EPFL Section de Mathématiques Introduction à la théorie des nombres Prof. Eva Bayer-Fluckiger Semestre de Printemps, 2009 - 2010 Semaine du 26.04.2010 Série 9 Exercice 1. Soit K un corps fini ou de caractéristique 0 et soit L/K une extension finie de degré n. 1. Soient σ1 , ..., σn les n K-isomorphismes distincts de L dans un corps algébriquement clos contenant K. On rappelle que si L = K(α) et si α1 , ..., αn sont les n racines du polynôme minimal de α sur K, ces K-isomorphismes sont donnés par σi (α) = αi . Soit (x1 , ..., xn ) une K-base de L. Montrer que le discriminant du système (x1 , ..., xn ) dans l’extension L/K satisfait la relation : DL/K (x1 , ..., xn ) = det(σi (xj ))2 . 2. Supposons L = K(x). On note F le polynôme minimal de x sur K, et F 0 le polynôme dérivé de F : soient x1 , ..., xn les racines de F dans une extension de K, ce sont les conjugués de x. (a) Montrer que les conjugués de F 0 (x) sont les F 0 (xi ). (b) À l’aide de la question 1, montrer la relation : DL/K (1, x, ..., xn−1 ) = (−1) n(n−1) 2 NL/K (F 0 (x)). Rappel : on rappelle le déterminant d’une matrice de Vandermonde : Y det(xji ) = (xj − xi ). i<j (c) Appliquer la question précédente aux polynômes F (X) = X 2 + aX + b puis F (X) = x3 + aX + b, c’est-à-dire aux cas n = 2 et n = 3. Exercice 2. On admet le résultat suivant : Soient K et L deux corps de nombres de degrés m et n respectivement. Soit {α1 , ..., αm } une Z-base de OK et soit {β1 , ..., βn } une Z-base de OL . On suppose que les discriminants des corps K et L sont premiers entre eux. Alors [KL : Q] = mn et la famille {αi βj }i,j forme une Z-base de OKL . √ √ – Donner une base de l’anneau des entiers de Q( 2, −3). Exercice 3. On considère le polynôme P (X) = X 3 + X 2 − 2X + 8. 1. Montrer que le polynôme P est irréductible sur Q. Soit α une racine de P . On note K le corps de nombres K = Q(α) et OK sont anneau d’entiers. 2. Pouvez-vous déterminer la trace, TrL/K (α), et la norme, NK/Q (α), de α ? 3. Montrer que le polynôme caractéristique de α+α2 sur Q est du type X(X −2)2 +8Q(X), avec Q(X) ∈ Z[X]. 4. En déduire que le polynôme caractéristique de β = et donc que β est un élément de OK . α+α2 2 sur Q est à coefficients entiers, 5. On note dα le discriminant dα = DK/Q (1, α, α2 ). Montrer : dα = −4 · 503. 6. Expliquer pourquoi cela implique que le discriminant dK du corps K vaut soit −503, soit −4 · 503. Utiliser alors la question 4 pour montrer que dK = −503. 2 7. Calculer le discriminant sur Q de la famille {1, α, α+α } (on pourra utiliser une formule 2 de changement de base). En déduire que cette famille forme une Z-base de l’anneau OK .