TD numéro 1

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Algèbre 2
LM 372
Université Pierre et Marie Curie
Jeudi 23 Janvier 2014
TD numéro 1
Tous les anneaux considérés dans la feuille d’exercices sont commutatifs.
Exercice 1.
Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) le groupe des endomorphismes
de groupes de G, sur lesquels on définit la loi + par
f +g
G −→ G
x 7−→ f (x) + g(x),
et la loi ◦ par
f ◦g
G −→ G
x 7−→ f (g(x)).
Montrer que (End(G), +, ◦) est un anneau.
Solution de l’exercice 1. Simple vérification. L’élément neutre pour la loi + est f : x ∈ G 7→ 0G et
l’élément neutre pour la loi ◦ est IdG : x ∈ G 7→ x.
Exercice 2.
Soit (A, +, ×) un anneau. Rappeler la définition d’un élément nilpotent.
1. Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible.
2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors xy et x + y sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Solution de l’exercice 2. Un élément x ∈ A est nilpotent s’il existe n > 0 tel que xn = 0.
1. Soit x ∈ A un élément nilpotent et n > 0 tel que xn = 0. Alors comme
n−1
X
1 = 1 − xn = (1 − x)(
xi ),
i=0
on en déduit que 1 − x est inversible d’inverse
Pn−1 i
i=1 x .
2. Soient x et y deux éléments nilpotents de A et soient n et m deux entiers positifs tels que
xn = y m = 0. Alors
(xy)nm = xnm y nm = 0.
Donc xy est nilpotent. De même
(x + y)n+m =
n+m
X
xi y n+m−i = 0.
i=1
En effet soit i ≥ n et xi = 0, soit n + m − i ≥ m et y n+m−i = 0. On en déduit que x + y est
également nilpotent.
Attention : Nous avons utilisé la commutativité de A.
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3. Un corps est un anneau (commutatif) non nul dans lequel tout élément non nul est inversible.
En particulier, un corps est un anneau intègre.
Or un élément nilpotent est un diviseur de 0 On en déduit qu’un corps ne peut pas admettre
d‘’élément nilpotent.
Exercice 3.
Soit (A, +, ×) un anneau. On appelle centre de A l’ensemble
C = {x ∈ A|xy = yx, ∀y ∈ A}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Solution de l’exercice 3. Il suffit de vérifier que C est un sous-groupe de A stable pour × et contenant
1A .
– 0A ∈ C. En effet ∀y ∈ A, on a 0.y = y.0 = 0.
– Soient x, x0 ∈ C, alors ∀y ∈ A, on a (x − x0 )y = xy − x0 y = yx − yx0 = y(x − x0 ). Donc x − x0 ∈ C.
– 1A ∈ C. En effet ∀y ∈ A, 1A .y = y = y.A1 .
– Soient x, x0 ∈ C, alors ∀y ∈ A, on a (xx0 )y = x(x0 y) = x(yx0 ) = · · · = y(xx0 ). Donc xx0 ∈ C.
Exercice 4.
Soient A et B deux anneaux. On définit sur A × B les lois
(
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
1. Montrer que A × B est un anneau.
2. Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A × B.
Solution de l’exercice 4.
1. Simple vérification.
2. Non. Par exemple l’élément (1A , 0B ) est non nul et non inversible.
Exercice 5.
Considérons les ensembles Z[i] = {a + ib|a, b ∈ Z} ⊂ Q[i] = {a + ib|a, b ∈ Q} ⊂ C.
1. Montrer que Z[i] et Q[i] sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles de C.
2. Montrer que Q[i] est un corps.
3. Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
Solution de l’exercice 5.
1. – 0 ∈ Z[i] ⊂ Q[i].
– 1 ∈ Z[i] ⊂ Q[i].
– (a + ib) − (a0 + ib0 ) = (a − a0 ) + i(b − b0 ) et (a + ib) × (a0 + ib0 ) = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b).
Comme Z et Q sont des anneaux on a bien la stabilité pour +, × passage à l’opposé.
1
a
−b
2. Soit a + ib ∈ Q[i] un élément non nul. On a a+ib
= aa−ib
2 +b2 = a2 +b2 + i a2 +b2 . Puisque Q est un
1
corps, les coefficients de a+ib sont rationnels. Donc a + ib est inversible. On en déduit que Q[i]
est un corps.
Exercice 6.
Montrer que tout anneau fini commutatif intègre est un corps.
Solution de l’exercice 6. On montre en fait le résultat suivant : Dans un anneau fini A, tout élément
est soit inversible, soit diviseur de 0. Le résultat de l’exercice est un corollaire immédiat de ce dernier.
On considère l’appliction “multplication par a” ma : A → A définie par ma (x) = ax, ∀x ∈ A. Cette
application est un morphisme de groupe additif. Son noyau est l’ensemble des x ∈ A tels que ax=0.
Si a n’est pas diviseur de 0, ce noyau est réduit à {0}, donc ma est injective. Puisque A est fini on en
déduit que ma est également surjective, et en particulier 1 est dans l’image de ma . Il existe donc x tel
que ax = 1 , ce qui signifie que a est inversible.
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