Intégration motivique - LAMA

Intégration motivique
Michel Raibaut
Laboratoire J-A Dieudonné, Université Nice Sophia Antipolis, Nice
Résumé
Invariants additifs
L’intégration motivique a été élaboré par Kontsevich pour montrer que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement équivalentes ont les mêmes nombres
de Hodge. Ce problème provient de la théorie des cordes et a tout d’abord été résolu par Batyrev par des méthodes p-adiques. Kontsevich créa la mesure
motivique sur l’espace des arcs d’une variété algébrique, à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés algébriques. La théorie a par la suite été
considérablement développée par Denef et Loeser.
On appelle invariant additif toute fonction ϕ : V arC → A où A est un anneau, telle que
“Si X est isomorphe à Y alors ϕ(X) = ϕ(Y ).“
“Si Y est un fermé de X alors ϕ(X \ Y ) + ϕ(Y ) = ϕ(X).“
La caractéristique d’Euler et les nombres de Hodge hp,q cités plus haut sont des invariants additifs.
Le groupe de Grothendieck vérifie la propriété universelle suivante :
L’espace des arcs L(X)
“Si [X] = [Y ] alors pour tout invariant additif ϕ on a ϕ(X) = ϕ(Y )“
Soit X une variété algébrique de Cn par exemple :
“En particulier si [X] = [Y ] alors h(p,q)(X) = h(p,q)(Y )“
X = {(x1, ..., xn) ∈ Cn | Pi(x1, ..., xn ) = 0, i = {1, .., k}, Pi ∈ C[X1, ..., Xn]} .
Pour une C-algèbre A (comme les séries formelles C[[t]] ou les séries tronquées C[[t]] \ (tk+1)) on note
X(A) = {(x1, ..., xn) ∈ An | Pi(x1, ..., xn) = 0, i = {1, .., k}} ,
La mesure motivique
ce sont les points de X à coordonnées dans A.
L’espace des arcs de X, L(X), est une variété algébrique sur C définie par :
Les variétés de Calabi-Yau étant en particulier des variétés lisses, on se restreint ici aux variétés lisses.
Soit X une variété lisse sur C de dimension d.
On dit qu’une partie A de L(X) est mesurable si et seulement si A est de la forme πn−1(C) où C est une partie constructible de Ln(X).
Les parties mesurables forment une tribu et vérifient la propriété fondamentale :
L(X) = {points de X à coordonnées dans C[[t]]} .
L’espace des arcs tronqués à l’ordre k, Lk (X), est une variété algébrique sur C définie par :
C[t]
Lk (X) = points de X à coordonnées dans k+1 .
(t )
[πm(A)]
nd.
=
[C]L
pour tout n ≥ m,
Lmd
Des exemples :
• X = {(x, y) ∈ C2 | y 2 − x3 = 0}
On pose alors
n
• X = Cn
o
n
L0(X) = (a0, b0) ∈ C2 | b20 = a30
µ(A) := [C]Lnd.
o
L1(X) = (a0 + a1t, b0 + b1t) | (b0 + b1t)2 = (a0 + a1t)3 mod t2

 
2 
3 


∞
∞
∞
∞
 X

X
X
X
L(X) =  ak tk ,
bk tk  |  bk tk  =  ak tk  .


 k=0

k=0
k=0
k=0
o
n
(n)
(n)
(1)
(1)
Lk (X) = (a0 + ... + ak tk , ..., a0 + ... + ak tk ) ≃ C(k+1)n
n
o
(1)
(1)
(n)
(n)
L(X) = (a0 + a1 t + .., ..., a0 + a1 t + ...) ≃ C[[t]]n.
“µ est par définition la mesure motivique sur L(X).“
On définit alors l’intégrale motivique par :
soit A un mesurable et α : A → Z ∪ {∞} telle que pour tout n, α−1(n) soit mesurable,
Z
L−αdµ =
L(X)
X
µ(α−1(n))L−n.
n∈Z
Exemple fondamental :
Dans notre cas X est lisse, on peut alors montrer que L(X) = π0−1(L0(X)) et donc
On a toujours L0(X) = X et dans le cas lisse, L1(X) = T X le fibré tangent à X.
On notera πn le morphisme de troncation de L(X) à Ln(X).
Certaines parties de L(X) formeront les mesurables motiviques.
Z
L’anneau des valeurs de la mesure : l’anneau de Grothendieck des variétés
L(X)
1dµ = µ(L(X)) = [L0(X)] = [X].
Le théorème de Kontsevich
On note V arC la catégorie des variétés algébriques sur C.
L’anneau de Grothendieck des variétés est engendré par les symboles [X] avec les relations :
“Si X est isomorphe à Y alors [X] = [Y ].“
“Si Y est un fermé de X alors [X \ Y ] + [Y ] = [X].“
“[X ×C Y ] = [X][Y ].“
On note
1 = [point] et L = [C].
Par la suite on travaille dans l’anneau localisé en L,
1
MC = K0 (V arC)
.
L
Théorème de Kontsevich :
“Si X et Y sont deux variétés de Calabi-Yau birationnellement équivalentes alors [X] = [Y ].“
Principe de la preuve : Les variétés de Calabi-Yau sont en particulier lisses donc
R
R
[X] = L(X) 1dµ et [Y ] = L(Y ) 1dµ.
Il existe une formule de changement de variables qui avec l’hypothèse Calabi-Yau entraı̂ne
R
R
L(X) 1dµ = L(Y ) 1dµ donc [X] = [Y ].
References
[DL01] Jan Denef and François Loeser. Geometry on arc spaces of algebraic varieties. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000),
volume 201 of Progr. Math., pages 327–348. Birkhäuser, Basel, 2001.