Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version

Terminale ES
Correction du bac blanc de Mathématiques
(version spécialité).
Lycée Jacques Monod
22 février 2015
Exercice 1 :
Voici les graphiques des questions 1. et 2. .
1
2
3
1 2 3
A
1
2
−1
−2
1 2 3 4
A
Graphique Question 1. Graphique Question 2.
1. Le graphique ci-dessus donne une représentation graphique d’une fonction fdéfinie et dérivable sur
l’intervalle [0; 3] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 1. En x= 1, le nombre dérivé de
fest : a. −2e; b. 3; c. 1
eou d. −1 e?
Réponse : d. D’après le cours, le nombre f′(1) dérivé de fen x= 1 est le coefficient directeur de la tangente Tf;x=1
à la représentation graphique de la fonction fau point d’abscisse 1. Par lecture directe du graphique, on obtient que
ce coefficient est négatif et plus précisément qu’il est compris entre -1 et 0. De toutes les propositions, seule la d. vérifie
ces conditions.
2. Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d’une fonction gdéfinie et dérivable sur l’inter-
valle [0; 5] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 3. Le signe de la fonction g′dérivée de
gest : a. négatif sur [0; 1] ; b. positif sur [3; 4] ; c. négatif sur [1; 4] ou d. change en x= 4 ?
Réponse : b. D’après le graphique, la fonction gest croissante sur les intervalles [0; 1] et [3; 5] et est décroissante
sur l’intervalle [1; 3]. La fonction g′dérivée de la fonction gest donc positive sur les intervalles [0; 1] et [3; 5](et donc
aussi sur [3; 4]) et est négative sur l’intervalle [1; 3].
3. La fonction hdéfinie sur Rpar : h(x) = e−x2
2a pour fonction dérivée la fonction h′définie sur Rpar :
a. h′(x) = e−x2
2; b. h′(x) = e−x; c. h′(x) = −x×e−x2 2ou d. h′(x) = −2x×e−x2 2?
Réponse : c. On considère la fonction udéfinie sur Rpar : u(x) = −x2
2. On a la relation : h=eu. Donc :
h′=u′×eu. Or l’expression algébrique de la fonction u′est : u′(x) = −1
2×2x=−x. Donc, pour tout réel x:
h′(x) = u′(x)×eu(x)=−x×e−x2
2.
4. Pour tout réel anon nul, le nombre réel e−1
aest égal à : a. −e1 a; b. 1
e
1
a
; c. 1
eaou d. ea?
Réponse : b. En exploitant les propriétés des exposants, on a : e−1
a=e1 a×(−1) =e1 a(−1) =1
e
1
a
.
5. L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation : e−3x+1 ≤1
eest : a. −∞;2 3; b. 2 3; +∞; c. i−∞;1−1
e
3i
ou d. h1−1
e
3; +∞h?
1

Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Réponse : b. Le réel eest strictement positif. En multipliant par eles deux membres de l’inéquation : e−3x+1 ≤1
e,
celle-ci se réécrit : e−3x+1 ×e≤1, soit après simplification (propriété des exposants) : e−3x+2 ≤e0. Or, comme la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R, l’inéquation : e−3x+2 ≤e0est équivalente à : −3x+ 2 ≤0soit
encore à : x≥2
3.
Exercice 2 :
Partie A :
Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, « premier prix » et « haute technologie ». Pour
fabriquer un téléviseur « premier prix » il faut 1unité du bureau d’étude, 1,5unité de main-d’œuvre et 3
unités de composants électroniques et pour un téléviseur « haute technologie », il faut 2unités du bureau
d’étude, 2unités de main-d’œuvre et 6unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les
suivants :
•40 euros pour une unité du bureau d’étude ;
•20 euros pour une unité de main-d’œuvre ;
•25 euros pour une unité de composants électroniques.
L’entreprise doit fournir 90 téléviseurs « premier prix » et 30 téléviseurs « haute technologie ».
On donne les matrices : P=40 20 25 ;B=
1 2
1,5 2
3 6
et C=90
30 .
Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat : 1. U=P×B; 2. V=B×Cet 3.
W=P×B×C.
1. Détermination de : U=P×B.
Pour déterminer Le produit matricielle de P=40 20 25 ; par B=
1 2
1,5 2
3 6
il est commode de poser au
brouillon l’opération de la façon suivante :
1 2
1,5 2
3 6
40 20 25   40 ×1 + 20 ×1,5 + 25 ×3270 Ainsi, après simplifications : U=175 270 .
×
=
Preprésente les coûts en euros pour une unité du bureau d’étude, une unité de main d’œuvre et une unité de composants.
La matrice Udonne le coût unitaire de production pour chaque type de téléviseurs.
2. Détermination de : V=B×C.
90
30 
1 2
1,5 2
3 6
150
195
450
Ainsi : V=
150
195
450
.
×
=
La matrice obtenue donne le nombre d’unités nécessaires pour fabriquer 90 téléviseurs « premier prix » et 30 téléviseurs
« haute technologie ». Ainsi, il faut notamment 150 unités du bureau d’étude.
3. Détermination de : W=P×B×C=U×C.
90
30 
175 270   21150 Ainsi : W=21150 .
×
=
Ainsi, le coût total de fabrication des 90 téléviseurs « premier prix » et des 30 téléviseurs « haute technologie » est de
21150 euros.
2

Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Partie B :
On note Sle système d’équations : 
a+b+c= 0
4a+ 2b+c= 3
4a+b= 5
.
1. Déterminer les matrices Aet Btelles que Sse traduise par l’égalité : AX =Bavec : X=
a
b
c
.
Posons : A=
1 1 1
4 2 1
4 1 0
et B=
0
3
5
. On a alors : A×X=
1a+ 1b+ 1c
4a+ 2b+ 1c
4a+ 1b+ 0c
=
a+b+c
4a+ 2b+c
4a+b
. L’égalité :
AX =Bse réécrit donc : 
a+b+c
4a+ 2b+c
4a+b
=
0
3
5
, et est clairement vérifiée si, et seulement si le triplet (a;b;c)
est solution du système S.
2. Déterminer A−1et en déduire l’unique solution du système S.
Après calculs, on obtient : A−1=
1−1 1
−4 4 −3
4−3 2
. En multipliant à gauche par A−1les deux membres de l’égalité :
AX =B, on obtient : X=A−1×B=
2
−3
1
. L’unique triplet (a;b;c)solution du système d’équations Sest :
(a= 2 ; b=−3 ; c= 1).
3. Déterminer la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x) = ax2+bx +cdont la courbe représentative passe par
les points M(1 ; 0) et N(2 ; 3) et telle que sa tangente au point Nait pour coefficient directeur 5.
Supposons que fsoit une telle fonction. Déterminons alors les valeurs des coefficients a,bet c. Pour commencer,
notons (Cf)la courbe représentative de la fonction f. Comme celle-ci passe par les points M(1 ; 0) et N(2 ; 3) on a les
égalités : f(xM) = yMet f(xN) = yN, soit encore : f(1) = 0 et f(2) = 3. Or : f(1) = a×12+b×1 + c=a+b+cet
f(2) = a×22+b×2 + c= 4a+ 2b+c. On a donc : a+b+c= 0 et 4a+ 2b+c= 3. Le triplet (a;b;c)est ainsi solution
des deux premières équations du système S. On sait aussi que la tangente à la courbe (Cf)au point Nd’abscisse 2
a pour coefficient directeur 5. Cette affirmation se traduit par l’égalité : f′(2) = 5 ou f′est la fonction dérivée de la
fonction f. Or l’expression algébrique de la fonction f′est : f′(x) = 2ax +b. L’égalité précédente se réécrit donc :
4a+b= 5. Le triplet (a;b;c)est de ce fait aussi solution de la troisième équation du système S. D’après les questions
précédentes, on peut en conclure que : a= 2 ;b=−3et c= 1. L’expression algébrique de la fonction frecherchée est
donc : f(x) = 2x2−3x+ 1.
Exercice 3 :
Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté
que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :
•chaque année, 40% des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés ;
•chaque année la société accueille 400 nouveaux abonnés.
En 2010 cette société comptait 1500 abonnés.
On considère la suite (an)n∈Ndéfinie par : a0= 1500
an+1 = 0,6×an+ 400 , n ∈N.
1. Justifier que la suite (an)n∈Nmodélise le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n.
Remarquons tout d’abord que a0= 1500 est bien le nombre d’abonnés comptabilisé par la société en 2010. Intéressons
nous maintenant à la relation de récurrence vérifiée par la suite (an)n∈N. Soit nun entier naturel fixé. Supposons que
anest effectivement le nombre d’abonnés en 2010 + n. Expliquons pourquoi la quantité : an+1 = 0,6×an+ 400 est
alors égal au nombre d’abonnés en 2010 + (n+ 1). L’ensemble des abonnés en 2010 + (n+ 1) est la réunion de deux
groupes distincts d’individus à savoir :
⋄le groupe de ceux déjà abonnés l’année précédente ;
⋄le groupe des nouveaux abonnés.
3

Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Le premier groupe est constitué de 0,6anpersonnes. En effet, comme 40% des anabonnements de l’année 2010 + n
n’ont pas été renouvelés, seul 60% d’entre eux l’ont été. Le second groupe est quant à lui composé des 400 nouveaux
abonnés. Au final, le nombre total d’abonnés en 2010 + (n+ 1) est effectivement de :
0,6×an+ 400 = an+1
⋄Les réabonnements
⋄Les nouveaux abonnés
En conclusion : La suite (an)n∈Nmodélise donc bien le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n.
2. On considère la suite (vn)n∈Ndéfinie pour tout entier naturel npar : vn=an−1000.
(a) Montrer que la suite (vn)n∈Nest une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
Pour ce faire, il faut s’intéresser au rapport de deux termes consécutifs de la suite (vn)n∈N(s’il est indépendant
des termes choisis, la suite est géométrique). Voici les informations dont on dispose :
⋄le terme général de la suite (vn)n∈Ns’exprime directement en fonction de celui de la suite (an)n∈Nvia
la relation : vn=an−1000 (ou encore : an=vn+ 1000) ;
⋄la suite (an)n∈Nvérifie la relation de récurrence : an+1 = 0,6×an+ 400.
De ces deux affirmations découle la relation de récurrence suivante (vérifiée cette fois-ci par (vn)n∈N) : (vn+1 + 1000) =
0,6×(vn+ 1000) + 400. Soit, après simplifications : vn+1 = 0,6×vnou encore : vn+1
vn
= 0,6.
Conclusion : La suite (vn)n∈Nest géométrique de raison qv= 0,6et de premier terme v0=a0−1000 =
1500 −1000 = 500.
(b) Fournir la formule explicite du terme général vnde la suite (vn)n∈Nen fonction de l’entier n.
De ce qui précède découle directement(via le cours) la formule explicite du terme général vnde la suite (vn)n∈N
en fonction de l’entier nà savoir : vn=v0×(qv)n= 500 ×(0,6)n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n:an= 1000 + 500 ×0,6n.
Soit nun entier naturel fixé. On a les deux égalités : vn= 500 ×0,6net : an=vn+ 1000. En remplaçant : vnpar :
500 ×0,6ndans la deuxième égalité, on obtient directement : an= (500 ×0,6n) + 1000. L’arbitraire sur l’entier
ntermine la preuve.
3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 euros.
Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5%. On note Pnle prix en euros de l’abonnement
annuel pour l’année 2010 + n.
(a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ?
En 2010, la société a facturé sa prestation 400 euros à ses 1500 abonnés ce qui induit pour l’entreprise une recette
d’un montant de : 400 ×1500 = 600000 euros.
(b) Indiquer la nature de la suite (Pn)n∈Nen justifiant la réponse. En déduire une expression de la
quantité Pnen fonction de l’entier naturel n.
On remarque qu’une augmentation de 5% correspond à une multiplication par 105
100 = 1,05 (prendre un exemple
pour s’en convaincre). Ainsi, d’une année à l’autre, le prix d’un abonnement annuel dans une des salles de sport
est multiplié par : 1,05. La suite (Pn)n∈Nest donc géométrique de raison qP= 1,05 et de premier terme P0= 400.
Ainsi, pour tout entier n,Pn=P0×(qP)n= 400 ×1,05n.
(c) Montrer que, pour l’année 2010 + nla recette totale annuelle Rn(en euros) réalisée par la société
pour l’ensemble de ses salles de sport est : Rn= (500 ×0,6n+ 1000) ×(400 ×1,05n)
En 2010 + net pour l’ensemble de ses salles de sport, la société a vendu an= 1000 + 500 ×0,6nabonnements au
prix unitaire de Pn= (400 ×1,05n)euros. Cette année si, la recette totale annuelle Rnréalisée par la société est
donc de : Rn=an×Pn= (500 ×0,6n+ 1000) ×(400 ×1,05n)euros.
(d) On souhaite déterminer l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle
obtenue en 2010. Ci-dessous, un algorithme permettant de déterminer cette année. (Dans l’énoncé
initial, l’algorithme était donné incomplet est il était demandé de le compléter).
En gras et soulignées en pointillées, les parties que l’on devait compléter.
4

Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Ligne
1Varables : Rest un réel.
2nest un entier.
3Initialisation : Affecter à Rla valeur : .......... 600 000.
4 Affecter à nla valeur : 0.
5Traitement : Tant que : R≤......... 600 000, faire :
6 Affecter à nla valeur : n+ 1.
7 Affecter à Rla valeur : ......................................... (500 ×0,6n+1000)×(400 ×1,05n).
8 Fin de la boucle "Tant que".
9Sortie : Afficher : 2010 + n.
Exercice 4 :
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la pro-
duction est vendue. L’entreprise peut fabriquer entre 0et 3600 poulies par semaine. On note xle nombre
de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (xvarie donc dans l’intervalle [0 ; 3,6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d’euros. L’objet de cet exercice est
d’étudier cette fonction B.
Partie A : étude graphique
Voici la représentation graphique (CB)de la fonction B:
2
4
6
8
10
12
14
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
(CB)
13
≈2,5≈3.4
≈15
≈3
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou
égal à 13000 e.
Réponse : Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13000 e, il faut que le nombre de poulies
fabriquées et vendues soit compris dans l’intervalle [2500 ;3400].
Pour répondre à cette question, il faut déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation : B(x)≥13. Pour cela, on
trace sur le graphique la droite d’équation : y= 13. Celle-ci coupe la représentation graphique de la fonction B"pour
y passer d’abord en-dessous puis à nouveau au-dessus" en deux points dont les abscisses sont approximativement :
2,5et 3,4. L’ensemble des solutions de l’inéquation : B(x)≥13 obtenu par cette lecture graphique est l’intervalle :
[2,5 ; 3,4].
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ? Pour quel nombre N de poulies fabriquées
et vendues semble-t-il être réalisé ?
Réponse : Le bénéfice hebdomadaire maximum envisageable pour l’entreprise est approximativement
de 15000 eet est obtenu lorsque l’usine produit environ 3000 poulies par semaine.
5