2nde-equation-droite.. - Mathématiques au lycée Bellepierre

Chapitre 9 – Équations de droites TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 09 – Équations de droite s
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-1
3 ................................................ I-1
4 ................................................ I-1
5 ................................................ I-1
6 ................................................ I-1
7 ................................................ I-2
8 ................................................ I-2
9 ................................................ I-2
10 ................................................ I-2
II Cours II-1
1 Deux types d’équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Déterminer l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Droitesparallèles ......................................II-3
4 Vérifier si un point appartient à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
5 Pointsalignés ........................................II-3
6 Intersection de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 9 – Équations de droites I EXERCICES – page I-1
I Exercices
1
Tracer un repère (O, I, J) du plan et tracer les droites d’équations
(d1)y= 2x−3 (d2)y=−1,5x(d3)y= 2
Ces droites sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines définies par les égalités
suivantes : f1(x) = 2x−3f2(x) = −1,5x f3(x) = 2.
2
1. Dans le repère de l’exercice précéent, placer les points A (3 ; 3) B (5 ; 7).
2. Calculer yB−yA
xB−xA
3. À quoi correspond ce résultat ?
3
1. Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points :
A (2 ; 2) B (6 ; 4) C (1 ; −1) D (4 ; −4) E (3 ; 5) F (7 ; 5)
2. Déterminer l’équation y=mx +pde la droite (AB) (a) graphiquement (b) par le calcul
Explication pour calculer l’ordonnée à l’origine p: dans l’équation y=mx +p, on remplace x
et ypar les coordonnées de A ou de B.
3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour la droite (CD), puis pour la droite (EF).
4
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(2 ; 1) B(3 ; 4) C (2 ; −1) D (4 ; −5) G(−3 ; −5)
H(−3 ; 2)
2. Tracer la droite (AB), et déterminer son équation graphiquement, puis par le calcul.
3. Mêmes consignes pour la droite (CD).
4. Mêmes consignes pour la droite (GH). On constate qu’il y a un problème.
(a) Qu’est ce que cette droite a de particulier par rapport aux précédentes ?
(b) Tous les points de la droite (GH) ont quelque chose en commun. Quoi ?
5
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer les points :
A(5 ; 2) B (5 ; 4) C (−1 ; 5) D (1 ; 1) E(−4 ; 5) F (−4 ; −1)
2. Tracer les droites (AB), (CD), (EF) et déterminer graphiquement des équations de ces droites.
6
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(−2 ; 2) B(2 ; 3) C(−2 ; 0)
2. Calculer l’équation de la droite (AB)
3. Tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par C. Quel est son coefficient directeur ?
4. Calculer l’équation de la droite (d).
2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 9 – Équations de droites I EXERCICES – page I-2
7
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A (−1 ; 3) et B(2 ; 0)
2. Tracer la droite (d) d’équation : y= 2x−1
3. Calculer les équations
(a) de la droite (AB) ;
(b) de la parallèle à (OJ) passant par A ;
(c) de la parallèle à (OI) passant par A ;
(d) de la parallèle à (d) passant par A.
8
1. Tracer un repère (O, I, J) du plan, et
– tracer les droites (d1) d’équation y=−3x+ 5 et (d2) d’équation x= 3 ;
– placer les points A(1 ; 2) et B(3 ; −3).
2. (a) Le point A appartient-il à la droite (d1) ? Justifier.
(b) Même consigne pour le point B et la droite (d1).
3. Même consigne pour les points A et B par rapport à la droite (d2).
9
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer :
A(−1 ; 2) B (1 ; 6) C (−2 ; −1) D (−2 ; 0) E(1 ; 3) F (1 ; 1) G (2 ; 5).
2. Les points A, B, C sont-ils alignés ? Justifier. Indication : on peut calculer l’équation de la
droite (AB), puis vérifier si le point C appartientà la droite (AB) ou non.
3. Les points suivants sont-ils alignés ? Justifier par des calculs.
(a) A, B, C (b) B, E, F (c) B, E, G
10
1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(−1 ; 3) B(1 ; −2) C(2 ; −4) D(3 ; −7)
2. Calculer l’équation de la droite (AD).
3. Vérifier si les points suivants sont alignés : (a) A, B, C (b) A, B, D.
2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 9 – Équations de droites II COURS – page II-1
II Cours
1 Deux types d’équations de droites
Remarque
On sait qu’une fonction affine est définie sous la forme f(x) = mx +pet que sa représentation
graphique est une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Propriété
Dans un repère du plan, toute droite a une équation.
– Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x=k.
– Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y=mx +p.
Remarque : on apprend ultérieurement que toute droite du plan a une équation de la forme
ax +by +c= 0
2 Déterminer l’équation d’une droite
Remarques
Soit fune fonction affine définie par f(x) = mx +pet représentée par une droite (AB).
On sait que le nombre mest le coefficient directeur et que le nombre pest l’ordonnée à l’origine. On
utilise le même vocabulaire pour les équations de droites.
On sait aussi que m=f(xB)−f(xA)
xB−xA
. On a donc la propriété ci-dessous.
Propriété
Soit deux points distincts du plan A(xA, yA) et B(xB, yB) et mle coefficient directeur de la droite
(AB), alors m=yB−yA
xB−xA
Exemple 1 : déterminer l’équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) dans
un repère (O, I, J).
Figure voir figure 1 page suivante.
1re méthode : déterminer l’équation réduite par des calculs
•L’équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y=mx +p
•Calcul du coefficient directeur m:m=yB−yA
xB−xA
=4−1
3−2=3 1= 3
•L’équation réduite de la droite (AB) est donc : y= 3x+p
•Calcul de l’ordonnée à l’origine p: on remplace xet ypar les coordonnées de A(2 ; 1) dans
l’équation y= 3x+b
1 = 3 ×2 + b
3×2 + b= 1
6 + b= 1
b= 1 −6 = −5
•Donc l’équation réduite de la droite (AB) est : y= 3x+ (−5) soit y= 3x−5
2eméthode : déterminer l’équation réduite graphiquement
•y=mx +p
•Coefficient directeur ; le long des flèches en pointillés qui relient les points A et B, on lit + 3
et + 1, donc : m=+3
+1 = 3
2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 9 – Équations de droites II COURS – page II-2
•Ordonnée à l’origine ; à l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (l’axe vertical),
on lit : p=−5
•Équation réduite : y= 3x+ (−5) c’est à dire y= 3x−5
Figure 1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4−1−2−3−4
O I
J
+
+A
B
+ 1
+ 3
G
H
Exemple 2
Soient les points G(−3 ; −5) H(−3 ; 2) dans le repère (O, I, J).
Déterminons l’équation de la droite (GH)
Les deux points G et H ont la même abscisse : −3
Donc la droite (GH) est parallèle à l’axe des ordonnées et une équation de la droite (GH) est x=−3.
2de – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr