Intégration motivique - LAMA

Int´ egration motivique
Michel Raibaut
Laboratoire J-A Dieudonn´e, Universit´e Nice Sophia Antipolis, Nice
R´esum´e
L’int´egration motivique a ´et´e ´elabor´e par Kontsevich pour montrer que deux vari´et´es de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes ont les mˆemes nombres
de Hodge. Ce probl`eme provient de la th´eorie des cordes et a tout d’abord ´et´e r´esolu par Batyrev par des m´ethodes p-adiques. Kontsevich cr´ea la mesure
motivique sur l’espace des arcs d’une vari´et´e alg´ebrique, `a valeurs dans le groupe de Grothendieck des vari´et´es alg´ebriques. La th´eorie a par la suite ´et´e
consid´erablement d´evelopp´ee par Denef et Loeser.
L’espace des arcs L(X)
Soit Xune vari´et´e alg´ebrique de Cnpar exemple :
X={(x1, ..., xn)∈Cn|Pi(x1, ..., xn) = 0, i ={1, .., k}, Pi∈C[X1, ..., Xn]}.
Pour une C-alg`ebre A(comme les s´eries formelles C[[t]] ou les s´eries tronqu´ees C[[t]] \(tk+1)) on note
X(A) = {(x1, ..., xn)∈An|Pi(x1, ..., xn) = 0, i ={1, .., k}} ,
ce sont les points de X`a coordonn´ees dans A.
L’espace des arcs de X,L(X), est une vari´et´e alg´ebrique sur Cd´efinie par :
L(X) = {points de X`a coordonn´ees dans C[[t]]}.
L’espace des arcs tronqu´es `a l’ordre k,Lk(X), est une vari´et´e alg´ebrique sur Cd´efinie par :
Lk(X) = points de X`a coordonn´ees dans C[t]
(tk+1).
Des exemples :
•X={(x, y)∈C2|y2−x3= 0}
L0(X) = n(a0, b0)∈C2|b2
0=a3
0o
L1(X) = n(a0+a1t, b0+b1t)|(b0+b1t)2= (a0+a1t)3mod t2o
L(X) = 
∞
X
k=0
aktk,
∞
X
k=0
bktk
|
∞
X
k=0
bktk
2
=
∞
X
k=0
aktk
3
.
•X=Cn
Lk(X) = n(a(1)
0+... +a(1)
ktk, ..., a(n)
0+... +a(n)
ktk)o≃C(k+1)n
L(X) = n(a(1)
0+a(1)
1t+.., ..., a(n)
0+a(n)
1t+...)o≃C[[t]]n.
On a toujours L0(X) = Xet dans le cas lisse, L1(X) = T X le fibr´e tangent `a X.
On notera πnle morphisme de troncation de L(X) `a Ln(X).
Certaines parties de L(X) formeront les mesurables motiviques.
L’anneau des valeurs de la mesure : l’anneau de Grothendieck des vari´et´es
On note V arCla cat´egorie des vari´et´es alg´ebriques sur C.
L’anneau de Grothendieck des vari´et´es est engendr´e par les symboles [X] avec les relations :
“Si Xest isomorphe `a Yalors [X] = [Y].“
“Si Y est un ferm´e de Xalors [X\Y] + [Y] = [X].“
“[X×CY] = [X][Y].“
On note
1 = [point] et L= [C].
Par la suite on travaille dans l’anneau localis´e en L,
MC=K0(V arC)1
L.
Invariants additifs
On appelle invariant additif toute fonction ϕ:V arC→Ao`u Aest un anneau, telle que
“Si Xest isomorphe `a Yalors ϕ(X) = ϕ(Y).“
“Si Yest un ferm´e de Xalors ϕ(X\Y) + ϕ(Y) = ϕ(X).“
La caract´eristique d’Euler et les nombres de Hodge hp,q cit´es plus haut sont des invariants additifs.
Le groupe de Grothendieck v´erifie la propri´et´e universelle suivante :
“Si [X] = [Y] alors pour tout invariant additif ϕon a ϕ(X) = ϕ(Y)“
“En particulier si [X] = [Y] alors h(p,q)(X) = h(p,q)(Y)“
La mesure motivique
Les vari´et´es de Calabi-Yau ´etant en particulier des vari´et´es lisses, on se restreint ici aux vari´et´es lisses.
Soit Xune vari´et´e lisse sur Cde dimension d.
On dit qu’une partie Ade L(X) est mesurable si et seulement si Aest de la forme π−1
n(C) o`u Cest une partie constructible de Ln(X).
Les parties mesurables forment une tribu et v´erifient la propri´et´e fondamentale :
pour tout n≥m, [πm(A)]
Lmd = [C]Lnd.
On pose alors
µ(A) := [C]Lnd.
“µest par d´efinition la mesure motivique sur L(X).“
On d´efinit alors l’int´egrale motivique par :
soit Aun mesurable et α:A→Z∪ {∞} telle que pour tout n,α−1(n) soit mesurable,
ZL(X)
L−αdµ =X
n∈Z
µ(α−1(n))L−n.
Exemple fondamental :
Dans notre cas Xest lisse, on peut alors montrer que L(X) = π−1
0(L0(X)) et donc
ZL(X)
1dµ =µ(L(X)) = [L0(X)] = [X].
Le th´eor`eme de Kontsevich
Th´eor`eme de Kontsevich :
“Si Xet Ysont deux vari´et´es de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes alors [X] = [Y].“
Principe de la preuve : Les vari´et´es de Calabi-Yau sont en particulier lisses donc
[X] = RL(X)1dµ et [Y] = RL(Y)1dµ.
Il existe une formule de changement de variables qui avec l’hypoth`ese Calabi-Yau entraˆıne
RL(X)1dµ =RL(Y)1dµ donc [X] = [Y].
References
[DL01] Jan Denef and Fran¸cois Loeser. Geometry on arc spaces of algebraic varieties. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000),
volume 201 of Progr. Math., pages 327–348. Birkh¨auser, Basel, 2001.