examen

UPVM / SCIENCES / ESEU-B
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I) Equations:
1) Quel nombre réel x faut-il ajouter au numérateur et retrancher au dénominateur de la fraction
4/3 pour obtenir une fraction égale au carré de la première ?
Réponse: (4+x) / (3-x) = 16 / 9 soit: 9 (4+x) = 16 (3 - x) et en effectuant: 36 + 9 x = 48 - 16 x ,
d'où x= 12 / 25
2) On augmente de x unités la longueur d'un carré de côté 4, et l'aire augmente alors de 9
unités d'aire. Quelle était la longueur x ajoutée ?
Réponse: (4+x)2 = 16+9 = 52, d'où: 4+x = 5, soit: x = 1.
3) On augmente de 10% la longueur d'un carré. Quel est le pourcentage d'augmentation de
l'aire ?
Réponse: x2 (1+0.1)2 = 1.21 x2 , soit donc: 21%.
7) En augmentant de 3 cm le rayon d'un disque, on observe que son aire augmente alors de
69%.
i) Combien mesurait le rayon du disque initial?
ii) De combien le rayon aurait-il dû être augmenté pour que l'aire double?
II) Géométrie et fonctions :
1) Dans le plan repèré par les axes orthonormés (Ox,Oy), on porte les points A(2,0) et B(0,1) et
le point C formant un rectangle avec OAB.
a) Dessiner la figure en rajoutant le point M(4,0) et la droite MC qui coupe l'axe Oy en N.
Déterminer l'ordonnée u de N et l'aire s du triangle OMN.
b) On donne maintenant à M une abscisse variable t sur l'axe Ox., et on construit N comme ci-
dessus en a). Calculer l'ordonnée u de N en fonction de t, et l'aire s du triangle OMN.
N.B. pour cette aire notée s(t) , on trouvera: t2 / 2(t-2)
c) étudier les variations de la fonction s(t), et tracer la courbe représentative sur une figure à
part, dans un repère d'axes (Ot,Os).
2) Dans le repère orthonormé (Oxy) du plan on porte les points A(4,0) et B(0,3) ainsi que la
droite (D) passant par A et B.
On mène par O la perpendiculaire ( ) à (D), qui coupe cette dernière en un point H.
a) dessiner la figure,

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b) calculer les coordonnées de H, et la distance OH
c) calculer les coordonnées du symétrique K de H par rapport à (D).
N.B. on trouvera K(72/25, 96/25).
c) Déterminer le point L tel que ALKB soit un parallélogramme, et calculer la longueur des
côtés.