Fiche 4 sur les anneaux et corps

Université de Rouen
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Algèbre. Fiche n 4
L2 Math / L2 Info
Anneaux, corps
Année 2014-2015
Exercice 1.
[•]
Exercice 2.
[•]
Exercice 3.
[•]
On considère l'ensemble Z + iZ = {a + ib|a ∈ Z, b ∈ Z}.
(1) Montrer que Z + iZ est un sous-anneau de (C, +, ·).
(2) Pour x ∈ Z + iZ, on pose N (x) = |x|2 , où | · | désigne le module dans C. Montrer qu'un
élément x ∈ Z + iZ est inversible (dans Z + iZ) si et seulement si N (x) = 1.
(3) En déduire l'ensemble des éléments inversibles dans Z + iZ.
Soit A un anneau commutatif unitaire.
(1) Montrer que pour tout x ∈ A, l'ensemble xA = {y ∈ A|∃a ∈ A : y = xa} est le plus petit
idéal de A contenant x.
(2) Montrer que xA = A si et seulement si x est inversible dans A. En déduire que A est un
corps si et seulement si {0} et A sont les seuls idéaux de A.
Soit A un anneau et soient I, J deux idéaux de A.
(1) Montrer que I ∩ J est le plus grand idéal de A contenu à la fois dans I et dans J .
(2) Montrer que I + J = {z ∈ A|∃x ∈ I, ∃y ∈ J : z = x + y} est le plus petit idéal de A
contenant à la fois I et J .
(3) A-t-on I ∩ J = I + J ?
Exercice 4.
Soit A un anneau principal. Soient a, b ∈ A et d (resp. m) un PGCD (resp. PPCM) de a et b.
(1) Montrer que a divise b dans A si et seulement si bA ⊂ aA.
(2) Montrer que aA + bA = dA et que aA ∩ bA = mA.
(3) Montrer que Z est un anneau principal.
(4) En déduire la relation de Bezout.
(5) Déterminer la somme xZ + yZ ainsi que l'intersection xZ ∩ yZ pour x = 23, y = 41, pour
x = 121 et y = 737, et pour x = 72 et y = 84.
Exercice 5.
[•]
√
Montrer que l'ensemble K = {a + b 2|a ∈ Q, b ∈ Q} est un sous-corps de R.
Exercice 6.
Soit (A, +, ·) un anneau. On appelle centre de A l'ensemble C = {x ∈ A|∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 7.
On dénit sur R les deux lois ⊕ et ⊗ par :
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x ⊕ y = x + y − 1 et x ⊗ y = x + y − xy.
Montrer que (R, ⊕, ⊗) est un corps.
Exercice 8.
Soit M = {aI2 + bJ|a, b ∈ R} où I2 =
1
0
0
0
et J =
1
1
2
.
0
(1) Calculer J 2 et montrer que si a, b ∈ R et aI2 + bJ = 0 alors a = b = 0.
(2) Montrer que, muni des lois usuelles sur M2 (R), M est un anneau. Est-il commutatif,
intègre ? M est-il un corps ?
2
Exercice 9.
[•]
Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que x ∈ A est nilpotent s'il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0.
(1) Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible.
(2) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent alors xy et x + y sont nilpotents.
(3) Un corps admet-il des éléments nilpotents non nuls ?
Exercice 10.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
[•]
Écrire les tables de multiplication respectives des anneaux Z/5Z et Z/12Z.
Donner les éléments inversibles de ces anneaux.
Déterminer les diviseurs de zéro de ces anneaux.
Dans Z/12Z, résoudre 5 x = 5 puis 6 x = 6.
n
Dans Z/12Z, calculer 10 pour n ∈ N∗ .
Exercice 11.
[•]
(1) Montrer que x est inversible dans Z/nZ si et seulement si x est premier avec n.
(2) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) p est premier,
(b) l'anneau Z/pZ est intègre,
(c) Z/pZ est un corps.
Exercice 12.
[•]
Soient n1 et n2 deux entiers ≥ 2 premiers entre eux. On sait qu'il existe deux entiers relatifs u
et v tels que un1 + vn2 = 1.
(1) Soient a1 , a2 et a dans Z tels que a ≡ a1 vn2 + a2 un1 [n1 n2 ]. Montrer que pour tout x ∈ Z :
(x ≡ a1 [n1 ] et x ≡ a2 [n2 ]) ⇐⇒ x ≡ a[n1 n2 ].
(2) Résoudre :

x ≡
x ≡

x ≡
1 [17]
2 [28] .
3 [31]
(3) Montrer que l'application φ de Z/(n1 n2 )Z dans Z/n1 Z × Z/n2 Z qui à x̄ associe le couple
(ẋ, ẍ) est un isomorphisme d'anneaux. En déduire que Z/24Z est isomorphe à Z/8Z×Z/3Z.
Exercice 13.
Soit (A, +, ×) un anneau unitaire, intègre et commutatif. On dénit sur A × A∗ une relation
binaire R par :
(p, q)R(p0 , q 0 ) ⇐⇒ pq 0 = p0 q,
ainsi que les opérations :
(p, q) + (p0 , q 0 ) = (pq 0 + p0 q, qq 0 ), (p, q).(p0 , q 0 ) = (pp0 , qq 0 ).
(1) Montrer que R est une relation d'équivalence.
(2) Montrer que l'addition et la multiplication ainsi dénies sont compatibles avec R.
(3) On note K = (A × A∗ )/R et pq la classe d'équivalence de (p, q). Comment s'écrivent
l'addition et la multiplication dans K. Montrer que (K, +, .) est un corps commutatif ;
celui-ci est appelé corps des fractions de A.
(4) Montrer que l'application Φ : A → K dénie par Φ(p) = p1 est un homomorphisme injectif.
(5) Qu'obtient-on si A = Z ? Et si A est un corps ?
3
. Contrôle continu 2, décembre 2013.
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif unitaire. On suppose que A est un anneau intègre.
On considère l'ensemble A des fonctions f : R −→ A et on munit A des lois de compositions
internes + et × dénies par, pour tous f, g ∈ A :
Exercice 14.
f + g : R −→
x 7−→
A
f (x) + g(x)
et
f × g : R −→
x 7−→
A
.
f (x) × g(x)
On admet que (A, +, ×) est un anneau commutatif unitaire d'élément nul l'application 0A : R −→ A
x 7−→
et d'élément unité l'application 1A : R −→ A .
x 7−→
1A
(1) Soit f ∈ A. Montrer que f est inversible dans A si, et seulement si, pour tout x ∈ R, f (x)
est inversible dans A.
(2) Soit f ∈ A non nulle. Montrer que f est un diviseur de zéro si, et seulement si, il existe
x ∈ R tel que f (x) = 0A .
(3) L'anneau A est-il intègre ? Est-ce un corps ?
(4) Soit I un idéal de A. Montrer que l'ensemble I des fonctions f : R −→ I est un idéal de
A.
(5) Soit B un sous-anneau de A. Montrer que l'ensemble B des fonctions f : R −→ B est un
sous-anneau de A.
Exercice 15.
. Contrôle continu 2, décembre 2013.
(1) L'anneau Z/20Z est-il intègre ?
(2) Quels sont les éléments inversibles de Z/20Z ?
(3) Quels sont les éléments inversibles de Z/4Z × Z/6Z ?
0A