Série 9

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 26.04.2010
S´erie 9
Exercice 1.
Soit Kun corps fini ou de caract´eristique 0 et soit L/K une extension finie de degr´e n.
1. Soient σ1, ..., σnles n K-isomorphismes distincts de Ldans un corps alg´ebriquement clos
contenant K. On rappelle que si L=K(α) et si α1, ..., αnsont les nracines du polynˆome
minimal de αsur K, ces K-isomorphismes sont donn´es par σi(α) = αi.
Soit (x1, ..., xn) une K-base de L. Montrer que le discriminant du syst`eme (x1, ..., xn)
dans l’extension L/K satisfait la relation :
DL/K (x1, ..., xn) = det(σi(xj))2.
2. Supposons L=K(x). On note Fle polynˆome minimal de xsur K, et F0le polynˆome
d´eriv´e de F: soient x1, ..., xnles racines de Fdans une extension de K, ce sont les
conjugu´es de x.
(a) Montrer que les conjugu´es de F0(x) sont les F0(xi).
(b) ` A l’aide de la question 1, montrer la relation :
DL/K (1, x, ..., xn−1)=(−1)n(n−1)
2NL/K (F0(x)).
Rappel : on rappelle le d´eterminant d’une matrice de Vandermonde :
det(xj
i) = Y
i<j
(xj−xi).
(c) Appliquer la question pr´ec´edente aux polynˆomes F(X) = X2+aX +bpuis F(X) =
x3+aX +b, c’est-`a-dire aux cas n= 2 et n= 3.

Exercice 2. On admet le r´esultat suivant :
Soient Ket Ldeux corps de nombres de degr´es met nrespectivement. Soit {α1, ..., αm}une
Z-base de OKet soit {β1, ..., βn}une Z-base de OL. On suppose que les discriminants des
corps Ket Lsont premiers entre eux. Alors [KL :Q] = mn et la famille {αiβj}i,j forme une
Z-base de OKL.
– Donner une base de l’anneau des entiers de Q(√2,√−3).
Exercice 3. On consid`ere le polynˆome P(X) = X3+X2−2X+ 8.
1. Montrer que le polynˆome Pest irr´eductible sur Q.
Soit αune racine de P. On note Kle corps de nombres K=Q(α) et OKsont anneau
d’entiers.
2. Pouvez-vous d´eterminer la trace, TrL/K (α), et la norme, NK/Q(α), de α?
3. Montrer que le polynˆome caract´eristique de α+α2sur Qest du type X(X−2)2+8Q(X),
avec Q(X)∈Z[X].
4. En d´eduire que le polynˆome caract´eristique de β=α+α2
2sur Qest `a coefficients entiers,
et donc que βest un ´el´ement de OK.
5. On note dαle discriminant dα=DK/Q(1, α, α2). Montrer : dα=−4·503.
6. Expliquer pourquoi cela implique que le discriminant dKdu corps Kvaut soit −503, soit
−4·503. Utiliser alors la question 4 pour montrer que dK=−503.
7. Calculer le discriminant sur Qde la famille {1, α, α+α2
2}(on pourra utiliser une formule
de changement de base). En d´eduire que cette famille forme une Z-base de l’anneau OK.