XIV. Applications linéaires

Sup Tsi - Cours de math´ematiques
XIV. Applications lin´eaires
1 Applications lin´eaires
D´efinition 1. On dit qu’une application f:E→Fo`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels est lin´eaire
si pour tous −→ u , −→ v∈Eet pour tous λ, µ ∈Kon a f(λ−→ u+µ−→ v) = λf(−→ u) + µf(−→ v). On note L(E, F )
l’ensemble des applications lin´eaires de Edans F.
Remarque 1. L’image par une application lin´eaire d’une combinaison lin´eaire de vecteurs est ´egale `a la
combinaison lin´eaire de leurs images.
Remarque 2. Si fest lin´eaire, f(−→ 0E) = −→ 0F.
Remarque 3. L(E, F )est un K-espace vectoriel.
Exemple 1. Une homoth´etie vectorielle de rapport k∈Kest une application lin´eaire :
f:E→E
−→
u7→ k−→ u
Exemple 2. La d´erivation est une application lin´eaire :
f:K[X]→K[X]
P7→ P′
Exercice 1. Montrer que l’application f:R2→R2
x
y7→ x+y x−y
est lin´eaire.
D´efinition 2.
– Une application lin´eaire de Edans Eest appel´ee un endomorphisme, on note L(E)l’ensemble des
endomorphismes de E.
– Une application lin´eaire de Edans Kest appel´ee une forme lin´eaire.
Exercice 2. Donner un exemple de forme lin´eaire de R2dans Rpuis donner un exemple de forme lin´eaire
de R[X]dans R.
Exercice 3. L’application f7→ f◦fest-elle un endomorphisme de F(R,R)?
Propri´et´e 1. La compos´ee de deux applications lin´eaires est une application lin´eaire.
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 3. Une application lin´eaire bijective est appel´ee un isomorphisme.
Propri´et´e 2. L’application r´eciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 4. Un endomorphisme bijectif est appel´e un automorphisme, on appelle groupe lin´eaire et
on note GL(E)l’ensemble des automorphismes d’un K-espace vectoriel E.
Exercice 4. Montrer que l’application fde l’exercice 1 est un automorphisme de R2et expliciter son
application r´eciproque.
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2 Noyau et image d’une application lin´eaire
Propri´et´e 3. On consid`ere f∈ L(E, F )et E′, F ′deux sous-espaces vectoriels respectifs des K-espaces
vectoriels Eet F, alors :
– L’image directe f(E′) = {f(−→ u)/−→ u∈E′}de E′est un sous-espace vectoriel de F.
– L’image r´eciproque f−1(F′) = {−→ u∈E / f(−→ u)∈F′}de F′est un sous-espace vectoriel de E.
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 5. On consid`ere f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels.
•on appelle noyau de f,Ker f=f−1n−→ 0Fo=n−→ u∈E / f(−→ u) = −→ 0Fo.
•on appelle image de f,Im f=f(E) = {f(−→ u)/−→ u∈E}.
Remarque 4. Ker fest un sous-espace vectoriel de Eet Im fest un sous-espace vectoriel de F.
Exercice 5. D´eterminer le noyau et l’image de l’application lin´eaire f:K[X]→K[X]
P7→ P′
.
Exercice 6. D´eterminer le noyau et l’image de la forme lin´eaire f:R3→R
x
y
z
7→ x+y+z
.
Propri´et´e 4. On consid`ere f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels, alors :
•fest injective si et seulement si Ker f=n−→ 0Eo.
•fest surjective si et seulement si Im f=F.
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 6. On consid`ere deux sous-espaces vectoriels Fet Gsuppl´ementaires d’un K-espace vec-
toriel E, pour tout −→ u∈Eil existe un unique couple (−→ uF,−→ uG)∈F×Gtel que
−→
u=−→ uF+−→ uG:
•l’application lin´eaire p:E→E
−→
u7→ −→ uF
est appel´ee projection (ou projecteur) sur
Fparall`element `a G,
•l’application lin´eaire s:E→E
−→
u7→ −→ uF−−→ uG
est appel´ee sym´etrie par rapport `a F
parall`element `a G.
−→
u
−→
uF=p(−→
u)
−→
uG
s(−→ u)
F
G
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Remarque 5. pest un endomorphisme de Eet p◦p=p,s◦s=IdEdonc sest un automorphisme
d’application r´eciproque s.
Exemple 3. L’application lin´eaire p:R3→R3
x
y
z
7→ 
x
y
0
est une projection.
Exemple 4. L’application lin´eaire s:C→C
z7→ z
est une sym´etrie.
Exercice 7. On consid`ere pprojection sur Fparall`element `a G, d´eterminer Ker pet Im p.
Exercice 8. On consid`ere ssym´etrie par rapport `a Fparall`element `a G, d´eterminer Ker s,Im s,Ker(s−Id)
et Ker(s+Id).
Propri´et´e 5. Un endomorphisme fd’un K-espace vectoriel Etel que f◦f=fest une projection sur Im f
parall`element `a Ker f.
D´emonstration. Non exigible - On proc`ede par analyse-synth`ese.
Propri´et´e 6. Un endomorphisme fd’un K-espace vectoriel Etel que f◦f=IdEest une sym´etrie par
rapport `a Ker(f−IdE)parall`element `a Ker(f+IdE).
D´emonstration. Non exigible - On proc`ede par analyse-synth`ese.
D´efinition 7. On appelle ´equation lin´eaire d’inconnue −→ uune ´equation de la forme f(−→ u) = −→ vavec
f∈ L(E, F ),−→ u∈Eet −→ v∈F.
Remarque 6. L’´equation lin´eaire f(−→ u) = −→ vest compatible si −→ v∈Im fet l’ensemble des solutions est
f−1({−→ v}),Ker fest l’ensemble des solutions de l’´equation lin´eaire homog`ene associ´ee.
Exercice 9. Montrer que l’´equation diff´erentielle y+y′=eto`u y∈ D(R,R)est une ´equation lin´eaire et
d´eterminer l’ensemble de ses solutions.
3 Applications lin´eaires en dimension finie
Propri´et´e 7. On consid`ere une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de
dimension finie ainsi qu’une famille (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)g´en´eratrice de E, alors (f(−→ e1), f(−→ e2),...,f(−→ en))
est une famille g´en´eratrice de f(E).
D´emonstration. Exigible.
Exercice 10. D´eterminer une base de l’image de l’application lin´eaire f:R2[X]→R2[X]
P(X)7→ P(X)−XP ′(X)
.
D´efinition 8. On appelle rang d’une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces
vectoriels de dimension finie, rg f= dim(Im f).
Exercice 11. D´eterminer le rang de l’application lin´eaire f:R2[X]→R2[X]
P(X)7→ P(X)−XP ′(X)
.
Remarque 7. Une application lin´eaire f∈ L(E, F )avec dim E= dim Fest surjective si et seulement si
rg f= dim F.
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Propri´et´e 8. On consid`ere f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G)o`u E,Fet Gsont des K-espaces vectoriels de
dimension finie, alors rg g◦f6rg g.
D´emonstration. Exigible - On remarque que Im g◦f⊂Im g.
Corollaire 1. On consid`ere f∈GL(E)et g∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de
dimension finie, alors rg g◦f= rg g.
D´emonstration. Exigible - On remarque que g= (g◦f)◦ho`u hest l’application r´eciproque de f.
Th´eor`eme 1. Th´eor`eme du rang
On consid`ere une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces
vectoriels de dimension finie, alors :
rg f= dim E−dim(Ker f)
D´emonstration. Hors-programme - On montre que fd´efinit un isomorphisme de tout suppl´ementaire de
Ker fdans Im f.
Exercice 12. D´eterminer le rang de l’application f:R2→R3
x
y7→ 
x+y
x−y
−x+y
.
Remarque 8. Si f∈ L(E, F )est bijective, n´ecessairement dim E= dim F.
Exercice 13. Construire un isomorphisme de R2[X]dans R3.
Corollaire 2. Une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de dimension
finie est un isomorphisme si et seulement si elle transforme une(toute) base de Een une base de F.
D´emonstration. Exigible.
Corollaire 3. On consid`ere une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces
vectoriels de dimension finie avec dim E= dim F, alors :
finjective ⇔fsurjective ⇔fbijective
D´emonstration. Exigible.
Contre-exemple 1. L’application lin´eaire f:K[X]→K[X]
P7→ P′
est surjective mais pas injective.
Exercice 14. Montrer que f:R3→R2[X]
a
b
c
7→ aX2+bX +c
est un isomorphisme.
Exercice 15. Montrer que f:R3→R3
x
y
z
7→ 
x+y
y+z
x+z
est un automorphisme de R3.
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Corollaire 4. On consid`ere f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G)o`u E,Fet Gsont des K-espaces vectoriels de
dimension finie, alors rg g◦f6rg f.
D´emonstration. Exigible - on remarque que Ker f⊂Ker g◦f.
Exercice 16. On consid`ere f∈ L(E, F )et g∈GL(F)o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de
dimension finie, montrer que rg g◦f= rg f.
4 Repr´esentation matricielle d’une application lin´eaire
Propri´et´e 9. Une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de di-
mension finie est enti`erement d´etermin´ee par l’image (f(−→ e1), f(−→ e2),...,f(−→ en)) d’une base quelconque
(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)de E.
D´emonstration. Exigible.
Exercice 17. D´eterminer l’application lin´eaire ftelle que f(−→ e1) = −→ e1+−→ e2et f(−→ e2) = −→ e1o`u (−→ e1,−→ e2)
est la base canonique de R2.
D´efinition 9. On consid`ere une application lin´eaire f∈ L(E, F )o`u Eest un K-espace vectoriel de di-
mension pmuni d’une base B= (−→ u1,−→ u2,...,−→ up)et Fun K-espace vectoriel de dimension nmuni d’une
base C= (−→ v1,−→ v2,...,−→ vn). On appelle matrice de fde la base Bdans la base C,Mat
B,Cf= (aij )16i6n
16j6p
avec
f(−→ uj) =
i=n
X
i=1
aij −→ vipour tout j∈J1; pK.
Remarque 9. Les colonnes de la matrice de fsont les coordonn´ees dans la base Cdes images des vecteurs
de la base Bpar l’application f.
Remarque 10. La matrice de l’application identit´e de Edans Eo`u Eest un K-espace vectoriel de dimen-
sion nest la matrice In.
Exercice 18. On consid`ere l’application lin´eaire f:R2[X]→R1[X]
P7→ P′
. D´eterminer la matrice de f
de la base canonique Bde R2[X]dans la base canonique Cde R1[X]puis la matrice de fde la base
B′= (1,1 + X, 1 + X+X2)de R2[X]dans la base C′= (1,1 + X)de R1[X].
Remarque 11. Dans le cas o`u fest un endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie muni
d’une base B, on note Mat
Bfet on appelle matrice de fdans la base Bla matrice de fde la base Bdans
la base B.
Exercice 19. D´eterminer la matrice de l’application lin´eaire f:R3→R3
x
y
z
7→ 
x
x+y
x+y+z
dans la
base canonique de R3.
Propri´et´e 10. On consid`ere un K-espace vectoriel Ede dimension pmuni d’une base Bet un K-espace
vectoriel Fde dimension nmuni d’une base C, alors l’application L(E, F )→ Mn,p(K)
f7→ Mat
B,Cf
est un isomor-
phisme.
D´emonstration. Exigible.
Remarque 12. Si Eet Fsont deux K-espaces vectoriels de dimension finie, alors dim L(E, F ) = dim E×
dim F.
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