TD numéro 1

Algèbre 2 Université Pierre et Marie Curie
LM 372 Jeudi 23 Janvier 2014
TD numéro 1
Tous les anneaux considérés dans la feuille d’exercices sont commutatifs.
Exercice 1. Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G)le groupe des endomorphismes
de groupes de G, sur lesquels on définit la loi +par
Gf+g −→ G
x7−→ f(x) + g(x),
et la loi ◦par
Gf◦g −→ G
x7−→ f(g(x)).
Montrer que (End(G),+,◦)est un anneau.
Solution de l’exercice 1. Simple vérification. L’élément neutre pour la loi +est f:x∈G7→ 0Get
l’élément neutre pour la loi ◦est IdG:x∈G7→ x.
Exercice 2. Soit (A, +,×)un anneau. Rappeler la définition d’un élément nilpotent.
1. Montrer que si xest nilpotent alors 1−xest inversible.
2. Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent, alors xy et x+ysont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Solution de l’exercice 2. Un élément x∈Aest nilpotent s’il existe n > 0tel que xn= 0.
1. Soit x∈Aun élément nilpotent et n > 0tel que xn= 0. Alors comme
1=1−xn= (1 −x)(
n−1
X
i=0
xi),
on en déduit que 1−xest inversible d’inverse Pn−1
i=1 xi.
2. Soient xet ydeux éléments nilpotents de Aet soient net mdeux entiers positifs tels que
xn=ym= 0. Alors
(xy)nm =xnmynm = 0.
Donc xy est nilpotent. De même
(x+y)n+m=
n+m
X
i=1
xiyn+m−i= 0.
En effet soit i≥net xi= 0, soit n+m−i≥met yn+m−i= 0. On en déduit que x+yest
également nilpotent.
Attention : Nous avons utilisé la commutativité de A.
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3. Un corps est un anneau (commutatif) non nul dans lequel tout élément non nul est inversible.
En particulier, un corps est un anneau intègre.
Or un élément nilpotent est un diviseur de 0On en déduit qu’un corps ne peut pas admettre
d‘’élément nilpotent.
Exercice 3. Soit (A, +,×)un anneau. On appelle centre de Al’ensemble
C={x∈A|xy =yx, ∀y∈A}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Solution de l’exercice 3. Il suffit de vérifier que Cest un sous-groupe de Astable pour ×et contenant
1A.
–0A∈C. En effet ∀y∈A, on a 0.y =y.0=0.
– Soient x, x0∈C, alors ∀y∈A, on a (x−x0)y=xy −x0y=yx −yx0=y(x−x0). Donc x−x0∈C.
–1A∈C. En effet ∀y∈A,1A.y =y=y.A1.
– Soient x, x0∈C, alors ∀y∈A, on a (xx0)y=x(x0y) = x(yx0) = · · · =y(xx0). Donc xx0∈C.
Exercice 4. Soient Aet Bdeux anneaux. On définit sur A×Bles lois
((x, y)+(x0, y0)=(x+x0, y +y0)
(x, y)·(x0, y0)=(xx0, yy0)
1. Montrer que A×Best un anneau.
2. Si Aet Bsont des corps, en est-il de même pour A×B.
Solution de l’exercice 4.
1. Simple vérification.
2. Non. Par exemple l’élément (1A,0B)est non nul et non inversible.
Exercice 5. Considérons les ensembles Z[i] = {a+ib|a, b ∈Z} ⊂ Q[i] = {a+ib|a, b ∈Q} ⊂ C.
1. Montrer que Z[i]et Q[i]sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles de C.
2. Montrer que Q[i]est un corps.
3. Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
Solution de l’exercice 5.
1. – 0∈Z[i]⊂Q[i].
–1∈Z[i]⊂Q[i].
–(a+ib)−(a0+ib0)=(a−a0) + i(b−b0)et (a+ib)×(a0+ib0)=(aa0−bb0) + i(ab0+a0b).
Comme Zet Qsont des anneaux on a bien la stabilité pour +,×passage à l’opposé.
2. Soit a+ib ∈Q[i]un élément non nul. On a 1
a+ib =a−ib
a2+b2=a a2+b2+i−b a2+b2. Puisque Qest un
corps, les coefficients de 1
a+ib sont rationnels. Donc a+ib est inversible. On en déduit que Q[i]
est un corps.
Exercice 6. Montrer que tout anneau fini commutatif intègre est un corps.
Solution de l’exercice 6. On montre en fait le résultat suivant : Dans un anneau fini A, tout élément
est soit inversible, soit diviseur de 0. Le résultat de l’exercice est un corollaire immédiat de ce dernier.
On considère l’appliction “multplication par a” ma:A→Adéfinie par ma(x) = ax, ∀x∈A. Cette
application est un morphisme de groupe additif. Son noyau est l’ensemble des x∈Atels que ax=0.
Si an’est pas diviseur de 0, ce noyau est réduit à {0}, donc maest injective. Puisque Aest fini on en
déduit que maest également surjective, et en particulier 1est dans l’image de ma. Il existe donc xtel
que ax = 1 , ce qui signifie que aest inversible.
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