L3 Mathématiques Algèbre commutative Feuille 2

L3 Mathématiques
Algèbre commutative
Feuille 2
Exercice 1. Quel est le sous-anneau de Cengendré par N? Et celui engendré par {1}?
Et celui engendré par D(0,1)? Et celui engendré par C(0,1)?
Exercice 2. On considère l’anneau A0[3
√3]. Donner la forme générale de ses éléments.
Exercice 3. Soit Aun anneau et (x, a, b)∈A3.
1. On suppose que xest nilpotent, montrer que 1−xadmet un inverse.
2. On suppose que ab est nilpotent, montrer que 1−ba admet un inverse.
3. On suppose que 1−ab est inversible, montrer que 1−ba l’est aussi.
Exercice 4. Montrer que Z/nZest un corps si et seulement si Z/nZest intègre et si et
seulement si nest premier.
Exercice 5. Déterminer les diviseurs de 0et les éléments inversibles dans C(R;R).
Exercice 6. Soit Aun anneau de Boole intègre. Montrer que Aest un corps et que Aa
deux éléments.
Exercice 7. Soit Kun corps. Résoudre les équations suivantes :
1. Q2=XP 2d’inconnues P, Q ∈K[X];
2. P◦P=Pd’inconnue P∈K[X].
Exercice 8. Soit A=Z/nZ. Y a-t-il dans A[X]des polynômes inversibles non constants?
Exercice 9. Soit Aun anneau et f∈A[X]et nun entier supérieur ou égal à 2. On
suppose que (X−1)|f(Xn). Montrer que Xn−1divise f(Xn).

Exercice 10. Soit f:R→Run endomorphisme d’anneaux.
1. Calculer f(n)pour n∈Npuis pour n∈Q.
2. Montrer que f(x)≥0si x≥0.
3. En déduire que fest croissante.
4. En déduire que f= IdR.
Exercice 11. Soit Aun anneau intègre. Montrer que Aest régulier pour la multiplication,
c’est-à-dire que
∀(x, y, z)∈A3,(xz =yz et z6= 0) ⇒x=y .
Exercice 12. Soit Aun anneau commutatif.
1. Soit e∈Aun élément idempotent. Montrer que
eA := {ex ;x∈A}
est un anneau commutatif pour l’addition et la multiplication induites par A. Mon-
trer que x7→ e.x est un morphisme d’anneaux de Adans eA. Quel est l’élément
neutre pour .dans eA?
2. On suppose que 1 = e+e0où eet e0sont idempotents. Calculer ee0. Montrer que A
est isomorphe à l’anneau produit eA ×e0A.
Exercice 13. Soit Z[i] = Z0({i}).
1. Donner la forme générale des éléments de Z[i].
2. Montrer que c’est un sous-anneau de C. Est-il intègre?
3. Montrer que z7→ ¯zest un isomorphisme d’anneaux de Z[i]dans lui-même.
4. Déterminer Z[i]∗.
5. Montrer que C={dz , d ∈D(0,1) , z ∈Z[i]}.
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Solutions.
Exercice 1. Réponses Z=C0,Z,Cet C. Pour le dernier cas, on peut voir qu’avec
eiθ +e−iθ on récupère tout le segment [−2,2] et avec eiθ −e−iθ on récupère tout le segment
[−2i, 2i]. Ensuite on récupère Cfacilement.
Exercice 3.
1. Soit n≥2tel que xn= 0. Alors
(1 −x)(1 + x+... +xn−1) = (1 + x+... +xn−1)(1 −x) = 1 −xn= 1 .
2. Soit n≥2tel que (ab)n= 0. Alors
(1 −ba)(1 + ba +... + (ba)n) = (1 + ba +... + (ba)n)(1 −ba)
= 1 −(ba)n+1 = 1 −b(ab)na= 1 .
On remarque que d’après la question précédente, 1−ab est aussi inversible et l’inverse
de 1−ab est 1 + ab +... + (ab)n−1. L’inverse de 1−ba est donc donné à partir de
celui de 1−ab par la formule
(1 −ba)−1= 1 + ba +... + (ba)n= 1 + b(1 + ab +... + (ab)n−1)a= 1 + b(1 −ab)−1a .
3. On reprend la formule de la question précédente pour voir si elle fonctionne toujours.
Soit y= (1 −ab)−1, posons z= 1 + bya. On a
(1 −ba)z= 1 −ba +bya −babya = 1 −ba +b(1 −ab)ya = 1 −ba +ba = 1 ,
z(1 −ba) = 1 −ba +bya −byaba = 1 −ba +by(1 −ab)a= 1 −ba +ba = 1 .
Exercice 4. On a clairement Z/pZcorps ⇒Z/pZintègre. Et on sait aussi que Z/pZ
corps ⇔ppremier car les éléments inversibles sont les classes des entiers compris entre 1
et n−1premiers avec n. Reste à voir que Z/pZintègre entraine Z/pZcorps. Supposons
que Z/pZn’est pas un corps, i.e. que nn’est pas premier. Alors il existe deux entiers p
et qdans {1, ..., n −1}tels que n=pq. En particulier pet qsont des diviseurs de 0, donc
Z/nZn’est pas intègre.
Exercice 6. Soit x∈ A, on a x(1 −x) = x−x2=x−x= 0. Alors x= 0 ou x= 1. On
voit donc que A={0,1}et Aest donc bien un corps.
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Exercice 7.
1. Soit p=doPet q=doQ. On a alors
2p= 1 + 2q .
Ceci est impossible si pet qsont des entiers, donc on a forcément p=−∞ et
q=−∞. Il suit que la seule solution est P=Q= 0.
2. Tout d’abord, 0est clairement solution, supposons P6= 0. On note P(X) = a0+
a1X+... +anXn,do(P) = n∈N. Alors
P(P) = a0+a1P+a2P2+... +anPn
et son degré est n2. On a donc n2=nd’où n= 0 ou 1. Si n= 0 alors on a P=a0=
P(P)dans tous les cas. Si n= 1,P(X) = a0+a1Xet P(P(X)) = a0+a1a0+a2
1X.
Pour avoir égalité, on a le système suivant à résoudre
a0=a0+a1a0, a2
1=a1.
C’est-à-dire
a1a0= 0 , a1= 1 .
La seule solution est donc P(X) = X.
Exercice 8. Dans Z/4Z, on prend les polynômes 1+2Xet 1−2X. Alors
(1 + 2X)(1 −2X) = 1 −(2X)2= 1 car 22= 0 .
Exercice 9. On montre que X−1divise f. C’est clair car f(1) = 0. Le résultat suit.
Exercice 12.
1. La vérification est directe, l’élément neutre pour la multiplication est e. Attention,
on a un anneau commutatif mais pas un sous-anneau de Adu fait que l’élément
neutre change.
2. On a 1 = e+e0. On multiplie par e, il suit e=e+ee0et donc ee0= 0. On essaye
l’application suivante
Φ : A→eA ×e0A , Φ(x)=(ex, e0x).
C’est clairement une bijection du fait que e+e0= 1 (ce qui permet de construire
un inverse). Est-ce un morphisme?
Φ(1) = (e, e0),OK
Φ(x+y) = (ex, e0x)+(ey, e0y),OK
Φ(xy) = (exy, e0xy) = (exey, e0xe0y)=(ex, ey)(e0x, e0y).OK
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