Limites, continuité, fonctions usuelles

Cours de Math´ ematiques
Limites, continuit´ e, fonctions usuelles
Sommaire
Limites, continuit´e, fonctions usuelles
Sommaire
I Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.1 Op´erations sur F(I,R) ........................... 3
I.2 Relation d’ordre sur F(I,R) ........................ 3
I.3 Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees .................. 5
I.4 Extremums absolus (ou globaux) ..................... 6
I.5 Applications monotones .......................... 7
I.6 Applications paires ou impaires ...................... 8
I.7 Applications p´eriodiques .......................... 9
I.8 Axes et centres de sym´etrie ........................ 10
II Limites des fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II.1 Propri´et´es vraies ”au voisinage d’un point” ............... 11
II.2 Limite en un point ............................. 11
II.3 Limite `a gauche ou `a droite ........................ 13
II.4 Op´erations sur les limites ......................... 14
II.5 Limites et relation d’ordre ......................... 14
II.6 Formes ind´etermin´ees ........................... 16
III Comparaisons locales ........................... 17
III.1 D´efinitions ................................. 17
III.2 Propri´et´es des relations f=o(g) et f=O(g) ................ 18
III.3 Propri´et´es des ´equivalents ......................... 18
III.4 Quelques conseils .............................. 19
III.5 Comparaisons usuelles ........................... 20
IV Continuit´e .................................. 22
IV.1 Continuit´e en un point ........................... 22
IV.2 Propri´et´es .................................. 23
IV.3 Continuit´e sur un intervalle ........................ 23
IV.4 Th´eor`eme de la bijection r´eciproque ................... 25
IV.5 Continuit´e uniforme ............................ 25
IV.6 Applications lipschitziennes ........................ 26
V Quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
V.1 Fonctions circulaires r´eciproques ..................... 28
V.2 Fonctions logarithmes et exponentielles ................. 31
V.3 Fonctions hyperboliques .......................... 36
V.4 Trigonom´etrie hyperbolique ........................ 37
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Limites, continuit´ e, fonctions usuelles
Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
I Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
I.1 Op´erations sur F(I,R)
Dans l’´etude des fonctions num´eriques, on rencontre des applications f`a valeurs r´eelles, d´efinies
sur une partie Dde IR appel´ee domaine de d´efinition de f.
L’ensemble Dconsiste le plus souvent en une r´eunion d’intervalles d’int´erieur non vide.
Par exemple, le domaine de d´efinition de l’application tangente est la r´eunion des intervalles
Ik=] −π
2+kπ, π 2+kπ[, pour tout entier relatif k.
L’´etude d’une fonction f(continuit´e, monotonie, extr´emums, etc.) doit cependant s’effectuer
intervalle par intervalle. C’est pourquoi, dans ce chapitre, on se limitera `a des applications `a
valeurs r´eelles, d´efinies sur un intervalle Ide IR d’int´erieur non vide.
On note F(I, IR), ou IRI, l’ensemble des applications f:I→IR.
On rappelle que si fet gappartiennent `a F(I, IR) : f=g⇔ ∀x∈I, f(x) = g(x).
Soient fet gdeux ´el´ements de F(I, IR). On d´efinit les applications f+get fg par :
(∀x∈I, (f+g)(x) = f(x) + g(x)
∀x∈I, (fg)(x) = f(x)g(x)
Muni de ces deux op´erations + et ×,F(I, IR) a une structure d’anneau commutatif :
– Le neutre additif est l’application constante x→0.
– L’oppos´ee d’une application fest l’application −fd´efinie par : ∀x∈I, (−f)(x) = −f(x).
– Le neutre multiplicatif est l’application constante x7→ 1.
– Une application fest inversible pour le produit ⇔elle ne prend pas la valeur 0.
Son inverse pour ×est alors 1
f, d´efinie par : ∀x∈I, 1 f(x) = 1 f(x).
Soit αun r´eel. On note encore αl’application constante x7→ α.
La notation αf d´esigne l’application d´efinie par : ∀x∈I, (αf)(x) = αf(x).
(c’est le produit de fpar l’application constante α).
I.2 Relation d’ordre sur F(I,R)
D´efinition
Pour tous fet gde F(I, IR), on pose f≤g⇔ ∀x∈I, f(x)≤g(x).
On d´efinit ainsi une relation d’ordre partiel sur F(I, IR).
On note comme d’habitude f≥g⇔g≤f.
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Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
D´efinition
Soient fet gdans F(I, IR).
On d´efinit les applications inf(f, g) et sup(f, g) de la mani`ere suivante :
∀x∈I, inf(f, g)(x) = min(f(x), g(x))
∀x∈I, sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x))
Remarques et propri´et´es
f,get hd´esignent ici trois applications quelconques de Idans IR.
– inf(f, g) = f⇔f≤g⇔sup(f, g) = g.
–inf(f+h, g +h) = inf(f, g) + h
sup(f+h, g +h) = sup(f, g) + h
– Si α > 0inf(αf, αg) = αinf(f, g)
sup(αf, αg) = αsup(f, g)et si α < 0inf(αf, αg) = αsup(f, g) sup(αf, αg) = αinf(f, g)
En particulier inf(−f, −g) = −sup(f, g)
sup(−f, −g) = −inf(f, g)
–inf(f, g)≤f≤sup(f, g)
inf(f, g)≤g≤sup(f, g)(h≤fet h≤g)⇔h≤inf(f, g) (h≥fet h≥g)⇔h≥sup(f, g)
Autrement dit, dans F(I, IR) muni de la relation d’ordre ≤:
(inf(f, g) est le plus grand des minorants (la borne inf´erieure) de la paire {f, g}.
sup(f, g) est le plus petit des majorants (la borne sup´erieure) de la paire {f, g}.
– Les op´erations inf et sup sont des lois de composition associatives sur F(I, IR).
On peut donc g´en´eraliser et d´efinir les applications inf(f1, f2, . . . , fn) et sup(f1, f2, . . . , fn).
D´efinition ( Notations f+,f−,|f|)
Soit fun ´el´ement de F(I, IR).
On d´efinit les applications |f|,f+et f−de la fa¸con suivante :
–∀x∈I, |f|(x) = |f(x)|.
–∀x∈I, f+(x) = max(f(x),0) = f(x) si f(x)≥0
0 si f(x)<0
–∀x∈I, f−(x) = max(−f(x),0) = −f(x) si f(x)≤0
0 si f(x)>0
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Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
Remarques et propri´et´es
– Une d´efinition ´equivalente de f+et de f−est : f+= sup(f, 0)
f−= sup(−f, 0)
– Les applications f+et f−sont `a valeurs dans IR+.
– On v´erifie les ´egalit´es : f=f+−f−
|f|=f++f−et on en en d´eduit 
f+=1
2(|f|+f)
f−=1
2(|f| − f)
– Plus g´en´eralement : ∀(f, g)∈ F(I, IR),
sup(f, g) = 1
2(f+g+|f−g|)
inf(f, g) = 1
2(f+g− |f−g|)
I.3 Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees
D´efinition
Soit fun ´el´ement de F(I, IR).
On dit que fest major´ee s’il existe un r´eel βtel que : ∀x∈I,f(x)≤β.
Cela revient `a dire que f(I) = {f(x), x ∈I}est une partie major´ee de IR.
On note alors supIf, ou supx∈If(x) la borne sup´erieure de l’ensemble image f(I).
On dit que cette quantit´e est la borne sup´erieure de fsur l’intervalle I.
D´efinition
Soit fun ´el´ement de F(I, IR).
On dit que fest minor´ee s’il existe un r´eel αtel que : ∀x∈I, f(x)≥α.
Cela revient `a dire que f(I) = {f(x), x ∈I}est une partie minor´ee de IR.
On note alors infIf, ou infx∈If(x) la borne inf´erieure de l’ensemble f(I).
On dit que cette quantit´e est la borne inf´erieure de fsur l’intervalle I.
D´efinition
Soit fun ´el´ement de F(I, IR). On dit que fest born´ee si fest major´ee et minor´ee.
fest donc born´ee s’il existe deux r´eels αet βtels que : ∀x∈I, α ≤f(x)≤β.
D´efinition
Soit fun ´el´ement de F(I, IR). Soit Jun sous-intervalle de I, d’int´erieur non vide.
On dit que fest major´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee) sur Jsi la restriction de f`a Jest
major´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee).
On a alors les in´egalit´es : 
inf
x∈If(x)≤inf x∈J⊂If(x)
sup
x∈I
f(x)≥sup
x∈J⊂I
f(x)
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Partie I : Fonctions num´eriques, g´en´eralit´es
Remarques
Soient fet gdeux ´el´ements de F(I, IR).
–fest born´ee ⇔ |f|est major´ee.
– Si fet gsont major´ees, alors f+gest major´ee et sup
I
(f+g)≤sup
I
f+ sup
I
g.
Si fet gsont minor´ees, alors f+gest minor´ee et inf
I(f+g)≥inf If+ inf Ig.
–fmajor´ee (resp. minor´ee) ⇔ −fminor´ee (resp. major´ee).
On a alors : inf
I(−f) = −sup
I
f, et sup
I
(−f) = −inf
If.
– Soit αun r´eel strictement positif.
Si fest major´ee alors αf est major´ee et sup
I
(αf) = αsup
I
f.
De mˆeme, si fest minor´ee alors αf est minor´ee et inf
I(αf) = αinf If.
– Si fet gsont born´ees, alors : ∀(α, β)∈IR2,αf +βg est born´ee.
I.4 Extremums absolus (ou globaux)
D´efinition
Soit fune application d´efinie sur l’intervalle I, `a valeurs dans IR. Soit a∈I.
On dit que fpr´esente un maximum absolu (ou global ) en asi : ∀x∈I, f(x)≤f(a).
On dit que fpr´esente un minimum absolu (ou global) en ade Isi : ∀x∈I, f(x)≥f(a).
Dans l’un ou l’autre cas, on dit que fpr´esente un extr´emum absolu en a.
Remarques
–fpr´esente un maximum absolu en a⇔fest major´ee sur Iet f(a) = sup
I
f.
On exprime cela en disant que la borne inf´erieure de fsur Iest atteinte en a.
On peut alors noter f(a) = max
Ifplutˆot que f(a) = sup
I
f.
– De mˆeme, fa un minimum absolu en a⇔fest minor´ee sur Iet f(a) = inf
If.
On dit alors que fatteint sa borne inf´erieure en aet on note f(a) = min
If.
D´efinition (Maximum local)
Soit fappartenant `a F(I, IR). Soit aun ´el´ement de I.
On dit que fpr´esente un maximum local en asi :
∃ε > 0,∀x∈I∩[a−ε, a +ε], f(x)≤f(a).
(⇔au voisinage de a,fprend des valeurs toutes inf´erieures ou ´egales `a f(a))
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