Chapitre 1 - Divisibilité et congruences

Chapitre 1 :
Divisibilité et congruences
Spé
Maths
- Divisibilité dans Z.
- Division euclidienne.
- Congruences dans Z.
"La Mathématique est la reine des sciences et l'Arithmétique est
la reine des mathématiques." Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
I. Divisibilité
Définition : Soient a et b deux entiers relatifs.
a est un diviseur de b s’il existe un entier relatif k tel que : b = ka
On dit aussi que b est un multiple de a, ou bien que b est divisible par a.
Exemples :
● 7 a exactement 4 diviseurs : -7, -1 , 1 et 7.
● – 28 est un multiple de 7.
● 0 est divisible par tout entier relatif non nul.
●L’ensemble des multiples de 3 est { … ; -9 ; -6 ; -3 ; 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; … }. On note cet
ensemble
3
. En particulier on a :
3 3  
Propriété de transitivité : Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
Démonstration : Soit a, b et c trois entiers relatifs tels que a divise b, et b divise c.
Il existe donc k et k’ deux entiers relatifs tels que :
b=ka et c=k’b
D’où : c=(k’k)a
Ce qui signifie que a divise c. CQFD
Exemples :
1) a) Soit n un entier naturel. Montrer que n-1 divise n4-1.
b) En déduire que 7 divise 4095
2) Montrer qu’aucun nombre pair ne divise 47 803
Propriété de combinaisons linéaires : Soient a, b et c trois entiers relatifs.
Si c divise a et b, alors c divise ma+nb où m et n sont deux entiers relatifs.
Démonstration : Soit a, b et c trois entiers relatifs tels que c divise a et b :
Il existe donc k et k’ deux entiers relatifs tels que :
a=kc et b=k’c
D’où : ma+nb=mkc+nk’c
ma+nb=(mk+nk’)c
Donc c divise ma+nb.

Exemples :
1) Montrer que les seuls entiers relatifs qui divisent deux entiers consécutifs sont 1
et -1.
2) On veut déterminer les entiers relatifs n
2 tels que
2 17
2
n
n
soit un entier.
a) Montrer que si n est solution, alors n+2 divise 21 et réciproquement.
b) Déterminer la liste des diviseurs de 21.
c) Déterminer les solutions de ce problème.
II. Division euclidienne
Propriété : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un unique couple d’entiers (q;r) tel que a=bq+r avec 0
r
b .
q est le quotient de la division euclidienne de a par b et r est le reste de cette division
euclidienne.
Exemples : a) Effectuer la division euclidienne de 739 par 17 .
b) Effectuer la division euclidienne de -739 par 17.
Démonstration dans le cas où a et b sont des entiers naturels :
Existence :
1er cas : 0
a<b
a=0xb+a
Dans ce cas le couple (0;a) convient
2ème cas : b
a
Soit E l’ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a.
E est non vide car par exemple 2xbxa y appartient. (2xbxa
2a>a)
E possède donc un plus petit élément : (q+1)xb
On a donc : qb
a<(q+1)b
Comme 0 <b
a, on a : 0<b
a<(q+1)b
1<(q+1)b
1<(q+1) car 0<b
0<q
Donc q est un entier naturel.
Soit r=a-qb. r est un entier.
Comme qb
a, r est un entier naturel.
Par ailleurs : a <(q+1)b
a - qb < b
r < b
On a donc montré qu’il existait au moins un couple (q;r) tel que a=bq+r avec 0
r
b
Unicité :
On suppose qu’il existe deux couples d’entiers (q;r) et (q’;r’).
a = qb+r = q’b+r’

C’est-à-dire : qb-q’b = r’-r
(q-q’)b = r’-r
Ce qui signifie que r’-r est un multiple de b.
De plus, on sait que 0
r
b, donc : -b
-r
0
Et 0
r’
b.
On en déduit que : -b
r’-r
b
Or, le seul multiple de b strictement compris entre –b et b est 0.
Donc : r’-r=0
r’=r
Et donc : qb=q’b
q=q’ car b est non nul.
On a donc montré qu’il n’existait en fait qu’un seul couple d’entiers (q;r).
III. Congruences
Définition : Deux entiers a et b congrus modulo n sont deux entiers dont le reste de la
division euclidienne par n est le même.
On note alors : a
b[n]
Exemples : a) 12 et 17 sont-ils congrus modulo 5 ?
b) 12 et 17 sont-ils congrus modulo 7 ?
Propriété caractéristique : Deux entiers a et b sont congrus modulo n si et
seulement si a-b est un multiple de n.
Propriétés : Soit n un entier naturel non nul.
● a
a[n] pour tout entier relatif a (réfléxivité)
● Si a
b[n] et b
c[n], alors a
c[n] (transitivité)
Démonstrations :
● a-a=0 est divisible par n.
● a-b est un multiple de n ainsi que b-c. Donc a-b+b-c=a-c est un multiple de n
Propriétés : Soit n un entier naturel non nul.
Soit a, a’, b et b’ des entiers relatifs tels que a
b[n] et a’
b’[n]. On a :
● a+a’
b+b’[n]
● a-a’
b-b’[n]
● a
a’
b
b’[n]
● ap
bp[n] avec p
.
Exemples :
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 7459 par 6.
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 6459 par 7.
c) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2450 par 5.
d) Quel est le dernier chiffre du nombre 32468 ?

Méthode : Résoudre une équation avec des congruences.
a) Déterminer les entiers x tels que : 7+x
4[9]
b) Déterminer les entiers tels que : 6x
10[7]
a) 7+x
4[9]
x
-3[9]
x
6[9]
Donc les solutions sont tous les entiers de la forme 6+9k, avec k
.
b) 6x
10[7]
6x
3[7]
Or x est congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 modulo 7.
Par disjonction des cas, on a :
x modulo 7
0
1
2
3
4
5
6
6x modulo 7
0
6
5
4
3
2
1
Donc : x
4[7]
Donc les solutions sont tous les entiers de la forme 4+7k, avec k
.