Les fonctions « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique

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Les fonctions « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique »
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal (O, i , j ) d'unités 1 cm sur
l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées.
Les fonctions « sinus hyperbolique » (notation sh) et « cosinus hyperbolique » (notation ch)
sont définies sur , respectivement par :
e x − e−x
e x + e −x
sh(x) =
et
ch(x) =
2
2
Question préliminaire : Montrer que la fonction sh admet des primitives sur . Les calculer
et déterminer celle qui prend la valeur 1 en 0.
Partie A : Étude de la fonction sh
1) Montrer que sh est une fonction impaire.
2) Montrer que sh est dérivable sur et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau des variations de la fonction sh.
3) Etudier la limite de sh en +∞.
4) Résoudre dans l'inéquation sh(x) > 0.
5) En étudiant, pour m ∈ , la limite en +∞ de sh(x) − mx, montrer que la courbe
représentative S de la fonction sh n'admet pas d'asymptote oblique.
6) Tracer la courbe S.
Partie B : Étude de la fonction ch
1) Etudier la parité de la fonction ch.
2) Montrer que ch est dérivable sur et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau des variations de la fonction ch.
3) Etudier la limite de ch en +∞.
4) Etudier la limite quand x tend vers + ∞ de ch(x) − sh(x).
Qu'en déduire pour C et S, courbes représentatives des fonctions ch et sh ?
5) Tracer soigneusement la courbe C.
6) Soit λ ∈ *+.
Exprimer en cm2, en fonction de λ, l'aire A(λ) de la portion de plan comprise entre les
courbes C et S et les droites d'équation x = 0 et x = λ.
Etudier le comportement de A(λ) lorsque λ tend vers +∞.
Partie C : Quelques propriétés algébriques
1) Montrer que pour tout x ∈ , ch2(x) − sh2(x) = 1.
2) Montrer que pour tout a et pour tout b appartenant à :
ch(a + b) = ch(a) × ch(b) + sh(a) × sh(b).
Trouver une formule analogue pour sh(a + b).
3) Exprimer ch(2a) en fonction de ch(a).
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Solution
Question préliminaire.
La fonction sh est dérivable, comme somme de fonctions dérivables et admet donc des
primitives sur . Comme e x et − e − x ont pour primitive respectivement e x et − e − x , il
e x + e−x
+ C (constante). Comme F(0) = 1 + C,
s'ensuit qu'une primitive de sh(x) est F(x) =
2
e x + e −x
celle qui prend la valeur 1 en 0 est obtenue pour C = 0 ; c'est la fonction F0(x) =
=
2
chx.
Autrement dit, la primitive de sh qui prend la valeur 1 en 0 est la fonction ch.
Partie A : Etude de la fonction sh
1) La fonction sh est définie sur ]-∞ ; +∞[, intervalle centré en 0.
Pour tout x ∈ , sh( − x) = − sh(x), donc sh est une fonction impaire.
(la courbe représentative (S) de la fonction sh possède donc le point O comme centre de
symétrie).
2) La fonction sh est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur
e x + e−x
et (sh x)' =
= ch(x). Cette expression, étant une somme d'exponentielles est
2
strictement positive. Donc la fonction sh est strictement croissante sur .
e x − e−x
. Or lim e x = + ∞ et lim e − x = 0. Donc lim sh(x) = +∞.
3) sh(x)=
x → +∞
x → +∞
x → +∞
2
D'où le tableau complet des variations de la fonction sh, compte-tenu de sh 0 = 0.
x −∞
ch(x)
+∞
+
+∞
sh(x)
−∞
4) La fonction sh étant définie, continue et strictement croissante sur réalise donc une
bijection de sur (d'après le calcul des limites). Comme sh(0) = 0, l'équation sh(x)> 0 a
donc pour solution (cf tableau ci-dessus) ]0 ; +∞[.
e x − e−x
e−x
ex
1 ex
5) Pour m ∈ , sh(x) − mx =
− mx = x(
−
− 2m). Or, lim
= +∞,
x → +∞ x
x
2
2
x
donc l’expression entre parenthèses tend vers +∞, donc par produit lim sh(x) − mx = +∞.
x → +∞
Donc la courbe représentative (S) de la fonction sh n'admet pas d'asymptote oblique.
6) La courbe (S) a été tracée ci-après sur le même dessin que l'autre.
Partie B : Etude de la fonction ch
1) La fonction ch étant définie sur , intervalle centré en 0 et comme ch( − x) = ch(x) pour
tout x réel, ch est une fonction paire, si bien qu'on peut réduire l'intervalle d'étude à + , et
utiliser la parité pour savoir ce qui se passe sur − .
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2) ch est dérivable sur d'après la question préliminaire et sa dérivée sh(x) est donc
maintenant parfaitement connue. D'où le tableau des variations de la fonction ch :
0
x −∞
−
sh(x)
ch(x)
+∞
+
+∞
+∞
1
3) lim chx = + ∞ .
x → +∞
4) De même lim ch(x) − sh(x)= lim e − x = 0+.
x → +∞
x → +∞
Les courbes représentatives(C) et (S ) des fonctions ch et sh sont donc asymptotes l'une de
l'autre ; et comme ch(x) − sh(x) est strictement positif sur , la courbe (C) est au dessus de
(S) sur .
5) Voici un tableau de valeurs approchées pour les deux courbes :
0
0,5
1
x − 2,5
− 2 − 1,5
− 1 − 0,5
shx − 6,1 − 3,6 − 2,1 − 1,2 − 0,5
0
0,5
1,2
chx
6,1
3,8
2,4
1,5
1,1
1
1,1
1,5
*+
6) Soit λ ∈ .
L'aire A( λ ) de la portion de plan comprise entre les courbes (C)
1,5
2,1
2,4
2
3,6
3,8
2,5
6,1
6,1
et (S) et les droites
λ
1 ⌠
 (ch t − sh t ) d t (en cm2).
2 
⌡0
est − e − t , A( λ ) vaut donc
d'équation x = 0 et x = λ est, compte tenu des unités, égale à
Comme
1
− e −t
2
[
]
λ
0
ch(t) − sh(t) = e − t ,
1
= (1 − e − λ ).
2
dont
une
primitive
1
Comme lim − e − x = 0-, il s'ensuit que lim A( λ ) = .
x → +∞
λ → +∞
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λ
Partie C : Quelques propriétés algébriques
1) ch2(x) − sh2(x) = ch2(x) − sh2(x) = (chx + shx)(chx − shx) = e x × e − x = e 0 = 1.
2) ch(a + b) = cha × chb + sha × shb n'offrait aucune difficulté.
En se rappelant de sin(a + b), une formule analogue pour sh(a + b) = sha × chb + cha × shb.
3) ch(2a) = ch(a + a) = ch2a + sh2a et comme sh2(x) = ch2(x) − 1 d'après la première formule,
ch2a + sh2a = 2ch2a − 1. ch(2a) = 2ch2a − 1.
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