Autres exercices d`arithmétique - Université de Bretagne-Sud

Universit´e de Bretagne Sud — D.E.U.G. M.A.S.S. & M.I.A.S.
1`ere ann´ee - Analyse
Premi`ere feuille d’exercices d’arithm´etique
D´ecomposition en facteurs premiers
Exercice 1 — Montrez qu’il existe des intervalles aussi longs qu’on le d´esire et qui ne contiennent
aucun nombre premier. Indication : consid´erer [n!+2, n! + n].
Exercice 2 : l’ˆage du capitaine —Pendant la guerre de 1914-1918, des travaux de fortification mirent
au jour une pertuisane (sorte de lance) enterr´ee lors d’un tr`es ancien combat. Si l’on multiplie la longueur
de cette pertuisane, exprim´ee en pieds (un pied valait 0,324 m`etres) par la moiti´e de l’ˆage du capitaine qui
se distingua au cours de cette bataille, puis par le nombre de jours que compte le mois o`u la pertuisane fut
trouv´ee, et enfin par le quart du nombre des ann´ees que la pertuisane passa sous terre, on obtient 225533 .
Trouvez l’ann´ee de la bataille et l’ˆage du capitaine ; puis chez vous, `a l’aide d’un livre d’Histoire, le
nom de l’une et de l’autre.
Exercice 3 — Montrez que tout nombre impair est congru `a 1 ou `a −1 modulo 4. Montrez qu’il
existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a -1 modulo 4. Indication : consid´erez
2(2 ×3×5×. . . ×p)−1
Montrez que tout nombre premier plus grand que 3 est congru `a 1 ou `a −1 modulo 6. Montrez qu’il
existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a -1 modulo 6.
Exercice 4 — Trouvez un nombre de 2 chiffres qui est un carr´e, tel que si l’on ajoute 1 `a chaque
chiffre (suppos´e bien sˆur diff´erent de 9), le nouveau nombre soit ´egalement un carr´e. Mˆeme question pour
un nombre de trois, quatre ou cinq chiffres.
Exercice 5 — Soit nun entier positif de deux chiffres, tel que la somme de ses deux chiffres ´egale
le plus petit diviseur premier de n. Trouvez n. (Montrez d’abord que ce nombre premier divise 9 fois le
premier chiffre.)
Algorithme d’Euclide
Exercice 6 — Quel est le p.g.c.d. de 5n+ 6navec 5n+1 + 6n+1 ?
Exercice 7 — Montrez que la fraction 21n+4
14n+3 est irr´eductible, quel que soit n∈Z.
Exercice 8 — Un groupe d’hommes et de femmes a d´epens´e dans une auberge mille sous ; les hommes
ont pay´e dix-neuf sous chacun, les femmes treize. Combien y avait-il d’hommes et de femmes ?
Indication : on trouvera quatre solutions.
Exercice 9 — Quelqu’un ach`ete des chevaux et des bœufs. Il paie trente-et-un ´ecus par cheval et
vingt ´ecus par bœuf. Les bœufs lui ont coˆut´e sept ´ecus de plus que ne lui ont coˆut´e les chevaux. Combien
a-t-il achet´e de bœufs, et combien de chevaux ?
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Exercice 10 — (d’apr`es Tsin Kiu Tchou, “les neuf sections de l’art num´erique”.) Trois tonneaux
´etaient pleins d’une mˆeme quantit´e de riz. Trois voleurs passent, apr`es quoi il ne reste dans le premier
tonneau que 1 ho (unit´e de mesure traditionnelle) de riz ; dans le second, 11 ho ; dans le troisi`eme, 1 ho.
Arrˆet´e, le premier voleur avoue avoir puis´e dans le premier tonneau avec son chapeau ; le deuxi`eme voleur,
dans le second tonneau avec son sabot ; le troisi`eme voleur, dans le troisi`eme tonneau avec son ´ecuelle.
On mesure que le chapeau a une contenance de 11 ho ; le sabot, de 17 ho ; l’´ecuelle, de 13 ho.
Combien chaque voleur a-t-il pris de riz, au minimum ? Combien de fois a-t-il puis´e ? Combien y avait-il
de riz, au minimum, dans chaque tonneau, avant le passage des voleurs ?
Exercice 11 — Combien l’´equation 707x+ 77y= 8008 a-t-elle de solutions (x, y)∈N×N?
Exercice 12 — Quel est le plus petit multiple de 7 positif et dont le reste de la division par 2,3,4,5
et 6 soit 1 ?
Congruences, petit th´eor`eme de Fermat
Exercice 13 — Le phare de la Teignouse ´emet un signal rouge avec une p´eriode de 4 secondes ; celui
du port Saint-Gildas `a Houat est vert et sa p´eriode est de 6 secondes ; celui des Grands Cardinaux au large
de Hoedic est blanc et de p´eriode 15 secondes.
Il est minuit pile. J’ai vu la Teignouse il y a 2 secondes, Houat il y a 3 secondes, les Cardinaux il y a
5 secondes. A quels moments, dans les deux prochaines minutes, verrai-je en mme temps les feux rouge et
vert ? rouge et blanc ? vert et blanc ? Les trois ensemble ?
Bibliographie : Almanach du marin breton, ´ed. 2001.
Exercice 14 — Quel est le chiffre des unit´es de 272001 ? Indication : trouver sa classe modulo 2 et sa
classe modulo 5.
Exercice 15 — Montrez que tous les facteurs premiers impairs de n2+ 1 , o`u n∈Z, sont de la
forme 4k+ 1 . (Evaluez de deux mani`eres le carr´e de np−1
2.)
Exercice 16 — Existe-t-il des multiples de 7 dont l’´ecriture d´ecimale ne comporte que des 9 ? Le
nombre form´e de 2001 fois le chiffre 9 est-il divisible par 7 ?
Indication : ´etudiez la suite des puissances de 10 modulo 7.
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