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Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Section de math´ ematiques
Prof. E. Bayer Fluckiger
Introduction ` a la th´ eorie alg´ ebrique des nombres
Cours de 2`eme cycle semestre d’´et´e 2003
S´erie 2 19.3.03
Exercice 1 (Fermat pour n= 2)
Soit x, y, z ∈Zune solution de l’´equation
x2+y2=z2(1)
avec x, y, z strictement positifs et (x, y) = 1.
(a) Montrer que xou yest pair.
[Regarder des congruences mod 4].
Supposons que xsoit pair. On va montrer que
x= 2ab , y =a2−b2, z =a2+b2(2)
pour
a, b ∈Z, a 6≡ b(mod 2) ,(a, b) = 1 , a > b > 0.(3)
De plus, il y a une bijection entre les diff´erentes valeurs de a, b et les diff´erentes valeurs de x, y, z.
(b) Montrer que 1
2(z−y) et 1 2(z+y) sont entiers et premiers entre eux.
(c) D´eduire que 1
2(z+y) = a2et 1 2(z−y) = b2pour a, b ∈Zet v´erifier les ´equations dans (2).
D´eduire que a, b satisfont les conditions (3).
(d) Soient a, b ∈Zv´erifiant les conditions (3). Montrer que x= 2ab,y=a2−b2,z=a2+b2
sont strictement positifs, satisfont (1) et (x, y) = 1.
(e) V´erifier que les valeurs de a, b sont d´etermin´ees uniquement par x, y donn´es.
Exercice 2 (Corps finis)
Soit pun nombre premier et q=pnpour n∈N. Soit Fpune clˆoture alg´ebrique de Fp, c’est-`a-dire,
une extension de Fpo`u tout polynˆome avec des coefficients dans Fpet degr´e strictement positif
admet une racine. On va montrer qu’il existe un sous-corps unique Fqde Fpavec q´el´ements.
Il est l’ensemble des racines du polynˆome f(X) = Xq−X. De plus, tous les corps finis avec q
´el´ements sont isomorphes `a Fq.
(a) Montrer que les racines de f(X) dans Fpforment un sous-corps Fqde Fp.
[Utiliser Exercice 3(a) de la S´erie 1].
(b) Montrer que toutes les racines de f(X) sont simples [regarder f0] et en d´eduire que |Fq|=q.
(c) Soit Kun sous-corps de Fpavec q´el´ements. Montrer que K⊆Fq[regarder K∗] et conclure
que K=Fq.
(d) Soit Kun corps fini. Montrer que Kcontient un sous-corps Kp, pour ppremier, qui est
isomorphe `a Fp. [Utiliser Exercice 1 de la S´erie 1].

(e) Montrer que Kest un Kp-espace vectoriel sur Kpde dimension n≥1 et en d´eduire que
|K|=pn.
(f) On admet que toutes les clˆotures alg´ebriques de Fpsont isomorphes. D´eduire que Kest
isomorphe `a Fq, pour q=pn=|K|.
Exercice 3 (Le corps F4)
Soit F4le corps fini sur F2avec 4 ´el´ements.
(a) Pour quel polynˆome irr´eductible f(X)∈F2[X] a-t-on F4=F2[X]/(f) ?
[Regarder les facteurs de X4−Xsur F2].
(b) En d´eduire une expression des ´el´ements de F4.