Programme - CPGE Brizeux

Lycée Brizeux – 2015/2016 Mathématiques – PCSI B
Programme de colle : semaine 17 (du 29 février au 4 mars 2016)
LIMITES ET CONTINUITÉ
1. Limite d’une fonction
(a) Limite finie ou infinie en un point aappartenant à Iou extrémité de I.
(b) Limite finie ou infinie d’une fonction en ±∞.
(c) Limite à gauche/à droite ; limite en alorsque la fonction est définie sur I\ {a}.
(d) Opérations sur les fonctions admettant une limite finie ou infinie ; composition ; limite
d’une suite de la forme f((un))n.
(e) Unicité de la limite. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Si fadmet une
limite finie en aalors fest bornée au voisinage de a.
(f) Théorèmes d’encadrement (limite finie), de minoration (limite +∞) et de majoration (li-
mite −∞). Théorème de la limite monotone.
2. Continuité en un point/ sur un intervalle
(a) La fonction fest continue en asi et seulement si elle admet une limite finie en aet celle-ci
vaut nécéessairement f(a). Continuité à droite et à gauche.
(b) Prolongement par continuité en un point
(c) Opérations : combinaisons linéaires, produit, quotient, composition.
(d) Théorème des valeurs intermédiaires. Image d’un intervalle par une fonction continue.
(e) Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
(f) Théorème de la bijection continue : toute fonction fcontinue et strictement monotone
sur un intervalle Iréalise une bijection de Isur l’intervalle f(I), et sa réciproque est conti-
nue et strictement monotone sur l’intervalle f(I), et de même monotonie que f. De plus
on peu décrire l’intervalle f(I).
ENSEMBLES FINIS – DÉNOMBREMENTS
Remarques sur le programme de ce chapitre : Toute formalisation excessive est exclue. L’utilisation
systématique de bijections dans les problèmes de dénombrement n’est pas un attendu du programme.
1. Cardinal d’un ensemble fini
(a) Cardinal d’un ensemble fini. Notation Card(A).
(b) Opérations sur les cardinaux : union disjointe ou quelconque de deux ensembles finis,
complémentaire et produit cartésien.
(c) Parties d’un ensemble fini : Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’égalité. Cardi-
nal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.
(d) Applications entre ensembles finis : Une application entre deux ensembles finis de même
cardinal est bijective, si et seulement si elle est injective, si et seulement si elle est surjec-
tive. Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini.
2. Listes et combinaisons
(a) Nombre de p-listes (ou p-uplets) d’éléments d’un ensemble de cardinal n.
(b) Nombre de p-listes d’éléments distincts (ou p-listes sans répétition, ou encore p-arrangements)
d’un ensemble de cardinal n. Nombre d’applications injectives d’un ensemble de cardinal
pdans un ensemble de cardinal n.
(c) Nombre de permutations d’un ensemble de cardinal n.
(d) Nombre de parties à péléments (ou p-combinaisons) d’un ensemble de cardinal n.
1

Lycée Brizeux – 2015/2016 Mathématiques – PCSI B
DÉRIVATION
1. Dérivabilité, fonction dérivée
(a) Dérivabilité en un point, nombre dérivé
(b) Dérivée à gauche/droite
(c) Caractérisation de la dérivabilité par l’approximation affine tangente
(d) Dérivabilité en x0implique continuité en x0
(e) Opérations algébriques et composition, dérivabilité de la fonction réciproque d’une bijec-
tion
(f) Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée
2. Dérivée et extremum
(a) Définition de maximum/minimum/extremum local ou global
(b) Condition nécessaire d’extremum local en un point intérieur pour une fonction dérivable
3. Les accroissements finis
(a) Théorème de Rolle
(b) Théorème des accroissements finis
(c) Inégalité des accroissements finis
(d) Applications des accroissements finis : variations d’une fonction dérivable ; prolongement
de la dérivée.
Questions de cours :
•Toute définition ou tout énoncé d’une proposition ou d’un théorème figurant dans le pro-
gramme ci-dessus.
•Unicité de la limite réelle d’une fonction en un réel a.
•Si fest continue et réalise une bijection de l’intervalle Idans f(I), alors la fonction réciproque
est continue sur f(I) (partie du théorème de la bijection continue - démonstration faite dans le
cas où fest strictement croissante).
•Cardinal de l’ensemble des parties de E.
•Formule de Pascal, avec une preuve combinatoire.
•La dérivabilité implique la continuité.
•Théorème de Rolle.
2