Série 9

EPFL
Section de Mathématiques
Introduction à la théorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 26.04.2010
Série 9
Exercice 1.
Soit K un corps fini ou de caractéristique 0 et soit L/K une extension finie de degré n.
1. Soient σ1 , ..., σn les n K-isomorphismes distincts de L dans un corps algébriquement clos
contenant K. On rappelle que si L = K(α) et si α1 , ..., αn sont les n racines du polynôme
minimal de α sur K, ces K-isomorphismes sont donnés par σi (α) = αi .
Soit (x1 , ..., xn ) une K-base de L. Montrer que le discriminant du système (x1 , ..., xn )
dans l’extension L/K satisfait la relation :
DL/K (x1 , ..., xn ) = det(σi (xj ))2 .
2. Supposons L = K(x). On note F le polynôme minimal de x sur K, et F 0 le polynôme
dérivé de F : soient x1 , ..., xn les racines de F dans une extension de K, ce sont les
conjugués de x.
(a) Montrer que les conjugués de F 0 (x) sont les F 0 (xi ).
(b) À l’aide de la question 1, montrer la relation :
DL/K (1, x, ..., xn−1 ) = (−1)
n(n−1)
2
NL/K (F 0 (x)).
Rappel : on rappelle le déterminant d’une matrice de Vandermonde :
Y
det(xji ) =
(xj − xi ).
i<j
(c) Appliquer la question précédente aux polynômes F (X) = X 2 + aX + b puis F (X) =
x3 + aX + b, c’est-à-dire aux cas n = 2 et n = 3.
Exercice 2. On admet le résultat suivant :
Soient K et L deux corps de nombres de degrés m et n respectivement. Soit {α1 , ..., αm } une
Z-base de OK et soit {β1 , ..., βn } une Z-base de OL . On suppose que les discriminants des
corps K et L sont premiers entre eux. Alors [KL : Q] = mn et la famille {αi βj }i,j forme une
Z-base de OKL .
√ √
– Donner une base de l’anneau des entiers de Q( 2, −3).
Exercice 3. On considère le polynôme P (X) = X 3 + X 2 − 2X + 8.
1. Montrer que le polynôme P est irréductible sur Q.
Soit α une racine de P . On note K le corps de nombres K = Q(α) et OK sont anneau
d’entiers.
2. Pouvez-vous déterminer la trace, TrL/K (α), et la norme, NK/Q (α), de α ?
3. Montrer que le polynôme caractéristique de α+α2 sur Q est du type X(X −2)2 +8Q(X),
avec Q(X) ∈ Z[X].
4. En déduire que le polynôme caractéristique de β =
et donc que β est un élément de OK .
α+α2
2
sur Q est à coefficients entiers,
5. On note dα le discriminant dα = DK/Q (1, α, α2 ). Montrer : dα = −4 · 503.
6. Expliquer pourquoi cela implique que le discriminant dK du corps K vaut soit −503, soit
−4 · 503. Utiliser alors la question 4 pour montrer que dK = −503.
2
7. Calculer le discriminant sur Q de la famille {1, α, α+α
} (on pourra utiliser une formule
2
de changement de base). En déduire que cette famille forme une Z-base de l’anneau OK .