#35 Polynômes irréductibles Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Exercice 1. Donner un exemple de polynôme qui n'est pas irréductible sur R et qui n'a pas de racines sur R. Exercice 2. Factorisation sur Exercice 3. Polynôme irréductible sur Exercice 4. Polynômes positifs sur Exercice 5. Lemme de Gauss Exercice 6. Polynômes irréductibles sur Z Exercice 7. Polynômes irréductibles sur Z Exercice 8. Critère d'irréductibilité d'Eisenstein R de Factoriser X 8 + X 4 + 1 sur R. X8 + X4 + 1 Q Démontrer que 1 + (X − 1)2 (X − 3)2 est irréductible dans Q[X]. R Soit E = {P ∈ R[X] tq ∃ Q, R ∈ R[X] tq P = Q2 + R2 }. 1) Montrer que E est stable par multiplication. 2) Montrer que E = {P ∈ R[X] tq ∀ x ∈ R, P (x) ≥ 0}. 3) (Centrale MP 2000, avec Maple) P = 65X 4 − 134X 3 + 190X 2 − 70X + 29. Trouver A et B dans Z[X] tels que P = A2 + B 2 . Soit P ∈ Z[X]. On appelle contenu de P le pgcd des coecients de P (notation : cont(P )). 1) Soient P, Q ∈ Z[X] avec cont(P ) = 1, et R = P Q. Soit p un facteur premier de cont(R). a) Si p est premier avec le coecient constant de P , Démontrer que p divise tous les coecients de Q. b) Si p divise le coecient constant de P , se ramener au cas précédent. c) En déduire que cont(Q) = cont(R). 2) Lorsque cont(P ) 6= 1, trouver cont(P Q). 3) Application : Soit R ∈ Z[X], et P, Q ∈ Q[X] tels que R = P Q. Montrer qu'il existe P1 , Q1 ∈ Z[X] proportionnels à P et Q et tels que R = P1 Q1 . (cad : un polynôme à coecients entiers réductible sur Q est aussi réductible sur Z) Démontrer que X 4 + X + 1 et X 6 + X 2 + 1 sont irréductibles dans Z[X]. Soient a1 , . . . , an ∈ Z distincts. 1) Montrer que (X − a1 ) . . . (X − an ) − 1 est irréductible dans Z[X]. 2) Même question avec (X − a1 ) . . . (X − an ) + 1, n impair. Soit P ∈ Z[X], P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 X 0 et p un nombre premier tel que : a0 ≡ 0 [p], ..., an−1 ≡ 0 [p], a0 6≡ 0 [p2 ]. Montrer que P est irréductible dans Z[X]. Exercice 9. Xp − a Soit K un sous-corps de C, a ∈ K et p ∈ N premier. Montrer que le polynôme X p − a est irréductible sur K si et seulement s'il n'a pas de racine dans K. Indication : si X p −a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants, factoriser P dans C et considérer P (0). Irréductibilité de 14 septembre 2015 1 Thierry Sageaux Polynômes irréductibles Solutions des exercices Exercice 2. √ √ (X 2 − X + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 − X 3 + 1)(X 2 + X 3 + 1). Exercice 3. r√ r√ r√ r√ 2+1 2−1 2+1 2−1 racines : α = 2 + +i , α, β = 2 − −i , β. 2 2 2 2 2 2 2 Factorisation de P sur R : P = (X − 2 Re(α)X + |α| )(X − 2 Re(β)X + |β|2 ) et les facteurs sont irrationnels. Exercice 4. 1) P = |Q + iR|2 . 2) Factoriser P . 1 QQ avec Q = 65X 2 + (49i − 67)X + (42 + 11i) et Q est irréductible sur Q[i]. 65 Donc si P = A2 + B 2 = (A + iB)(A − iB) avec A, B polynômes à coecients entiers alors, quitte à changer B en −B , il existe λ ∈ Q[i] tel que : A + iB = λQ et A − iB = λQ d'où : 3) Avec Maple : P = 2A = 65(λ + λ)X 2 + ((49i − 67)λ − (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ + (42 − 11i)λ) 2iB = 65(λ − λ)X 2 + ((49i − 67)λ + (49i + 67)λ)X + ((42 + 11i)λ − (42 − 11i)λ) λλ = 65. En particulier 65λ ∈ Z[i], écrivons λ = u + iv avec u, v ∈ Z : 65 67u + 49v 42u − 11v X+ 65 65 11u + 42v 49u − 67v X+ B = vX 2 + 65 65 A = uX 2 − u2 + v 2 = 65. 67u + 49v est divisible par 65 si et seulement si u ≡ 8v [65] et dans ce cas les autres numérateurs sont aussi multiples de 65. La condition u2 + v 2 = 65 donne alors v = ±1, u = ±8 d'où : A = ±(8X 2 − 9X + 5), B = ±(X 2 + 5X + 2). Exercice 7. 1) Si P = QR alors Q(ai )R(ai ) = −1 ⇒ Q(ai ) = −R(ai ) = ±1, donc Q + R a n racines, donc est nul, et P = −Q2 : contradiction pour x → ∞. 2) Même raisonnement : P = Q2 , donc Q2 − 1 = (Q − 1)(Q + 1) = (X − a1 ) . . . (X − an ). On répartit les facteurs entre Q − 1 et Q + 1 : n = 2p, contradiction. Exercice 8. Soit P = QR avec Q = X n1 + bn1 −1 X n1 −1 + · · · + b0 X 0 et R = X n2 + cn2 −1 X n2 −1 + · · · + c0 X 0 . Par hypothèse sur a0 = b0 c0 , p divise un et un seul des entiers b0 , c0 . Supposons que p divise b0 , b1 , . . . , bk−1 : alors ak ≡ bk c0 [p] donc p divise bk . On aboutit à p divise le coecient dominant de Q , ce qui est absurde. 2 Thierry Sageaux Polynômes irréductibles Exercice 9. On suppose a 6= 0 et X p − a = P Q avec P, Q ∈ K[X] unitaires non constants. Soit n = deg(P ) ∈ [[1, p − 1]] et b = (−1)n P (0) ∈ K. b est le produit de cetraines p-èmes de a, donc bp = an . De plus n ∧ p = 1 ; soit nu + pv = 1 une relation de Bézout. On a alors bpu = anu = a1−pv d'où a = (bu /av )p donc bu /av ∈ K est racine de X p − a. 3 Thierry Sageaux