Chapitre 20 Ensembles finis

Définition 1 (Ensemble fini)
E E =∅n∈N?
f:J1, nK→E
Exercice 1.
1.
2. E F E F
Lemme 1
p, q ∈N?J1, pK J1, qKp=q
Définition 2 (Cardinal)
E p, q ∈N?EJ1, pK J1, qK
p=q E Card(E) = |E|=]E
|∅| = 0
Exercice 2.
1. k, n ∈N?k6nJ1, nK Jk, nK
2. n
n
E F
Lemme 2
x∈E E\{x} |E\{x}| =|E| − 1
Théorème 1 (Sous-ensemble)
F⊂E F |F|6|E| |F|=|E|
F=E
Exercice 3. N
Lemme 3
f∈F(E, F )
(i)f F E |E|6|F|
(ii)f E F |F|6|E|
Théorème 2 (Caractérisation des bijections)
E, F |E|=|F|f∈F(E, F )
(i)f(ii)f(iii)f

Corollaire 3 (Principe de Dirichlet)
E, F |E|>|F|f∈F(E, F )f
Exercice 4. x N >2 (p, q)∈Q2
x−p
q61 qN .
N
Théorème 4 (Caractérisation des parties finies de N)
N
Théorème 5
P⊂Nn
J1, nKP
E, F
Propriété 1 (Partition)
E F E ∪F|E∪F|=|E|+|F|
Exercice 5. n∈N?
1. A⊂E|c A|=|E|−|A|
2. (Ak)k∈J1,nKE|n
S
k=1
Ak|=
n
P
k=1 |Ak|
Propriété 2 (Réunion)
A, B ⊂E A ∪B|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|
Exercice 6. (Formule du crible / de Poincaré) n∈N?(Ai)i∈J1,nK
E
n
[
k=1
Ak=
n
X
k=1
(−1)k+1 X
16i1<···<ik6n
k
\
j=1
Aij.
Propriété 3 (Produit cartésien)
E×F|E×F|=|E|·|F|
Théorème 6 (Lemme des bergers)
p E F f :E→F
y∈F|f−1({y})|=p|E|=p|F|
Exercice 7. (n, p)∈(N?)2
1. (x, y)J1, nK2x6=y
2. E p n
E
Propriété 4 (Applications)
F(E, F )|FE|=|F||E|

Exercice 8. n∈N?
1. J1, nK J1, nK
2. 5
n
3. 5
Corollaire 7
|P(E)|= 2|E|
Définition 3 (Arrangements)
E n p p
E p E Ap
n
E p
Propriété 5
n, p ∈N
Ap
n=(n!
(n−p)! p6n
0
Exercice 9. n∈N?5
n
Théorème 8
E p F n
(i)Ap
nE F
(ii)p=n n!E F E
Définition 4 (Combinaisons)
E n p p
E E p n
pp
E
Propriété 6
n, p ∈Nn
p=Ap
n
p!
Exercice 10.
1. n∈N?5
n
2.
Théorème 9
(i)∀n, p ∈N,n
p=n n−p
(ii)∀n, p ∈N?, pn
p=nn−1 p−1
(iii)∀p∈N?, n ∈N, pn
p= (n−p+ 1)n p−1
(iv)∀n∈N,
n
P
k=0 n
k= 2n

(v)Triangle de Pascal. ∀n, p ∈N?,n
p=n−1 p−1+n−1 p
(vi)Binôme de Newton. ∀x, y ∈R, n ∈N?,(x+y)n=
n
P
p=0 n
pxpyn−p
n
Définition 5 (Groupe symétrique)
SnJ1, nK(Sn,◦)
n!n>3
Notation.
σ∈Snσ=1 2 ··· n
σ(1) σ(2) ··· σ(n)
Exercice 11. S2S3S4
Définition 6 (Transposition)
Snθ i, j ∈J1, nK
i6=j, θ(i) = j θ(j) = i k i, j θ(k) = k θ = (i, j)
Exercice 12. S3
Propriété 7
Définition 7 (Cycle)
p>2A={a1, . . . , ap} ⊂ J1, nKσ σ(x) = x, ∀x6∈ A
σ(ai) = ai+1,∀i∈J1, p −1K, σ(ap) = a1σ p A
σ= (a1,··· , ap)
Exercice 13. (Ordre d’un cycle)
1. S3
2. c p min{i∈J1, nK;ci= IdJ1,nK}=p
Propriété 8
c c0Snc c0
Lemme 4
n>2ϕ:Sn−1→Sn, σ 7→ σ(1) σ(2) . . . σ(n−1) nϕ
ϕ(Sn−1) = {σ∈Sn;σ(n) = n}
Théorème 10 (Décomposition)
Sn
Exercice 14. c c
Définition 8 (Orbite)
σ∈Snx∈J1, nKx{σp(x), p ∈N}

Exercice 15.
1. σ=123456
521634J1,6K
2. p∈J1, nKk{σ`(k), ` ∈J0, p −1K}
Propriété 9
σ∈SnσJ1, nKo(σ)
σ
Théorème 11
Exercice 16. σ=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3102479856 1
Définition 9 (Signature)
σ∈Snσ ε(σ) (−1)n−o(σ)
Exercice 17. θSnθ
Théorème 12 (Morphisme)
ε(Sn,◦) ({−1,1},×)
Exercice 18. (Inversions) σ∈Snσ I(σ)
{(i, j) ; i < j σ(j)< σ(i)}ε(σ) = Q
{i,j}, i6=j
σ(i)−σ(j)
i−j= (−1)I(σ)
Corollaire 13
Exercice 19. (Groupe alterné) An= Ker(ε)n
1. An
2. n>2|An|=n!
2