Programme - CPGE Brizeux

Lycée Brizeux – 2015/2016
Mathématiques – PCSI B
Programme de colle : semaine 17 (du 29 février au 4 mars 2016)
L IMITES ET CONTINUITÉ
1. Limite d’une fonction
(a) Limite finie ou infinie en un point a appartenant à I ou extrémité de I .
(b) Limite finie ou infinie d’une fonction en ±∞.
(c) Limite à gauche/à droite ; limite en a lorsque la fonction est définie sur I \ {a}.
(d) Opérations sur les fonctions admettant une limite finie ou infinie ; composition ; limite
d’une suite de la forme f ((u n ))n .
(e) Unicité de la limite. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Si f admet une
limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a.
(f) Théorèmes d’encadrement (limite finie), de minoration (limite +∞) et de majoration (limite −∞). Théorème de la limite monotone.
2. Continuité en un point/ sur un intervalle
(a) La fonction f est continue en a si et seulement si elle admet une limite finie en a et celle-ci
vaut nécéessairement f (a). Continuité à droite et à gauche.
(b) Prolongement par continuité en un point
(c) Opérations : combinaisons linéaires, produit, quotient, composition.
(d) Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un intervalle par une fonction continue.
(e) Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
(f) Théorème de la bijection continue : toute fonction f continue et strictement monotone
sur un intervalle I réalise une bijection de I sur l’intervalle f (I ), et sa réciproque est continue et strictement monotone sur l’intervalle f (I ), et de même monotonie que f . De plus
on peu décrire l’intervalle f (I ).
E NSEMBLES FINIS – D ÉNOMBREMENTS
Remarques sur le programme de ce chapitre : Toute formalisation excessive est exclue. L’utilisation
systématique de bijections dans les problèmes de dénombrement n’est pas un attendu du programme.
1. Cardinal d’un ensemble fini
(a) Cardinal d’un ensemble fini. Notation Card(A).
(b) Opérations sur les cardinaux : union disjointe ou quelconque de deux ensembles finis,
complémentaire et produit cartésien.
(c) Parties d’un ensemble fini : Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité. Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
(d) Applications entre ensembles finis : Une application entre deux ensembles finis de même
cardinal est bijective, si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjective. Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini.
2. Listes et combinaisons
(a) Nombre de p-listes (ou p-uplets) d’éléments d’un ensemble de cardinal n.
(b) Nombre de p-listes d’éléments distincts (ou p-listes sans répétition, ou encore p-arrangements)
d’un ensemble de cardinal n. Nombre d’applications injectives d’un ensemble de cardinal
p dans un ensemble de cardinal n.
(c) Nombre de permutations d’un ensemble de cardinal n.
(d) Nombre de parties à p éléments (ou p-combinaisons) d’un ensemble de cardinal n.
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Mathématiques – PCSI B
D ÉRIVATION
1. Dérivabilité, fonction dérivée
(a) Dérivabilité en un point, nombre dérivé
(b) Dérivée à gauche/droite
(c) Caractérisation de la dérivabilité par l’approximation affine tangente
(d) Dérivabilité en x 0 implique continuité en x 0
(e) Opérations algébriques et composition, dérivabilité de la fonction réciproque d’une bijection
(f) Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
2. Dérivée et extremum
(a) Définition de maximum/minimum/extremum local ou global
(b) Condition nécessaire d’extremum local en un point intérieur pour une fonction dérivable
3. Les accroissements finis
(a) Théorème de Rolle
(b) Théorème des accroissements finis
(c) Inégalité des accroissements finis
(d) Applications des accroissements finis : variations d’une fonction dérivable ; prolongement
de la dérivée.
Questions de cours :
• Toute définition ou tout énoncé d’une proposition ou d’un théorème figurant dans le programme ci-dessus.
• Unicité de la limite réelle d’une fonction en un réel a.
• Si f est continue et réalise une bijection de l’intervalle I dans f (I ), alors la fonction réciproque
est continue sur f (I ) (partie du théorème de la bijection continue - démonstration faite dans le
cas où f est strictement croissante).
• Cardinal de l’ensemble des parties de E .
• Formule de Pascal, avec une preuve combinatoire.
• La dérivabilité implique la continuité.
• Théorème de Rolle.
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