=x+iy la forme alg´ebrique de z.iz =i(x+iy) = ix +i2y=ix −y.
Donc Re(iz) = −Im(z) et Im(iz) = Re(z).
iz est imaginaire pur lorsque Re(iz) = 0, soit Im(z) = 0, soit zr´eel.
3. Calculer la forme alg´ebrique de l’inverse de 1 + i
1
1 + i=1 1 + i×1−i 1−i=1−i (1 −i)(1 + i)=1−i 12−i2=1−i 2=1 2−1 2i.
(m´ethode : on a multipli´e et divis´e par le conjugu´e de 1 + i, qui est 1 −i).
4. D´eterminer les nombres complexes ztels que z+1+iz =z+ 1 −iz
z+1+iz =z+ 1 −iz (Propri´et´es utilis´ees : conjugu´e d’une somme, conjugu´e d’un
r´eel 1, conjugu´e d’un produit iz, conjugu´e d’un imaginaire pur i).
La condition s’´ecrit : z+ 1 −iz =z+ 1 −iz ⇔z(1 −i) = z(1 −i)⇔z=z(car
1−i /=0) C’est ´equivalent `a dire que zest r´eel.