Les fonctions « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique

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Les fonctions « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique »
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal (O, i , j ) d'unités 1 cm sur
l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées.
Les fonctions « sinus hyperbolique » (notation sh) et « cosinus hyperbolique » (notation ch)
sont définies sur , respectivement par :
sh(x) =
2
xx ee −
− et ch(x) =
2
xx ee −
+
Question préliminaire : Montrer que la fonction sh admet des primitives sur . Les calculer
et déterminer celle qui prend la valeur 1 en 0.
Partie A : Étude de la fonction sh
1) Montrer que sh est une fonction impaire.
2) Montrer que sh est dérivable sur  et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau des variations de la fonction sh.
3) Etudier la limite de sh en +∞.
4) Résoudre dans  l'inéquation sh(x) > 0.
5) En étudiant, pour m ∈ , la limite en +∞ de sh(x) − mx, montrer que la courbe
représentative S de la fonction sh n'admet pas d'asymptote oblique.
6) Tracer la courbe S.
Partie B : Étude de la fonction ch
1) Etudier la parité de la fonction ch.
2) Montrer que ch est dérivable sur  et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau des variations de la fonction ch.
3) Etudier la limite de ch en +∞.
4) Etudier la limite quand x tend vers
∞
+
de ch(x) − sh(x).
Qu'en déduire pour C et S, courbes représentatives des fonctions ch et sh ?
5) Tracer soigneusement la courbe C.
6) Soit λ ∈ *+.
Exprimer en cm2, en fonction de λ , l'aire A( λ ) de la portion de plan comprise entre les
courbes C et S et les droites d'équation x = 0 et x = λ .
Etudier le comportement de A( λ ) lorsque λ tend vers +∞.
Partie C : Quelques propriétés algébriques
1) Montrer que pour tout x
∈
, ch2(x) − sh2(x) = 1.
2) Montrer que pour tout a et pour tout b appartenant à :
ch(a + b) = ch(a) × ch(b) + sh(a) × sh(b).
Trouver une formule analogue pour sh(a + b).
3) Exprimer ch(2a) en fonction de ch(a).

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Solution
Question préliminaire.
La fonction sh est dérivable, comme somme de fonctions dérivables et admet donc des
primitives sur . Comme x
e et
−
x
e− ont pour primitive respectivement x e et
−
x
e− , il
s'ensuit qu'une primitive de sh(x) est F(x)
=
2
xx ee −
+
+
C (constante). Comme F(0)
=
1
+
C,
celle qui prend la valeur 1 en 0 est obtenue pour C
=
0 ; c'est la fonction F0(x)
=
2
xx ee −
+
=
chx.
Autrement dit, la primitive de sh qui prend la valeur 1 en 0 est la fonction ch.
Partie A : Etude de la fonction sh
1) La fonction sh est définie sur ]-∞ ; +∞[, intervalle centré en 0.
Pour tout x
∈
, sh(
−
x)
=
−
sh(x), donc sh est une fonction impaire.
(la courbe représentative (S) de la fonction sh possède donc le point O comme centre de
symétrie).
2) La fonction sh est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur
et (sh x)'
=
2
xx ee −
+
=
ch(x). Cette expression, étant une somme d'exponentielles est
strictement positive. Donc la fonction sh est strictement croissante sur .
3) sh(x)=
2
xx ee −
−. Or +∞→x
lim x e
=
∞
+
et +∞→x lim x e−
=
0. Donc +∞→x lim sh(x)
=
+∞.
D'où le tableau complet des variations de la fonction sh, compte-tenu de sh 0
=
0.
x
∞
−
∞
+
ch(x)
+
sh(x)
4) La fonction sh étant définie, continue et strictement croissante sur  réalise donc une
bijection de  sur  (d'après le calcul des limites). Comme sh(0)
=
0, l'équation sh(x)> 0 a
donc pour solution (cf tableau ci-dessus) ]0 ; +∞[.
5) Pour m
∈
, sh(x)
−
mx
=
2
xx ee −
−
−
mx
=
2
1x(
x
ex
−
x
ex−
− 2m). Or, +∞→x lim
x
ex
= +∞,
donc l’expression entre parenthèses tend vers +∞, donc par produit +∞→x lim sh(x) − mx = +∞.
Donc la courbe représentative (S) de la fonction sh n'admet pas d'asymptote oblique.
6) La courbe (S) a été tracée ci-après sur le même dessin que l'autre.
Partie B : Etude de la fonction ch
1) La fonction ch étant définie sur , intervalle centré en 0 et comme ch(
−
x)
=
ch(x) pour
tout x réel, ch est une fonction paire, si bien qu'on peut réduire l'intervalle d'étude à + , et
utiliser la parité pour savoir ce qui se passe sur − .
∞
−
∞
+

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2) ch est dérivable sur d'après la question préliminaire et sa dérivée sh(x) est donc
maintenant parfaitement connue. D'où le tableau des variations de la fonction ch :
x
∞
−
0
∞
+
sh(x)
−
+
ch(x)
3) +∞→x
lim chx
=
∞
+
.
4) De même +∞→x lim ch(x)
−
sh(x)= +∞→x lim x
e−
=
0+.
Les courbes représentatives(C) et (S ) des fonctions ch et sh sont donc asymptotes l'une de
l'autre ; et comme ch(x)
−
sh(x) est strictement positif sur , la courbe (C) est au dessus de
(S) sur .
5) Voici un tableau de valeurs approchées pour les deux courbes :
x
−
2,5
−
2
−
1,5
−
1
−
0,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
shx
−
6,1
−
3,6
−
2,1
−
1,2
−
0,5
0 0,5 1,2 2,1 3,6 6,1
chx 6,1 3,8 2,4 1,5 1,1 1 1,1 1,5 2,4 3,8 6,1
6) Soit
λ
∈
+*
.
L'aire A(
λ
) de la portion de plan comprise entre les courbes (C) et (S) et les droites
d'équation x
=
0 et x
=
λ
est, compte tenu des unités, égale à
2
1
( )
⌡
⌠
−
λ
0
dshch ttt (en cm2).
Comme ch(t)
−
sh(t)
=
t
e−, dont une primitive est
−
t
e−, A(
λ
) vaut donc
2
1
[
]
λ
0
t
e− −
=
2
1(1
−
λ −
e).
Comme +∞→x lim
−
x
e−
=
0-, il s'ensuit que +∞→
λ
lim A(
λ
)
=
2
1.
∞
+
∞
+
1

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λ
λλ
λ
Partie C : Quelques propriétés algébriques
1) ch2(x)
−
sh2(x)
=
ch2(x)
−
sh2(x)
=
(chx
+
shx)(chx
−
shx)
=
x
e
×
x
e−
=
0
e
=
1.
2) ch(a
+
b)
=
cha
×
chb
+
sha
×
shb n'offrait aucune difficulté.
En se rappelant de sin(a
+
b), une formule analogue pour sh(a
+
b)
=
sha
×
chb
+
cha
×
shb.
3) ch(2a)
=
ch(a
+
a)
=
ch2a
+
sh2a et comme sh2(x)
=
ch2(x)
−
1 d'après la première formule,
ch2a
+
sh2a
=
2ch2a
−
1. ch(2a)
=
2ch2a
−
1.