Chapitre 20 Ensembles finis

Chapitre 20 Ensembles nis
I - Ensembles nis
I.1 - Dénitions
Définition 1 (Ensemble fini).
L'ensemble E est un ensemble
bijective f : J1, nK → E .
ni si E = ∅ ou s'il existe un entier n ∈ N? et une application
Exercice 1.
1. Donner des exemples d'ensembles nis.
2. Montrer que si E est un ensemble ni et F est en bijection avec E , alors F est un ensemble
ni.
Lemme 1.
Soient p, q ∈ N? . Il existe une bijection de J1, pK dans J1, qK si et seulement si p = q .
Définition 2 (Cardinal).
Soit E un ensemble non vide et p, q ∈ N? . On suppose que E est en bijection avec J1, pK et J1, qK.
Alors, p = q . Cette valeur commune est appelée cardinal de E et est notée Card(E) = |E| = ]E .
Par convention, |∅| = 0.
Exercice 2.
1. Soient k, n ∈ N? tels que k 6 n. Déterminer le cardinal de J1, nK puis de Jk, nK.
2. Montrer que tout ensemble en bijection avec un ensemble ni de cardinal n est ni et de
cardinal n.
I.2 - Ensembles et cardinaux
E et F désignent deux ensembles nis.
Lemme 2.
Si x ∈ E , alors E\{x} est un ensemble ni et |E\{x}| = |E| − 1.
Théorème 1 (Sous-ensemble).
Si F ⊂ E , alors F est un ensemble ni et |F | 6 |E|. De plus, |F | = |E| si et seulement si
F = E.
Exercice 3. Montrer que N n'est pas un ensemble de cardinal ni.
Lemme 3.
Soit f ∈ F (E, F ).
(i). Si f est injective et F est ni, alors E est ni et |E| 6 |F |.
(ii). Si f est surjective et E est ni, alors F est ni et |F | 6 |E|.
Théorème 2 (Caractérisation des bijections).
Soient E, F deux ensembles nis tels que |E| = |F | et f ∈ F (E, F ). Les assertions suivantes
sont équivalentes.
(i). f est injective.
Stanislas
(ii). f est surjective.
(iii). f est bijective.
A. Camanes
Chapitre 20. Ensembles nis
MPSI 1
Corollaire 3 (Principe de Dirichlet).
Soient E, F deux ensembles nis tels que |E| > |F | et f ∈ F (E, F ). Alors, f n'est pas
injective.
Exercice 4. Montrer que pour tout réel x et tout entier naturel N > 2, il existe (p, q) ∈ Q2 tel
que
x − p 6 1 .
q qN
I.3 - Parties de N
Théorème 4 (Caractérisation des parties finies de N).
Une partie de N est nie si et seulement si elle est majorée.
Théorème 5.
Soit P ⊂ N un ensemble de cardinal n non nul. Il existe une unique bijection strictement
croissante de J1, nK sur P .
II - Dénombrement
Soient E, F deux ensembles nis.
II.1 - Opérations sur les ensembles nis
Propriété 1 (Partition).
Si E et F sont deux ensembles disjoints, alors E ∪ F est ni et |E ∪ F | = |E| + |F |.
Exercice 5. Soit n ∈ N? .
1. Soit A ⊂ E . Montrer que |cA| = |E| − |A|.
2. Si (Ak )k∈J1,nK forme une partition de E , montrer que |
n
S
Ak | =
k=1
n
P
|Ak |.
k=1
Propriété 2 (Réunion).
Soient A, B ⊂ E . Alors, A ∪ B est un ensemble ni et |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Exercice 6. (Formule du crible / de Poincaré) Soient n ∈ N?
de E . Montrer que
n
n
[
X
X
Ak =
(−1)k+1
k=1
k=1
et (Ai )i∈J1,nK une famille de parties
k
\
Aij .
16i1 <···<ik 6n j=1
Propriété 3 (Produit cartésien).
E × F est un ensemble ni et |E × F | = |E| · |F |.
Théorème 6 (Lemme des bergers).
Soit p un entier naturel non nul, E et F deux ensembles nis et f : E → F . On suppose que
pour tout y ∈ F , |f −1 ({y})| = p. Alors, |E| = p|F |.
Exercice 7. Soit (n, p) ∈ (N? )2 .
1. Déterminer le nombre de couples (x, y) de J1, nK2 tels que x 6= y .
2. Soit E un alphabet contenant p lettres. Déterminer le nombre de mots de n lettres pouvant
être formés avec l'alphabet E qui ne contiennent jamais deux lettres consécutives identiques.
Propriété 4 (Applications).
F (E, F ) est un ensemble ni et |F E | = |F ||E| .
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 20. Ensembles nis
MPSI 1
Exercice 8. Soit n ∈ N? .
1. Déterminer le nombre d'applications de J1, nK dans J1, nK.
2. Déterminer le nombre de façons de tirer successivement 5 boules avec remise dans une urne
contenant n boules numérotées.
3. Déterminer le nombre de mots de 5 lettres pouvant être construits avec un alphabet constitué
des lettres du mot KAYAK.
Corollaire 7.
|P(E)| = 2|E| .
II.2 - Arrangements
Définition 3 (Arrangements).
Soit E un ensemble ni de cardinal n et p un entier naturel. Un arrangement de longueur p
d'éléments de E est une p-liste d'éléments de E deux à deux distincts. On note Apn le nombre
d'arrangements de E de longueur p.
Propriété 5.
Pour tous n, p ∈ N,
(
Apn =
n!
(n−p)!
0
si p 6 n
sinon.
Exercice 9. Soit n ∈ N? . Déterminer le nombre de façons de tirer successivement 5 boules sans
remise dans une urne contenant n boules numérotées.
Théorème 8.
Soient E un ensemble de cardinal p et F un ensemble de cardinal n.
(i). Il y a Apn injections de E dans F .
(ii). Si p = n, il y a n! bijections de E dans F . Les bijections de E sont appelées des
permutations .
II.3 - Combinaisons
Définition 4 (Combinaisons).
Soit E un ensemble ni de cardinal n et p un entier
naturel. Une combinaison de p éléments
n
de E est une partie de E de cardinal p. On note p le nombre de combinaisons de p éléments
de E .
Propriété 6.
n
p
Pour tous n, p ∈ N,
=
Apn
p! .
Exercice 10.
1. Soit n ∈ N? . Déterminer le nombre de façons de tirer simultanément 5 boules sans remise dans
une urne contenant n boules numérotées.
2. Déterminer le nombre d'anagrammes du mot KAYAK.
Théorème 9.
(i). ∀ n, p ∈ N,
n
p
(ii). ∀ n, p ∈ N? , p
=
n
p
n
n−p
=n
.
n−1
p−1
.
(iii). ∀ p ∈ N? , n ∈ N, p np = (n − p + 1)
n
P
n
n
(iv). ∀ n ∈ N,
k =2 .
n
p−1
.
k=0
Stanislas
A. Camanes
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MPSI 1
(v). Triangle de Pascal. ∀ n, p ∈ N? ,
n
p
=
n−1
p−1
+
n−1
p
.
n
P
(vi). Binôme de Newton. ∀ x, y ∈ R, n ∈ N? , (x + y)n =
p=0
n
p
xp y n−p .
III - Groupe symétrique
III.1 - Éléments du groupe symétrique
Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul.
Définition 5 (Groupe symétrique).
Le groupe symétrique , noté Sn , est l'ensemble des permutations de J1, nK. (Sn , ◦) est un groupe
de cardinal n!. Si n > 3, ce groupe est non commutatif.
Notation.
Soit σ ∈ Sn . On note σ =
1
2
···
n
.
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
Exercice 11. Décrire l'ensemble des éléments de S2 , S3 et S4 .
Définition 6 (Transposition).
Une transposition de Sn est une permutation θ telle qu'il existe i, j ∈ J1, nK satisfaisant
i 6= j, θ(i) = j et θ(j) = i et pour tout entier k diérent de i, j , θ(k) = k . On note θ = (i, j).
Exercice 12. Déterminer les transpositions de S3 .
Propriété 7.
Les transpositions sont des applications involutives.
Définition 7 (Cycle).
Soient p > 2 et A = {a1 , . . . , ap } ⊂ J1, nK. Soit σ la permutation dénie par σ(x) = x, ∀ x 6∈ A
et σ(ai ) = ai+1 , ∀ i ∈ J1, p − 1K, σ(ap ) = a1 . σ est appelé cycle de longueur p de support A.
On note σ = (a1 , · · · , ap ).
Exercice 13. (Ordre d’un cycle)
1. Déterminer les cycles de S3 .
2. Soit c un cycle de longueur p. Montrer que min{i ∈ J1, nK ; ci = IdJ1,nK } = p.
Propriété 8.
Montrer que si c et c0 sont deux cycles à support disjoints de Sn , alors c et c0 commutent.
III.2 - Décompositions
Lemme 4.
Soit n > 2 et ϕ : Sn−1 → Sn , σ 7→ σ(1) σ(2) . . . σ(n − 1) n . ϕ est un morphisme de
groupes et ϕ(Sn−1 ) = {σ ∈ Sn ; σ(n) = n}.
Théorème 10 (Décomposition).
Toute permutation de Sn se décompose en produit de transpositions.
Exercice 14. Soit c un cycle. Donner une décomposition de c en produit de transpositions.
Définition 8 (Orbite).
Soit σ ∈ Sn et x ∈ J1, nK. L'orbite de x est l'ensemble {σ p (x), p ∈ N}.
Stanislas
A. Camanes
Chapitre 20. Ensembles nis
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Exercice 15.
1 2 3 4 5 6
1. Soit σ =
. Déterminer l'orbite de chacun des entiers de J1, 6K.
5 2 1 6 3 4
2. Montrer qu'il existe un entier p ∈ J1, nK tel que l'orbite de k soit {σ ` (k), ` ∈ J0, p − 1K}.
Propriété 9.
Soit σ ∈ Sn . Les orbites de σ forment une partition de J1, nK. On notera o(σ) le nombre
d'orbites de σ .
Théorème 11.
Toute permutation se décompose comme un produit de cycles à supports disjoints. Cette
décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Exercice 16. Décomposer la permutation σ =
en produit de
3 10 2 4 7 9 8 5 6 1
cycles à supports disjoints.
III.3 - Signature d'une permutation
Définition 9 (Signature).
Soit σ ∈ Sn . La signature de σ , notée ε(σ), est le nombre (−1)n−o(σ) .
Exercice 17. Soit θ une transposition de Sn . Déterminer la signature de θ.
Théorème 12 (Morphisme).
L'application ε est un morphisme du groupe (Sn , ◦) dans le groupe ({−1, 1}, ×).
Exercice 18. (Inversions) Soit σ ∈ Sn . Le nombre d'inversions de σ , noté I(σ), est le cardinal de
Q σ(i)−σ(j)
= (−1)I(σ) .
{(i, j) ; i < j et σ(j) < σ(i)}. Montrer que ε(σ) =
i−j
{i,j}, i6=j
Corollaire 13.
Le nombre de transpositions dans la décomposition d'une permutation est de parité constante.
Exercice 19. (Groupe alterné) L'ensemble An = Ker(ε) est le
groupe alterné d'ordre n.
1. Montrer que An est un groupe.
2. Soit n > 2. Montrer que |An | =
Stanislas
n!
2.
A. Camanes