Théorie des Nombres - TD8 Entiers algébriques - IMJ-PRG

Universit´ e Pierre & Marie Curie Master de math´ ematiques 1
Ann´ ee 2011-2012 Module MM020
Th´eorie des Nombres - TD8
Entiers alg´ebriques, anneaux d’entiers
Exercice 1 :
a) Parmi ces nombres alg´ebriques, lesquels sont des entiers alg´ebriques ?
3+2√6
1−√6,√3 + √5
2,√3 + √7 2,1 + 3
√10 + 3 √100
3,1 + √19 2,1 + i
√2.
b) Si a, b ∈Z\{0; 1}sont des entiers distincts sans facteur carr´e, et si n∈N∗, trouver une condition
n´ecessaire et suffisante pour que √a+√b
nsoit un entier alg´ebrique.
Exercice 2 : Soit une unit´e d’un corps quadratique. Montrer que est de norme 1 si et seulement
si il existe un entier γde ce corps quadratique tel que =γ
γ0, o`u γ0est le conjugu´e de γ.
Exercice 3 : Soit z∈C∗un entier alg´ebrique. On note f∈Q[X] son polynˆome minimal.
Montrer que 1
zest un entier alg´ebrique si et seulement si f(0) = ±1. Montrer ´egalement que cela
´equivaut `a 1
z∈Z[z].
Exercice 4 : Soit αun entier alg´ebrique.
a) On suppose que tous les conjugu´es de αsont de module strictement inf´erieur `a 1. Montrer que
α= 0.
b) On suppose maintenant que les conjugu´es de αsont de module inf´erieur ou ´egal `a 1. Montrer
que αest une racine de l’unit´e.
[Indication : on pourra majorer la valeur absolue des coefficients du polynˆome minimal de αr,
pour tout r≥1.]
Exercice 5 : Soit P∈Z[X] un polynˆome irr´eductible unitaire de degr´e n. Soit θune racine de P,
K:= Q(θ) et DKle discriminant de K.
a) Montrer que le discriminant de (1, θ, . . . , θn−1) est ´egal au discriminant D(P) de P. Exprimer
ce nombre en fonction de la norme NK/Q(P0(θ)).
b) Si fd´esigne l’indice de Z[θ] dans ZK, montrer que D(P) = f2DK.
Exercice 6 : Montrer que le discriminant du polynˆome P(X) = Xn+aX +b, avec a, b ∈Q, vaut
D(P) = (−1)n(n−1)
2(nnbn−1+ (1 −n)n−1an). V´erifier que l’on retrouve les formules usuelles pour n= 2
et n= 3.
[Indication : on pourra ´ecrire que D(P) = (−1)n(n−1)
2QiP0(xi), o`u les xisont les racines de P, puis
utiliser les fonctions sym´etriques ´el´ementaires en les x−1
i].
Exercice 7 : Calculer l’anneau des entiers et le discriminant des corps de nombres suivants :
a) Q(3
√5).
b) Q(3
√175).
c) Q(i, √2).
Exercice 8 : Soient m, n ∈Z\ {0; 1}distincts sans facteur carr´e. On note K:= Q(√m, √n) et
k:= mn
pgcd(m,n)2. L’objectif de cet exercice est de calculer ZK.
1

a) Montrer que (1,√m, √n, √k) est une Q-base de K.
b) Soit α∈K. Montrer que α∈ZKsi et seulement si TrK/Q(√m)(α) et NK/Q(√m)(α) sont des
entiers alg´ebriques dans Q(√m).
c) On suppose que m≡3 [4] et n≡2 [4]. Montrer que tout ´el´ement α∈ZKs’´ecrit α=
a+b√m+c√n+d√k
2avec a, b, c, d ∈Z. Puis montrer que aet bsont pairs, et que c≡d[2]. En
d´eduire qu’une Z-base de ZKest donn´ee par
1,√m, √n, √n+√k
2!.
d) On suppose que m≡1 [4] et n≡2 ou 3 [4]. Montrer que tout ´el´ement α∈ZKs’´ecrit α=
a+b√m+c√n+d√k
2avec a, b, c, d ∈Z. Puis montrer que a≡b[2] et c≡d[2]. En d´eduire qu’une
Z-base de ZKest donn´ee par
1,1 + √m
2,√n, √n+√k 2!.
e) On suppose que m≡n≡1 [4]. Montrer que tout ´el´ement α∈ZKs’´ecrit α=a+b√m+c√n+d√k
4
avec a, b, c, d ∈Zde mˆeme parit´e. En d´eduire qu’une Z-base de ZKest donn´ee par
1,1 + √m
2,1 + √n 2,(1 + √n)(1 + √k) 4!.
f) Conclure en r´ecapitulant dans tous les cas possibles quel est l’anneau ZK.
Exercice 9 : Soient m, n ∈Z\ {0; 1}distincts sans facteur carr´e, tels que m≡n≡1 [8]. On note
K:= Q(√m, √n), α:= 1+√n
2et β:= 1+√m 2.
a) Montrer que ZK=Z[α, β].
b) Montrer que l’anneau ZK/2ZKest isomorphe `a l’anneau A:= F2[X, Y ]/(X2−X, Y 2−Y).
c) Montrer qu’il existe au moins quatre morphismes d’anneaux distincts A→Z/2.
d) Montrer que pour tout polynˆome P∈F2[X], An’est pas isomorphe `a F2[X]/(P).
e) Montrer qu’il n’existe pas d’entier x∈ZKtel que ZK=Z[x].
Exercice 10 : Soit K/Qune extension finie de degr´e n, soit u∈ZKtel que K=Q(u). Soit pun
nombre premier tel que le polynˆome minimal de usur Qsoit d’Eisenstein en p. L’objectif de l’exercice
est de montrer que pne divise pas l’indice de Z[u] dans ZK.
a) Montrer que un
p∈ZKet que p2ne divise pas N(u).
b) Supposons que p|[ZK:Z[u]].
i) Montrer qu’il existe x∈ZK\Z[u] tel que px ∈Z[u]. En d´eduire qu’il existe b0, . . . , bn−1∈Z
non tous divisibles par ptels que x=b0+···+bn−1un−1
p.
ii) Notons rle plus petit entier tel que brn’est pas divisible par p. Montrer que y:= brur+···+bn−1un−1
p
est dans ZK.
iii) Montrer que z:= brun−1
p∈ZK.
iv) Obtenir une contradiction en calculant la norme de z
c) Si qest une puissance de pet K:= Q(q
√p), montrer que ZK=Z[q √p].
Exercice 11 : Soit d∈Z,d > 1 sans facteur cubique. Notons θ:= 3
√det K:= Q(θ). On cherche `a
d´eterminer l’anneau des entiers et le discriminant de Ksur Q.
2

a) Montrer que Z[θ] est de discriminant −27d2.
b) On ´ecrit d=ab2, avec a, b ∈Nsans facteur carr´e. On pose θ0:= 3
√a2b. Montrer que K=Q(θ0)
et calculer discZ(1, θ0, θ02).
c) Montrer que (1, θ, θ0) est une Q-base de Ket calculer son discriminant.
d) On note f,f0et f00 les indices respectifs de Z[θ], Z[θ0] et Z[θ, θ0] dans ZK.
i) Montrer que (a, f) = 1.
[Indication : on pourra utiliser l’exercice 10.]
ii) En d´eduire que si 3|a, alors DKest divisible par 27a2, et que sinon, DKest divisible par
a2.
iii) Montrer que (b, f0) = 1.
iv) En d´eduire que si 3|b, alors DKest divisible par 27b2, et que sinon, DKest divisible par b2.
v) Montrer que a2b2|DK|27a2b2et que DK<0.
e) Montrer que si 3|d, alors DK=−27a2b2et (1, θ, θ0) est une base de ZK.
f) Montrer le mˆeme r´esultat si d6≡ ±1 [9].
[Indication : on pourra montrer que le polynˆome minimal de θ−dest d’Eisenstein en 3.]
g) On suppose d≡1 [9]. On pose α:= 1+θ+θ2
3.
i) Montrer que α∈ZKet calculer son polynˆome minimal.
ii) En d´eduire que 3|f00, puis que DK=−3a2b2.
iii) Montrer que (α, θ, θ0) est une Z-base de ZK.
h) Si d≡ −1 [9]. On pose α0:= 1−θ+θ2
3. Montrer que (α0, θ, θ0) est une Z-base de ZK.
i) Conclure en d´ecrivant tous les cas possibles.
Exercice 12 :
a) Montrer qu’un anneau factoriel est int´egralement clos.
b) Soit Aun anneau int´egralement clos et Kson corps des fractions. Soit P∈A[X] unitaire.
Supposons que P=QR dans K[X], avec Q, R unitaires. Montrer que Q, R ∈A[X].
[Indication : on pourra consid´erer les racines de Qet Rdans une clˆoture alg´ebrique de K.]
c) Soit Aun anneau int´egralement clos de corps des fractions K. On souhaite montrer que A[X1, . . . , Xn]
est int´egralement clos.
i) V´erifier que K(X) est le corps des fractions de A[X].
Pour la suite, on fixe f∈K(X) entier sur A[X].
ii) Montrer que f∈K[X].
iii) Soit P(Y) = Yn+pn−1(X)Yn−1+··· +p0(X)∈A[X][Y] un polynˆome unitaire annulant
f. Montrer que pour r∈N, le polynˆome P1(Y) := P(Y+Xr) est dans A[X][Y], unitaire
en Y, et annule f1:= f−Xr.
iv) Montrer que pour rsuffisamment grand, le coefficient constant (en Y) de P1(Y) est unitaire
en Xet qu’il est ´egal au produit de −f1par un polynˆome de K[X].
v) En d´eduire que −f1∈A[X], puis que f∈A[X]. En d´eduire que A[X] est int´egralement
clos.
vi) Montrer que A[X1, . . . , Xn] est int´egralement clos.
Exercice 13 : Soit pun nombre premier impair et K:= Q(ζp), o`u ζpd´esigne une racine primitive
p-i`eme de l’unit´e.
a) Calculer la trace d’un ´el´ement de K.
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b) Montrer que la norme de 1 −ζpest ´egale `a p.
c) Soit α=a0+a1ζp+··· +ap−2ζp−2
p∈ZK(ai∈Q).
i) En ´etudiant αζ−i
p−αζp, montrer que pour tout i,bi:= paiest un entier relatif.
ii) Posons λ:= 1 −ζp. Montrer que pα s’´ecrit pα =c0+c1λ+··· +cp−2λp−2avec ci∈pZ.
[Indication : on pourra montrer le r´esultat par r´ecurrence sur i, en montrant d’abord que
p∈λp−1ZK.]
iii) Montrer que pour tout i,ai∈Z. En d´eduire que ZK=Z[ζp].
iv) Montrer que disc(K) = (−1)p−1
2pp−2.
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