Théorie des Langages – TD 1 et 2

Théorie des Langages – TD 1 et 2
ALPHABETS, LANGAGES ET GRAMMAIRES
Exercice 1 - On considère l’alphabet X={a,b,c}. On rappelle que |w|représente la longueur du mot w, et ε
représente le mot vide. Soit deux mots w=ababc et q=caba.
1. Calculez w0,w1et w2
2. Calculez wq2w
3. Calculez |w|ab,|(ab)4|et |(ab)4|aba
4. Donnez les préfixes, les préfixes propres, les suffixes et les suffixes propres de q
5. Donnez le miroir du mot wq.
Exercice 2 -
1. Montrez qu’il ne peut y avoir de mot xtel que ax =xb.
2. Quels sont les deux langages dont la fermeture par l’étoile donne le langage uniquement composé du mot
vide ε?
3. Les mots suivants sont-ils générés par le langage (ab∗)b∗:ε,a,aa,ba,abbb,ababb,baba ? Même
question avec le langage (ab)∗b∗.
Exercice 3 - On considère l’alphabet X={a,b}. Donner les langages correspondant aux propriétés suivantes :
1. les mots qui ne contiennent aucun b;
2. les mots qui ne contiennent pas ab ;
3. les mots qui contiennent au moins un a;
4. les mots de longueur paire ;
Exercice 4 - On considère l’alphabet X={a,b,c}.
1. Calculez les ensembles X0,X1et X2
2. Pour chacun des ensembles suivants, caractérisez L∗
1, et calculez L1∩L2,L1∪L2,L1.L2,L2.L1
L1={ab,bb}et L2={a,ab,bbc,ca}
L1={ε}et L2={bbc,ca}
L1=/ 0et L2={bbc,ca}
L1={ab,bb}et L2=X∗
Exercice 5 - On considère l’alphabet X={a,b}, et les langages L1et L2suivants :
L1={anbn|n∈N}
L2={bnan|n∈N}
Calculez L1∪L2,L1∩L2,L1.L2,L2.L1,L2
1.
1

Exercice 6 - On considère des langages sur un alphabet quelconque.
1. Démontrez les propriétés suivantes :
L1⊆L2⇒L.L1⊆L.L2
L.(L1∪L2) = L.L1∪L.L2
2. Montrez que L.(L1∩L2)⊆L.L1∩L.L2. A l’aide d’un contre-exemple, montrez que l’égalité n’est pas
forcément atteinte.
3. Montrez que (L1∩L2)∗⊆L∗
1∩L∗ 2. A l’aide d’un contre-exemple, montrez que l’égalité n’est pas forcément
atteinte.
Exercice 7 - On considère des langages sur un alphabet Xquelconque. Soient les deux langages suivants :
Lp={w| |w|est paire}
Li={w| |w|estimpaire}
1. Montrez que L2
p=Lp
2. Montrez que L+
p=Lp, puis que L∗ p=Lp
3. Montrez que Lp.Li=Li.Lp=Li
4. Montrez que L2
i=Lp\ {ε}, puis que L∗ i=X∗
Exercice 8 - Soient les langages L1,L2et L3construits sur l’alphabet X={a,b}. On rappelle que (a+b) =
{a} ∪ {b}.
L1={anb(a+b)n,n∈N}
L2={(a+b)nban,n∈N}
L3={(a+b)nb(a+b)n,n∈N}
1. Montrez que les langages L1,L2et L3ne sont pas égaux
2. Soit L4={(a+b)mban,m,n∈N}. Montrez que L26=L4
3. Donnez les grammaires qui engendrent L2et L4
Exercice 9 - Soit la grammaire G=hV,Σ,P,Si, avec V={a,b,S},Σ={a,b}et P={S→aSa;S→bSb;S→ε}.
1. Soit G0=hV,Σ,P0,Si, avec P0=P∪ {S→SS}. Montrez que aabaab ∈L(G0). Montrez ensuite que G0
est ambigüe.
2. Pourquoi Gn’est pas ambigüe ?
Exercice 10 - Proposez une grammaire qui permet d’engendrer les formules de la logique des propositions.
Exercice 11 - Soit la grammaire G=hV,Σ,P,Si, avec V={if,then,else,a,b,S},Σ={if,then,else,a,b}et P=
{S→if bthen Selse S;S→if bthen S;S→a}.
Démontrez que cette grammaire est ambigüe
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