V3 Le Raisonnement par l`absurde: Le but est de démontrer que le

V3 Le Raisonnement par l’absurde:
Le but est de démontrer que le prédicat A est un
théorème.
Définition:
Le raisonnement par l’absurde consiste à introduire
le prédicat A tel que A ⇒ B où B est un théorème
connu.
En effet, par contraposition:
A⇒B ⇔ B⇒A
48
Remarque:
Le théorème B est à découvrir de manière intuitive.
Exemples:
• Soit pour x ∈ R, A(x) : x 2 + 1 ≠ 0
Démontrons par l’absurde que A(x) est un théorème.
∃x ∈ R tq A(x)
⇒ ..... ⇒ ......
⇒B
où B: "-1 n'a pas de racine réelle"
49
•Montrer que
∀x ∈ R \ {− 2},
x +1
≠1
x+2
•Exercice des tiroirs
Démontrer par l’absurde que si vous rangez (n + 1) paires
de chaussettes dans n tiroirs distincts, alors il y a au moins
un tiroir contenant 2 paires de chaussettes.
50
CHAPITRE 2
LES ENSEMBLES
51
I ENSEMBLE, APPARTENANCE
La notion d’ensemble est une notion intuitive,
cependant voici quelques règles concernant
les ensembles.
52
Règles sur les ensembles
Un ensemble E est une collection d’objets, appelés éléments
de E. Cette collection vérifiera deux propositions:
« a ∈ E » ou « a appartient à E » est une
proposition, pour tout objet a.
On ne peut écrire a ∈ a ou E ∈ E , un même être
mathématique ne peut être à la fois élément et ensemble
auquel il appartient.
Un ensemble peut cependant être élément d’un autre
ensemble!
53
Exemples d’ensemble:
Nous connaissons déjà:
L’ensemble des entiers naturels N
L’ensemble des entiers relatifs Z
L’ensemble des décimaux D
L’ensemble des nombres rationnels Q
L’ensemble des nombres réels R
L’ensemble des nombres complexes C
54
Les ensembles usuels de variables
Alphabet : de alpha et bêta les deux premières lettres de
l’alphabet grec.
L’alphabet latin en minuscules : a b c d etc.
L’alphabet latin en majuscules : A B C D etc.
L’alphabet grec en minuscules : α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ
µνξοπρςστυφχψω
L’alphabet grec en majuscules :Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ
ΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
Les plus utilisés
55
D’autres exemples d’ensemble:
E = {1, 2, 3} ensemble défini en extension
E = {n ∈ N t.q 1≤ n≤ 3 }
E est le même ensemble défini en compréhension
à l’aide d’un prédicat défini sur N, 1≤ n≤ 3 .
56
Définition :
Egalité d’ensembles
Deux ensembles E et F sont égaux s’ ils sont
constitués des mêmes éléments.
Pour tout objet a
a∈ E⇔ a∈F est vraie
57
Définition:
Ensemble fini, ensemble vide
1. Un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini
d’éléments. On peut dire aussi qu’il est en bijection avec
{1,2,….,n} où n est un entier naturel.
Exemple d’ensemble fini: L’ensemble des lettres de « logique »
Exemples d’ensemble infini: N, Z, Q, R, C , [0 ,2[ , l’ensemble
des points d’un cercle.
2. L’ensemble qui ne possède aucun élément est l’ensemble vide
noté φ = x ∈ E t.q P(x)
Où P est un théorème défini sur E, E ensemble donné.
ou
φ = x ∈ R tel que x 2 < 0
ou encore
φ = {x x est une consonne du mot oui}
{
{
}
}
58
II ENSEMBLE DES PARTIES D’UN
ENSEMBLE
II1. Inclusion:
Soient E et F, 2 ensembles donnés, F est un sousensemble de E si:
tout élément de F est élément de E
notation : F ⊂ E
De plus:
F ⊂ E ⇔ {pour tout objet x, x ∈ F ⇒ x ∈ E}
59
Remarques:
1.Lorsque F ⊂ E et F ≠ E
l’inclusion est stricte et F ⊆ E
2. F ⊂ E signifie l’inclusion « au sens large » et
peut donc signifier F = E
3. Un sous-ensemble de E est aussi appelé une
partie de E
Une partie non vide et distincte de E est
appelée
partie propre de E
60
EXERCICES
(travail personnel à rendre suivant les indications données en cours)
Utiliser l’algèbre des propositions pour démontrer
les résultats suivants:
1.L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble
2.E = F ⇔ E ⊂ F ∧ F ⊂ E
3. E ⊂ E
4. E ⊂ F ∧ F ⊂ G ⇒ E ⊂ G
61