Autres exercices d`arithmétique - Université de Bretagne-Sud

Université de Bretagne Sud — D.E.U.G. M.A.S.S. & M.I.A.S.
1ère année - Analyse
Première feuille d’exercices d’arithmétique
Décomposition en facteurs premiers
Exercice 1 — Montrez qu’il existe des intervalles aussi longs qu’on le désire et qui ne contiennent
aucun nombre premier. Indication : considérer [n! + 2, n! + n].
Exercice 2 : l’âge du capitaine — Pendant la guerre de 1914-1918, des travaux de fortification mirent
au jour une pertuisane (sorte de lance) enterrée lors d’un très ancien combat. Si l’on multiplie la longueur
de cette pertuisane, exprimée en pieds (un pied valait 0, 324 mètres) par la moitié de l’âge du capitaine qui
se distingua au cours de cette bataille, puis par le nombre de jours que compte le mois où la pertuisane fut
trouvée, et enfin par le quart du nombre des années que la pertuisane passa sous terre, on obtient 225533 .
Trouvez l’année de la bataille et l’âge du capitaine ; puis chez vous, à l’aide d’un livre d’Histoire, le
nom de l’une et de l’autre.
Exercice 3 — Montrez que tout nombre impair est congru à 1 ou à −1 modulo 4. Montrez qu’il
existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 4. Indication : considérez
2(2 × 3 × 5 × . . . × p) − 1
Montrez que tout nombre premier plus grand que 3 est congru à 1 ou à −1 modulo 6. Montrez qu’il
existe une infinité de nombres premiers congrus à -1 modulo 6.
Exercice 4 — Trouvez un nombre de 2 chiffres qui est un carré, tel que si l’on ajoute 1 à chaque
chiffre (supposé bien sûr différent de 9), le nouveau nombre soit également un carré. Même question pour
un nombre de trois, quatre ou cinq chiffres.
Exercice 5 — Soit n un entier positif de deux chiffres, tel que la somme de ses deux chiffres égale
le plus petit diviseur premier de n . Trouvez n . (Montrez d’abord que ce nombre premier divise 9 fois le
premier chiffre.)
Algorithme d’Euclide
Exercice 6 — Quel est le p.g.c.d. de 5n + 6n avec 5n+1 + 6n+1 ?
Exercice 7 — Montrez que la fraction
21n+4
14n+3
est irréductible, quel que soit n ∈ Z .
Exercice 8 — Un groupe d’hommes et de femmes a dépensé dans une auberge mille sous ; les hommes
ont payé dix-neuf sous chacun, les femmes treize. Combien y avait-il d’hommes et de femmes ?
Indication : on trouvera quatre solutions.
Exercice 9 — Quelqu’un achète des chevaux et des bœufs. Il paie trente-et-un écus par cheval et
vingt écus par bœuf. Les bœufs lui ont coûté sept écus de plus que ne lui ont coûté les chevaux. Combien
a-t-il acheté de bœufs, et combien de chevaux ?
1
Exercice 10 — (d’après Tsin Kiu Tchou, “les neuf sections de l’art numérique”.) Trois tonneaux
étaient pleins d’une même quantité de riz. Trois voleurs passent, après quoi il ne reste dans le premier
tonneau que 1 ho (unité de mesure traditionnelle) de riz ; dans le second, 11 ho ; dans le troisième, 1 ho.
Arrêté, le premier voleur avoue avoir puisé dans le premier tonneau avec son chapeau ; le deuxième voleur,
dans le second tonneau avec son sabot ; le troisième voleur, dans le troisième tonneau avec son écuelle.
On mesure que le chapeau a une contenance de 11 ho ; le sabot, de 17 ho ; l’écuelle, de 13 ho.
Combien chaque voleur a-t-il pris de riz, au minimum ? Combien de fois a-t-il puisé ? Combien y avait-il
de riz, au minimum, dans chaque tonneau, avant le passage des voleurs ?
Exercice 11 — Combien l’équation 707x + 77y = 8008 a-t-elle de solutions (x, y) ∈ N × N ?
Exercice 12 — Quel est le plus petit multiple de 7 positif et dont le reste de la division par 2,3,4,5
et 6 soit 1 ?
Congruences, petit théorème de Fermat
Exercice 13 — Le phare de la Teignouse émet un signal rouge avec une période de 4 secondes ; celui
du port Saint-Gildas à Houat est vert et sa période est de 6 secondes ; celui des Grands Cardinaux au large
de Hoedic est blanc et de période 15 secondes.
Il est minuit pile. J’ai vu la Teignouse il y a 2 secondes, Houat il y a 3 secondes, les Cardinaux il y a
5 secondes. A quels moments, dans les deux prochaines minutes, verrai-je en mme temps les feux rouge et
vert ? rouge et blanc ? vert et blanc ? Les trois ensemble ?
Bibliographie : Almanach du marin breton, éd. 2001.
Exercice 14 — Quel est le chiffre des unités de 272001 ? Indication : trouver sa classe modulo 2 et sa
classe modulo 5.
Exercice 15 — Montrez que tous les facteurs premiers impairs de n2 + 1 , où n ∈ Z , sont de la
p−1
forme 4k + 1 . (Evaluez de deux manières le carré de n 2 .)
Exercice 16 — Existe-t-il des multiples de 7 dont l’écriture décimale ne comporte que des 9 ? Le
nombre formé de 2001 fois le chiffre 9 est-il divisible par 7 ?
Indication : étudiez la suite des puissances de 10 modulo 7.
2