1. Rappels de trigonométrie. Valeurs usuelles. Se reporter au DM6

Lycée A.Maurois
janvier 2011 ANGLES ORIENTES de VECTEURS. TRIGONOMETRIE. 1S2
1. Rappels de trigonométrie. Valeurs usuelles.
Se reporter au DM6 pour les valeurs usuelles.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~
i,~ j)
Définition 1 :le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel on a choisi un sens de parcours positif (en général le
sens anti-horaire ou direct) est appelé cercle trigonométrique.
Soit Ale point du cercle trigonométrique de coordonnées (1; 0) et TAla tangente au cercle trigonométrique en A.
Soit Ile point de TAde coordonnées (1; 1). On munit TAdu repère (A;−→ AI).
Tout point Mde TAa des coordonnées de la forme (1; x) (xest l’abscisse de Msur TA).
•Si xest positif on enroule mentalement la longueur AM le long du cercle dans le sens direct, Arestant fixe. Par
enroulement le point Mva coïncider avec un point unique du cercle trigonométrique qu’on peut appeler M0.
•Si xest négatif, on enroule mentalement la longueur AM le long du cercle dans le sens indirect, Arestant fixe.
Par enroulement le point Mva coïncider avec un point unique du cercle trigonométrique qu’on peut appeler M0.
Considérons alors les vecteurs −−→ OA et −−−→ OM0dans un cas comme dans l’autre.
Définition 2 : le couple (−−→ OA,−−−→ OM0)définit un angle orienté* de vecteurs ( * dans la mesure où l’ordre dans
lequel on écrit les vecteurs a de l’importance).
Définition 3 : on dira que x est une mesure de l’angle orienté de vecteur (−−→ OA,−−−→ OM0)exprimée en radians.
A noter que tout point Nde coordonnées (1;x+k×2π), avec k∈Z, coïncide par enroulement sur le cercle
trigonométrique au même point que M(1;x).
Ainsi x+k×2πest aussi une mesure de (−−→ OA,−−−→ OM0).
Remarque :Deux mesures de l’angle orienté (−−→ OA,−−−→ OM0), exprimées en radians, diffèrent d’un multiple de 2π.
Parmi toutes les mesures ( en radians) d’un même angle orienté (−−→ OA,−−−→ OM0) une seule se situe dans l’intervalle
]−π;+π] et cette mesure est appelée la mesure principale de l’angle orienté. ( Elle a pour valeur absolue la
plus courte distance pour aller de AàM0le long du cercle trigonométrique.)
2. Angle de vecteurs.
Définition 4 : soit ~ u un vecteur non nul du plan, le vecteur ~ U=1
||~ u||~
u est un vecteur colinéaire à ~ u, de même sens
que ~ u et de norme 1. Il sera dit unitaire.
Un représentant de ~ Ud’origine Oa pour extrémité un point Mdu cercle trigonométrique.
Définition 5 : soient deux vecteurs non nuls ~ u et ~ v. On appelle angle orienté des vecteurs ~ u et ~ v le couple (~ u,~ v).
On veut définir les mesures de cet angle orienté de vecteurs.
On commence par construire les vecteurs ~ Uet ~ Vunitaires d’origine O.
Soient M0et N0les points tels que ~ U=−−−→ OM0et ~ V=−−−→ ON0
Définition 6 : soient ~ u et ~ v deux vecteurs non nuls et (~ u,~ v)l’angle orienté formé par ~ u et ~ v. On appelle mesure de
(~ u,~ v)toute mesure de l’angle (~ U,~ V).
Définition 7 : soient M0et N0les points du cercle trigonométrique tels que ~ U=−−−→ OM0et ~ V=−−−→ ON0. La distance
parcourue le long du cercle trigonométrique pour aller de M0vers N0, affectée du signe correspondant au sens du
déplacement, est une mesure de (~ U,~ V)exprimée en radians.
Si αest une mesure de ( ~ U,~ V) on notera d (~ u,~ v)=α.
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Pour dire que toutes les mesures de l’angle diffèrent de αd’un multiple de 2πon écrira d (~ u,~ v)=α[2π] et on lira
“la mesure de l’angle (~ u,~ v) vaut αmodulo 2π.
Exercices : n°16 à 20 p.256-57.
Propriété : soient ~ u,~ vet ~ wtrois vecteurs non nuls, alors on a
(~ u,~ v)=(~ u,~ w)+(~ w,~ v) (relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs)
Ce qui s’exprime aussi en terme de mesure par :
d
(~ u,~ v)=[ (~ u,~ w)+[ (~ w,~ v) [2π].
En particulier avec les notations précédentes on a pour tous vecteurs ~ uet ~ vnon nuls
(~ U,~ V)=(−−−→ OM0,−−→ OA)+(−−→ OA,−−−→ ON0)
Exercice d’application directe : Montrer que pour tous vecteurs ~ u et ~ v non nuls on a :
d
(~ v,~ u)=−d (~ u,~ v) [2π]
[
(~ u,−~ v)=d (~ u,~ v)+π[2π]
[
(~ −u,−~ v)=d (~ u,~ v) [2π]
Exercices n° 35, 36, 40 p. 257-258 et n°41 à 46 p.258.
3. Propriétés des fonctions trigonométriques..
Soit Mun point quelconque du cercle trigonométrique, considérons l’angle (−−→ OA,−−→ OM) ( A(1; 1) comme précédem-
ment) et appelons xune de ses mesures.
On peut “visualiser” les propriétés suivantes : pour tout xréel on a :
Mesures des angles associés Lignes trigonométriques correspondantes.
xet −xcos(x)=cos(−x) et sin(−x)=−sin(x)
xet π−xcos(π−x)=cos(x) et sin(π−x)=sin(x)
xet π+xcos(π+x)=cos(−x) et sin(π+x)=−sin(x)
xet π
2−xcos(π 2−x)=sin(x) et sin(π 2−x)=cos(x)
xet π
2+xcos(π 2+x)=−sin(x) et sin(π 2+x)=cos(x)
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4. Produit scalaire et trigonométrie : formules d’addition.
Le plan est toujours muni d’un repère orthonormé direct (O;−→ i,−→ j), direct signifiant que le sens de parcours choisi
pour orienté le cercle unité est le sens anti-horaire.
Propriété : soient aet bdeux réels, on a cos(a−b)=cos acos b+sin asin b.
Preuve : en exercice.
De cette propriété découlent les suivantes :
cos(a+b)=cos acos b−sin asin b(on remplace bpar −b)
sin(a+b)=sin acos b+cos asin b
sin(a−b)=sin acos b−cos asin b
cos 2a=cos2a−sin2a=2 cos2a−1=1−2 sin2(formule de duplication)
sin 2a=2 sin acos a(formule de duplication)
Exercices : n°48,49 et 50 p. 259.
5. Coordonnées polaires d’un point du plan orienté* .
[*Le plan est toujours muni d’un repère orthonormé direct (O;−→ i,−→ j)]
Soit Mun point du plan différent de l’origine O.
On connaît déjà un moyen de repérer Mdans le plan : ses coordonnées cartésiennes (x;y) pour exprimer le fait que
−−→
OM =x
~
i+y~ j.
Il existe un autre moyen : on va caractériser Mpar deux nombres : la distance r=OM et une mesure θde l’angle
orienté de vecteurs (−−→ OA,−−→ OM) où −−→ OA =~ i.
Définition 8 : le couple noté [r;θ]constitue les cordonnées polaires de M. On dit que θest l’angle polaire de M.
Lien entre cordonnées cartésiennes et coordonnées polaires.
Soient (x;y) les coordonnées cartésiennes de Met [r;θ] ses coordonnées polaires, on a :
x=rcos(θ)
y=rsin(θ)
On a donc aussi r=px2+y2.
Exercices : n°21 à 33 p. 257.
6. Equations trigonométriques.
Dans ce qui suit ket k0désignent des entiers relatifs.
Propriété : Soient xet ydes réels quelconques on a :
cos x=cos y⇐⇒ x=y+2kπou x=−y+2k0π
sin x=sin y⇐⇒ x=y+2kπou x=π−y+2k0π
Ces propriétés se “lisent” sur le cercle trigonométrique et on essaiera toujours de ramener une équation trigonomé-
trique à l’une des équations ci-dessus et cela au moyen des formules des paragraphes 3 et 4.
Cas particulier : adésigne un nombre réel donné, on a :
cos x=a⇐⇒ a∈[−1; 1] et x=±arccos(a)+2kπ
sin x=a⇐⇒ a∈[−1; 1] et x=arcsin(a)+2kπou x=π−arcsin(a)+2k0π
Exercices : Résoudre sur R:cos x=√3/2,cos(2u−3) =√3/2,sin(2u)=cos(u+1) et n°54 à 64 p. 259.
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