Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version

Terminale ES
Correction du bac blanc de Mathématiques
(version spécialité).
Lycée Jacques Monod
22 février 2015
Exercice 1 :
Voici les graphiques des questions 1. et 2. .
3
b
2
A
1
2
1
1
2
3
−1
1
2
4
b
A
3
−2
Graphique Question 1.
Graphique Question 2.
1. Le graphique ci-dessus donne une représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur
l’intervalle [0; 3] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 1. En x = 1, le nombre dérivé de
1
1
f est : a. −2e ; b. 3 ; c.
ou d. − ?
e
e
Réponse : d. D’après le cours, le nombre f ′ (1) dérivé de f en x = 1 est le coefficient directeur de la tangente Tf ;x=1
à la représentation graphique de la fonction f au point d’abscisse 1. Par lecture directe du graphique, on obtient que
ce coefficient est négatif et plus précisément qu’il est compris entre -1 et 0. De toutes les propositions, seule la d. vérifie
ces conditions.
2. Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d’une fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0; 5] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d’abscisse 3. Le signe de la fonction g ′ dérivée de
g est : a. négatif sur [0; 1] ; b. positif sur [3; 4] ; c. négatif sur [1; 4] ou d. change en x = 4 ?
Réponse : b. D’après le graphique, la fonction g est croissante sur les intervalles [0; 1] et [3; 5] et est décroissante
sur l’intervalle [1; 3]. La fonction g ′ dérivée de la fonction g est donc positive sur les intervalles [0; 1] et [3; 5](et donc
aussi sur [3; 4]) et est négative sur l’intervalle [1; 3].
3. La fonction h définie sur R par : h (x) = e−
a. h′ (x) = e
2
− x2
;
b. h′ (x) = e−x ;
x2
2
a pour fonction dérivée la fonction h′ définie sur R par :
c. h′ (x) = −x × e−
x2
2
ou
Réponse : c. On considère la fonction u définie sur R par
h′ = u′ × eu . Or l’expression algébrique de la fonction u′ est :
h′ (x) = u′ (x) × eu(x) = −x × e−
x2
2
d. h′ (x) = −2x × e−
2
: u (x) = − x2 . On a
u′ (x) = − 21 × 2x =
x2
2
?
la relation : h = eu . Donc :
−x. Donc, pour tout réel x :
.
1
1
4. Pour tout réel a non nul, le nombre réel e− a est égal à : a. −e a ;
b.
1
1
ea
;
c.
1
ea
ou
d. ea ?
1 (−1)
1
1
Réponse : b. En exploitant les propriétés des exposants, on a : e− a = e a ×(−1) = e a
= 11 .
ea
i
i
1− 1
5. L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation : e−3x+1 ≤ 1e est : a. −∞; 23 ; b. 23 ; +∞ ; c. −∞; 3 e
h 1
h
1− e
ou d.
;
+∞
?
3
1
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Réponse : b. Le réel e est strictement positif. En multipliant par e les deux membres de l’inéquation : e−3x+1 ≤ 1e ,
celle-ci se réécrit : e−3x+1 × e ≤ 1 , soit après simplification (propriété des exposants) : e−3x+2 ≤ e0 . Or, comme la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R, l’inéquation : e−3x+2 ≤ e0 est équivalente à : −3x + 2 ≤ 0 soit
encore à : x ≥ 23 .
Exercice 2 :
Partie A :
Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, « premier prix » et « haute technologie ». Pour
fabriquer un téléviseur « premier prix » il faut 1 unité du bureau d’étude, 1, 5 unité de main-d’œuvre et 3
unités de composants électroniques et pour un téléviseur « haute technologie », il faut 2 unités du bureau
d’étude, 2 unités de main-d’œuvre et 6 unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les
suivants :
• 40 euros pour une unité du bureau d’étude ;
• 20 euros pour une unité de main-d’œuvre ;
• 25 euros pour une unité de composants électroniques.
L’entreprise doit fournir 90 téléviseurs « premierprix » et30 téléviseurs « haute technologie ».
1 2
90


1, 5 2
On donne les matrices : P = 40 20 25 ; B =
et C =
.
30
3 6
Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat : 1. U = P × B ; 2. V = B × C
W = P × B × C.
et 3.
1. Détermination de : U = P × B.
Pour déterminer Le produit matricielle de P =
brouillon l’opération de la façon suivante :

1

1,5
×
3
40 × 1 + 20 × 1, 5 + 25 × 3
40 20 25
40
20 25

2
2 
6
=
270

1
; par B =  1, 5
3

2
2  il est commode de poser au
6
Ainsi, après simplifications :
U=
175
270
.
P représente les coûts en euros pour une unité du bureau d’étude, une unité de main d’œuvre et une unité de composants.
La matrice U donne le coût unitaire de production pour chaque type de téléviseurs.
2. Détermination de : V = B × C.
×

1
 1, 5
3
90
30


2
150
2   195 
6
450
=
Ainsi :


150
V =  195  .
450
La matrice obtenue donne le nombre d’unités nécessaires pour fabriquer 90 téléviseurs « premier prix » et 30 téléviseurs
« haute technologie ». Ainsi, il faut notamment 150 unités du bureau d’étude.
3. Détermination de : W = P × B × C = U × C.
90
×
30
=
175 270
21150
Ainsi :
W =
21150
.
Ainsi, le coût total de fabrication des 90 téléviseurs « premier prix » et des 30 téléviseurs « haute technologie » est de
21150 euros.
2
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Partie B :
On note S le système d’équations :


a+b+c = 0
4a + 2b + c = 3 .

4a + b = 5

a
1. Déterminer les matrices A et B telles que S se traduise par l’égalité : AX = B avec : X =  b .
c



 



a+b+c
1a + 1b + 1c
0
1 1 1
Posons : A =  4 2 1  et B =  3 . On a alors : A × X =  4a + 2b + 1c  =  4a + 2b + c . L’égalité :
4a + b
4a + 1b + 0c
5  
4 1 0 
0
a+b+c
AX = B se réécrit donc :  4a + 2b + c  =  3  , et est clairement vérifiée si, et seulement si le triplet (a ; b ; c)
5
4a + b
est solution du système S.

2. Déterminer A−1 et en déduire l’unique solution du système S.


1 −1 1
Après calculs, on obtient : A−1 =  −4 4 −3 . En multipliant à gauche par A−1 les deux membres de l’égalité :
4 −3 2


2
AX = B, on obtient : X = A−1 × B =  −3 . L’unique triplet (a ; b ; c) solution du système d’équations S est :
1
(a = 2 ; b = −3 ; c = 1).
3. Déterminer la fonction f définie sur R par : f (x) = ax2 + bx + c dont la courbe représentative passe par
les points M (1 ; 0) et N (2 ; 3) et telle que sa tangente au point N ait pour coefficient directeur 5.
Supposons que f soit une telle fonction. Déterminons alors les valeurs des coefficients a, b et c. Pour commencer,
notons (Cf ) la courbe représentative de la fonction f . Comme celle-ci passe par les points M (1 ; 0) et N (2 ; 3) on a les
égalités : f (xM ) = yM et f (xN ) = yN , soit encore : f (1) = 0 et f (2) = 3. Or : f (1) = a × 12 + b × 1 + c = a + b + c et
f (2) = a × 22 + b × 2 + c = 4a + 2b + c. On a donc : a + b + c = 0 et 4a + 2b + c = 3. Le triplet (a ; b ; c) est ainsi solution
des deux premières équations du système S. On sait aussi que la tangente à la courbe (Cf ) au point N d’abscisse 2
a pour coefficient directeur 5. Cette affirmation se traduit par l’égalité : f ′ (2) = 5 ou f ′ est la fonction dérivée de la
fonction f . Or l’expression algébrique de la fonction f ′ est : f ′ (x) = 2ax + b. L’égalité précédente se réécrit donc :
4a + b = 5. Le triplet (a ; b ; c) est de ce fait aussi solution de la troisième équation du système S. D’après les questions
précédentes, on peut en conclure que : a = 2 ; b = −3 et c = 1. L’expression algébrique de la fonction f recherchée est
donc : f (x) = 2x2 − 3x + 1.
Exercice 3 :
Le service commercial d’une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté
que l’évolution du nombre d’abonnés était définie de la manière suivante :
• chaque année, 40% des abonnements de l’année précédente ne sont pas renouvelés ;
• chaque année la société accueille 400 nouveaux abonnés.
En 2010 cette société comptait 1500 abonnés.
a0 = 1500
On considère la suite (an )n∈N définie par :
.
an+1 = 0, 6 × an + 400 , n ∈ N
1. Justifier que la suite (an )n∈N modélise le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n.
Remarquons tout d’abord que a0 = 1500 est bien le nombre d’abonnés comptabilisé par la société en 2010. Intéressons
nous maintenant à la relation de récurrence vérifiée par la suite (an )n∈N . Soit n un entier naturel fixé. Supposons que
an est effectivement le nombre d’abonnés en 2010 + n. Expliquons pourquoi la quantité : an+1 = 0, 6 × an + 400 est
alors égal au nombre d’abonnés en 2010 + (n + 1). L’ensemble des abonnés en 2010 + (n + 1) est la réunion de deux
groupes distincts d’individus à savoir :
⋄ le groupe de ceux déjà abonnés l’année précédente ;
⋄ le groupe des nouveaux abonnés.
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Le premier groupe est constitué de 0, 6an personnes. En effet, comme 40% des an abonnements de l’année 2010 + n
n’ont pas été renouvelés, seul 60% d’entre eux l’ont été. Le second groupe est quant à lui composé des 400 nouveaux
abonnés. Au final, le nombre total d’abonnés en 2010 + (n + 1) est effectivement de :
0, 6 × an + 400 = an+1
⋄ Les réabonnements
⋄ Les nouveaux abonnés
En conclusion : La suite (an )n∈N modélise donc bien le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n.
2. On considère la suite (vn )n∈N définie pour tout entier naturel n par : vn = an − 1000.
(a) Montrer que la suite (vn )n∈N est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme.
Pour ce faire, il faut s’intéresser au rapport de deux termes consécutifs de la suite (vn )n∈N (s’il est indépendant
des termes choisis, la suite est géométrique). Voici les informations dont on dispose :
⋄ le terme général de la suite (vn )n∈N s’exprime directement en fonction de celui de la suite (an )n∈N via
la relation : vn = an − 1000 (ou encore : an = vn + 1000) ;
⋄ la suite (an )n∈N vérifie la relation de récurrence : an+1 = 0, 6 × an + 400.
De ces deux affirmations découle la relation de récurrence suivante (vérifiée cette fois-ci par (vn )n∈N ) : (vn+1 + 1000) =
vn+1
= 0, 6.
0, 6 × (vn + 1000) + 400. Soit, après simplifications : vn+1 = 0, 6 × vn ou encore :
vn
Conclusion : La suite (vn )n∈N est géométrique de raison qv = 0, 6 et de premier terme v0 = a0 − 1000 =
1500 − 1000 = 500.
(b) Fournir la formule explicite du terme général vn de la suite (vn )n∈N en fonction de l’entier n.
De ce qui précède découle directement(via le cours) la formule explicite du terme général vn de la suite (vn )n∈N
n
n
en fonction de l’entier n à savoir : vn = v0 × (qv ) = 500 × (0, 6) .
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n : an = 1000 + 500 × 0, 6n .
Soit n un entier naturel fixé. On a les deux égalités : vn = 500 × 0, 6n et : an = vn + 1000. En remplaçant : vn par :
500 × 0, 6n dans la deuxième égalité, on obtient directement : an = (500 × 0, 6n ) + 1000. L’arbitraire sur l’entier
n termine la preuve.
3. En 2010, le prix d’un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 euros.
Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5%. On note Pn le prix en euros de l’abonnement
annuel pour l’année 2010 + n.
(a) Quelle a été la recette de cette société en 2010 ?
En 2010, la société a facturé sa prestation 400 euros à ses 1500 abonnés ce qui induit pour l’entreprise une recette
d’un montant de : 400 × 1500 = 600000 euros.
(b) Indiquer la nature de la suite (Pn )n∈N en justifiant la réponse. En déduire une expression de la
quantité Pn en fonction de l’entier naturel n.
On remarque qu’une augmentation de 5% correspond à une multiplication par 105
100 = 1, 05 (prendre un exemple
pour s’en convaincre). Ainsi, d’une année à l’autre, le prix d’un abonnement annuel dans une des salles de sport
est multiplié par : 1, 05. La suite (Pn )n∈N est donc géométrique de raison qP = 1, 05 et de premier terme P0 = 400.
n
Ainsi, pour tout entier n, Pn = P0 × (qP ) = 400 × 1, 05n .
(c) Montrer que, pour l’année 2010 + n la recette totale annuelle Rn (en euros) réalisée par la société
pour l’ensemble de ses salles de sport est : Rn = (500 × 0, 6n + 1000) × (400 × 1, 05n )
En 2010 + n et pour l’ensemble de ses salles de sport, la société a vendu an = 1000 + 500 × 0, 6n abonnements au
prix unitaire de Pn = (400 × 1, 05n ) euros. Cette année si, la recette totale annuelle Rn réalisée par la société est
donc de : Rn = an × Pn = (500 × 0, 6n + 1000) × (400 × 1, 05n ) euros.
(d) On souhaite déterminer l’année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle
obtenue en 2010. Ci-dessous, un algorithme permettant de déterminer cette année. (Dans l’énoncé
initial, l’algorithme était donné incomplet est il était demandé de le compléter).
En gras et soulignées en pointillées, les parties que l’on devait compléter.
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Ligne
1
Varables :
n est un entier.
2
3
Initialisation :
Affecter à R la valeur : .600
. . . . .000.
....
Affecter à n la valeur : 0.
Traitement :
Tant que : R ≤ 600
. . . . . .000,
. . . faire :
Affecter à n la valeur : n + 1.
4
5
R est un réel.
6
7
n
n
Affecter à R la valeur : .(500
. . . . .×
. . .0,. .6. . . +
. . .1000)
. . . . . . .×. .(400
. . . . . .×. .1,
. . 05
. . . . ).
.
Fin de la boucle "Tant que".
8
9
Sortie :
Afficher : 2010 + n.
Exercice 4 :
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note x le nombre
de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l’intervalle [0 ; 3, 6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté B (x), il est exprimé en milliers d’euros. L’objet de cet exercice est
d’étudier cette fonction B.
Partie A : étude graphique
Voici la représentation graphique (CB ) de la fonction B :
≈ 15
14
13
12
10
8
6
(CB )
4
2
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
≈ 2, 5
3,0
≈3
3,5
≈ 3.4
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou
égal à 13000 e.
Réponse : Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 13000 e, il faut que le nombre de poulies
fabriquées et vendues soit compris dans l’intervalle [2500 ; 3400].
Pour répondre à cette question, il faut déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation : B (x) ≥ 13. Pour cela, on
trace sur le graphique la droite d’équation : y = 13. Celle-ci coupe la représentation graphique de la fonction B "pour
y passer d’abord en-dessous puis à nouveau au-dessus" en deux points dont les abscisses sont approximativement :
2, 5 et 3, 4. L’ensemble des solutions de l’inéquation : B (x) ≥ 13 obtenu par cette lecture graphique est l’intervalle :
[2, 5 ; 3, 4].
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ? Pour quel nombre N de poulies fabriquées
et vendues semble-t-il être réalisé ?
Réponse : Le bénéfice hebdomadaire maximum envisageable pour l’entreprise est approximativement
de 15000 e et est obtenu lorsque l’usine produit environ 3000 poulies par semaine.
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Lycée Jacques Monod, 22 février 2015
Pour répondre à cette question, il faut déterminer le maximum de la fonction B et la valeur en laquelle il est atteint.
Pour ce faire, "on lit sur la figure les coordonnées du point de (CB ) de plus grande ordonnée". On obtient : (3 ; 15). Le
maximum de la fonction B vaut approximativement 15 et est atteint une unique fois en la valeur x ≈ 3.
Partie B : étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire, noté B (x) est exprimé en milliers d’euros vaut : B (x) = −5 + (4 − x) × ex .
1. On note B ′ la fonction dérivée de B.
(a) Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle I = [0 ; 3, 6] : B ′ (x) = (3 − x) × ex .
On considère les fonctions u et v définies sur I par : u (x) = (4 − x) et v (x) = ex . On a la relation : B = −5+u×v.
Donc : B ′ = u′ × v + u × v ′ . Or les expressions algébriques des fonctions u′ et v ′ sont : u′ (x) = −1 et v ′ (x) = ex .
D’où : f ′ (x) = u′ (x) × v (x) + u (x) × v ′ (x) = (−1) × ex + (4 − x) × ex = (3 − x) × ex .
(b) Déterminer le signe de B ′ (x) sur l’intervalle I.
Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur R, quel que soit x réel, la quantité ex est toujours
strictement positive. Ainsi, quel que soit x réel, les quantités B ′ (x) = (3 − x) × ex et 3 − x sont du même signe.
En particulier, on a les équivalences : [(B ′ (x) > 0) ⇔ (3 − x ≥ 0) ⇔ (3 ≥ x)] et [(B ′ (x) = 0) ⇔ (x = 3)].
(c) Dresser le tableau de variation de la fonction B. On indiquera les valeurs de la fonction B aux
bornes de l’intervalle.
x
0
3
Signe de : B ′ (x)
Variations de :
B
+
0
3.6
−
15.09
−1
9.64
2. Justifier que l’équation : B (x) = 13 admet deux solutions x1 et x2 , l’une dans l’intervalle [0 ; 3] et l’autre
dans l’intervalle [3 ; 3, 6]. Fournir les valeurs approchées au centième.
La fonction B est continue car dérivable et est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3]. De plus, le réel 13 est
compris entre B (0) = −1 et B (3) = 15. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut en conclure que
l’équation : B (x) = 13 admet une unique solution x1 sur l’intervalle [0 ; 3]. Le même raisonnement permet d’affirmer
que l’équation : B (x) = 13 admet aussi une unique solution x2 sur l’intervalle [3 ; 3, 6]. A l’aide de la calculatrice on
obtient : x1 ≈ 2, 46 et x2 ≈ 3, 40.
3. On admet que, pour tout réel x de l’intervalle I, on a : B ′′ (x) = (2 − x) × ex
(a) Étudier la convexité de la fonction B sur l’intervalle I.
Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur R, quel que soit x réel, la quantité ex est toujours
strictement positive. Ainsi, quel que soit x réel, les quantités B ′′ (x) = (2 − x) × ex et 2 − x sont du même
signe. La fonction B ′′ est donc strictement négative sur l’intervalle [0 ; 2[, s’annule une unique fois en x = 2 et
est strictement positive sur ]2 ; 3.6]. D’où l’on déduit que la fonction B est strictement convexe sur l’intervalle
[0 ; 2[ et est strictement concave sur ]2 ; 3.6]. De plus sa représentation graphique (CB ) admet un point d’inflexion
d’abscisse 2. Ci-dessous, un tableau récapitulatif :
x
0
2
′′
Signe de : B (x)
Variations de :
B′
Convexité de : B
+
0
3.6
−
B ′ (2)
B ′ (0)
Convexe
B ′ (3.6)
Concave
(b) Combien de poulies faut-il fabriquer par semaine pour que le bénéfice marginal soit maximal ?
Pour rappel, le bénéfice marginal est la variation du bénéfice en réponse à la vente d’une unité supplémentaire
d’un bien. En tant que dérivée de la fonction B qui donne le bénéfice en fonction du nombre de poulies produites
et vendues, la fonction B ′ exprime cette variation de bénéfice induite par la production et la vente d’une poulie
supplémentaire en fonction du nombre de poulies déjà produites et vendues. Or, d’après la question précédente
(voir tableau), la fonction B ′ atteint son maximum une unique fois en x = 2.
Conclusion : Pour que le bénéfice marginal soit maximal il faut fabriquer 2000 poulies par semaine.
6